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1
P2 de Álgebra Linear II
15/05/08
Gab arito
Gab aritoGab arito
Gab arito
1ª questão.
=
2222
1110
1000
2200
A
Fatoração QR
:=
v1
[
]
,
,
,
0
0
0
2
:=
v2
[
]
,
,
,
0
0
1
2
:=
v3
[
]
,
,
,
2
0
1
2
:=
v4
[
]
,
,
,
2
1
1
2
u1:= v1/norm(v1,2 );r11:=innerprod(u1,v1);
u1:= v1/norm(v1,2 );r11:=innerprod(u1,v1);u1:= v1/norm(v1,2 );r11:=innerprod(u1,v1);
u1:= v1/norm(v1,2 );r11:=innerprod(u1,v1);
:=
u1
[
]
,
,
,
0
0
0
1
:=
2
Encontrando um vetor
w
2
, que é ortogonal a u
1
> r12:=innerpr od(v2,u1); w2:= v2
r12:=innerpr od(v2,u1); w2:= v2r12:=innerpr od(v2,u1); w2:= v2
r12:=innerpr od(v2,u1); w2:= v2 -
--
- r 12*u1;
r12*u1; r12*u1;
r12*u1;
:=
2
:=
w2
[
]
,
,
,
0
0
1
0
Normalize o vetor
w
2
para obter o segundo vetor ortonorm al u
2
> u2:= w2/norm(w2 ,2);r22:=innerprod(u2 ,w2) ;
u2:= w2/norm(w2,2 );r22:=innerprod(u2,w2) ; u2:= w2/norm(w2,2 );r22:=innerprod(u2,w2) ;
u2:= w2/norm(w2,2 );r22:=innerprod(u2,w2) ;
:=
u2
[
]
,
,
,
0
0
1
0
:=
1
Calcule o terceiro vetor ortonorm al
> r13:=innerpr od(v3,u1); r23:=innerprod(v3,u2); w3:= v3
r13:=innerpr od(v3,u1); r23:=innerprod(v3,u2); w3:= v3 r13:=innerpr od(v3,u1); r23:=innerprod(v3,u2); w3:= v3
r13:=innerpr od(v3,u1); r23:=innerprod(v3,u2); w3:= v3 -
--
- r 13*u1
r13*u1 r13*u1
r13*u1 -
--
- r 23*u2
r23*u2 r23*u2
r23*u2
:=
2
:=
1
:=
w3
[
]
,
,
,
2
0
0
0
> u3:= w3/norm(w3 ,2);r33:=innerprod(u3 ,w
u3:= w3/norm(w3,2 );r33:=innerprod(u3,wu3:= w3/norm(w3,2 );r33:=innerprod(u3,w
u3:= w3/norm(w3,2 );r33:=innerprod(u3,w 3);
3);3);
3);
:=
u3
[
]
,
,
,
1
0
0
0
:=
2
Calcule o quarto vetor ortonorm al
> r14:=innerpr od(v4,u1);r24:=innerprod(v4,u2);r34: =innerprod(v4,u3);
r14:=innerpr od(v4,u1);r24:=innerprod(v4,u2);r34: =innerprod(v4,u3);r14:=innerpr od(v4,u1);r24:=innerprod(v4,u2);r34: =innerprod(v4,u3);
r14:=innerpr od(v4,u1);r24:=innerprod(v4,u2);r34: =innerprod(v4,u3);
w4:= v4
w4:= v4w4:= v4
w4:= v4 -
--
- r 14*u1
r14*u1 r14*u1
r14*u1 -
--
- r 24*u2
r24*u2 r24*u2
r24*u2 -
--
- r34*u3
r34*u3 r34*u3
r34*u3
:=
2
:=
1
:=
2
:=
w4
[
]
,
,
,
0
1
0
0
> u4:=evalm(w4 /norm(w4,2));
u4:=evalm(w4 /norm(w4,2));u4:=evalm(w4 /norm(w4,2));
u4:=evalm(w4 /norm(w4,2));
:=
u4
[
]
,
,
,
0
1
0
0
:= Q
0
0
1
0
0 0 0 1
0 1 0 0
1 0 0 0
:= R
2
2
2
2
0 1 1 1
0 0 2 2
0 0 0 1
Note que para transformar A em uma matriz tr iangular superior basta o uso de permutações.
2
2ª questão.
Considere a mat riz abaixo:
=
1311
1312
3111
2111
A
A fatoração precisa de permutação logo, logo t eremos PA=LU
LUPA
=
=
=
1000
1200
3110
2111
1001
0101
0012
0001
1311
1312
3111
2111
0010
1000
0100
0001
Para resolver o sistema o sistema Ax=(1,2,0,1 ), precisamos fazer PAx=PB, logo vamos resolver:
=
1
0
2
1
0010
1000
0100
0001
1000
1200
3110
2111
1001
0101
0012
0001
4
3
2
1
x
x
x
x
Fazemos então
=
4
3
2
1
4
3
2
1
1000
1200
3110
2111
y
y
y
y
x
x
x
x
e resolvemos primeiro
=
2
1
0
1
1001
0101
0012
0001
4
3
2
1
y
y
y
y
temos então que
1
1
=
y
,
2
2
=
y
,
0
3
=
y
e
1
4
=
y
. Finalmente, resolvendo
=
1
0
2
1
1000
1200
3110
2111
4
3
2
1
x
x
x
x
, obtemos
1
1
=
x
,
2
1
2
=
x
,
2
1
3
=
x
e
1
4
=
x
.
Conferindo:
=
=
1
0
2
1
1
21
21
1
1311
1312
3111
2111
Ax
3
3ª Questão
Seja W o espaço gerado pelos vetores
(
)
(
)
{
}
1,0,2,1,1,0,1,1
.
a. Encontre as equações para W.
O espaço W é gerado pelos vetores:
0010
1001
~
1021
1011
Logo as equações de W são
=
=
0
0
3
41
x
xx
b. Encontre uma base para
W
.
As equações de
W
são
=
=
+
0
0
2
41
x
xx
logo uma base é
(
)
(
)
{
}
1,0,0,1,0,1,0,0
.
c. Calcule a projeção ortogonal do vetor v= (1,1,1,1) em
W
Seja a matriz
=
01
10
00
01
A
, como o vetor não pertence ao espaço coluna da matriz A (
W
),
usaremos a solução de mínimos quadrados que dará a projeção ortogonal de v em
W
.
Fazendo
v
A
Ax
A
TT
=
, logo a projeção será:
(
)
vAAAAproj
TT
1
=
=
10
02
01
10
00
01
0100
1001
cuja inversa é
10
021
logo:
=
=
=
0
1
0
0
1
0
01
10
00
01
1
0
10
021
01
10
00
01
1
1
1
1
0100
1001
10
021
01
10
00
01