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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA III (FIM230) - 2009/1
GABARITO DA PROVA FINAL UNIFICADA
DATA: 03/07/2009
PROBLEMA 1 (Cilindros coaxiais) [ 2,5 ponto(s)]
Um cilindro condutor macic¸o muito longo, de comprimento L, com uma carga positiva total +q e´ completa-
mente envolvido por um cilindro oco condutor, de mesmo comprimento, que tambe´m possui uma carga positiva
total +q, como e´ mostrado em sec¸a\u2dco transversal na \ufb01gura ao lado. Os dois cilindros possuem o mesmo eixo de
simetria.
(a) Determine o valor das cargas nas superf´\u131cies interna e externa do cilindro oco. [0,5 ponto]
(b) Obtenha a expressa\u2dco vetorial do campo ele´trico na regia\u2dco situada entre os dois cilindros, indicando num
diagrama sua orientac¸a\u2dco e a superf´\u131cie gaussiana utilizada. [1,0 ponto]
(c) Calcule a diferenc¸a de potencial entre os dois cilindros. [1,0 ponto]
Resoluc¸a\u2dco (a) Sobre toda a superf´\u131cie gaussiana cil´\u131ndrica nu´mero 1, o campo ele´trico e´ nulo, por situar-se
no interior de um condutor em equil´\u131brio eletrosta´tico. Enta\u2dco:
\u222e
~E · d ~A =
qdentro
\u1eb0
(1)
\u222e
~0 · d ~A =
qdentro
\u1eb0
(2)
0 = (+q) + (qint) (3)
qint = \u2212q (4)
Por conservac¸a\u2dco da carga: qint + qext = +q.
Enta\u2dco: qext = +q \u2212 qint = +q \u2212 (\u2212q) = +2q
(b) Sobre toda a superf´\u131cie gaussiana cil´\u131ndrica nu´mero 2, o vetor campo ele´trico e´ radial e orientado como
mostrado na Figura. Por simetria, seu mo´dulo e´ o mesmo em todos os pontos dessa superf´\u131cie. Enta\u2dco:
\u222e
~E · d ~A =
\u222e
EdA cos(0) = E
\u222e
dA =
+q
\u1eb0
(5)
E.2\u3c0rL =
+q
\u1eb0
(6)
E(r) =
+q
2\u3c0\u1eb0Lr
(7)
1
Vetorialmente:
~E(r) =
+q
2\u3c0\u1eb0Lr
r\u2c6 (8)
(c)
V (a)\u2212 V (b) = \u2212
\u222b a
b
~E · ~dl = \u2212
\u222b a
b
+q
2\u3c0\u1eb0Lr
r\u2c6 · ~dl = \u2212
q
2\u3c0\u1eb0L
\u222b a
b
dr
r
= \u2212
q
2\u3c0\u1eb0L
ln
a
b
(9)
V (a)\u2212 V (b) = +
q
2\u3c0\u1eb0L
ln
b
a
(10)
PROBLEMA 2 (Potencial Ele´trico) [ 2,5 ponto(s)]
Considere uma coroa circular, de raio interno a e raio externo b (cf.\ufb01gura abaixo), com uma carga total q
uniformemente distribu´\u131da em sua superf´\u131cie. Determine o potencial eletrosta´tico no centro P da coroa, tomando-
o como zero no in\ufb01nito.
Resoluc¸a\u2dco
A densidade super\ufb01cial de cargas na coroa sera´ dada por
\u3c3 =
q
\u3c0(b2 \u2212 a2)
(11)
e
dq = \u3c3dS = \u3c32\u3c0rdr (12)
Para determinarmos o potencial ele´trico da coroa, usamos o potencial ele´trico de uma carga pontual e integramos
na coroa.
VP =
1
4\u3c0\u3b50
\u222b
dq
r
=
1
4\u3c0\u3b50
\u222b b
a
\u3c32\u3c0dr =
\u3c3
2\u3b50
(b \u2212 a) =
q
2\u3c0\u3b50(b + a)
(13)
2
PROBLEMA 3 (Espira como parte de uma coroa circular) [ 2,0 ponto(s)]
Uma corrente ele´trica I passa por uma espira condutora
formada por dois arcos de circunfere\u2c6ncia de raios a e
b (a < b) e dois segmentos retil´\u131neos perpendiculares a
esses arcos, que fazem um a\u2c6ngulo de \u3c0/2 entre si, con-
forme mostra a \ufb01gura ao lado. As setas na espira indicam
o sentido da corrente. Determine o campo magne´tico ~B
(mo´dulo, direc¸a\u2dco e sentido) no ponto P, que coincide com
o centro dos dois arcos.
Resoluc¸a\u2dco
Vamos separar a espira em quatro partes e determinar o campo magne´tico criado por cada uma das partes,
utilizando a lei de Biot e Savart
d ~B(~r) =
µ0
4\u3c0
i d~l× u\u2c6
|~r \u2212 ~r \u2032|2
, (14)
com
u\u2c6 =
~r \u2212 ~r \u2032
|~r \u2212 ~r \u2032|
. (15)
Depois, usando o Princ´\u131pio da Superposic¸a\u2dco, teremos que o campo magne´tico ~B sera´ a soma dos quatro
campos determinados.
Da \ufb01gura acima vemos que, como o ponto P se encontra na origem do sistema de eixos, ~r = ~0.
\u2022 Parte 1 \u2192 segmento retil´\u131neo sobre o eixo x:
Neste caso,
i d~l = \u2212I dx \u131\u2c6 , (16)
u\u2c6 = \u2212\u131\u2c6 (17)
e o produto vetorial sera´
id~l × u\u2c6 = ~0 (18)
Logo
~B1 = ~0 . (19)
\u2022 Parte 2 \u2192 arco de circunfere\u2c6ncia de raio a:
Neste caso,
i d~l = I a d\u3c6 \u3c6\u2c6 = I a d\u3c6(\u2212 sin\u3c6 \u131\u2c6 + cos\u3c6 \uf6be\u2c6) , (20)
u\u2c6 = \u2212\u3c1\u2c6 = \u2212 cos\u3c6 \u131\u2c6\u2212 sin\u3c6 \uf6be\u2c6 , (21)
o produto vetorial sera´
i d~l × u\u2c6 = I a d\u3c6(sin2 \u3c6+ cos2 \u3c6) k\u2c6 = I a d\u3c6 k\u2c6 . (22)
e
|~r \u2212 ~r \u2032|2 = a2 . (23)
Enta\u2dco
d ~B2 =
µ0
4\u3c0
I a d\u3c6
a2
k\u2c6 (24)
e
~B2 =
\u222b pi/2
0
d ~B2 =
µ0
8
I
a
k\u2c6 (25)
3
\u2022 Parte 3 \u2192 segmento retil´\u131neo sobre o eixo y:
Neste caso,
i d~l = I dy \uf6be\u2c6 , (26)
u\u2c6 = \u2212\uf6be\u2c6 (27)
e o produto vetorial sera´
i d~l × u\u2c6 = ~0 (28)
Logo
~B3 = ~0 . (29)
\u2022 Parte 4 \u2192 arco de circunfere\u2c6ncia de raio b:
Neste caso,
i d~l = \u2212I b d\u3c6 \u3c6\u2c6 = I b d\u3c6(sin\u3c6 \u131\u2c6\u2212 cos\u3c6 \uf6be\u2c6) , (30)
u\u2c6 = \u2212\u3c1\u2c6 = \u2212 cos\u3c6 \u131\u2c6\u2212 sin\u3c6 \uf6be\u2c6 , (31)
o produto vetorial sera´
i d~l × u\u2c6 = \u2212I b d\u3c6(sin2 \u3c6+ cos2 \u3c6) k\u2c6 = \u2212I b d\u3c6 k\u2c6 . (32)
e
|~r \u2212 ~r \u2032|2 = b2 . (33)
Enta\u2dco
d ~B4 = \u2212
µ0
4\u3c0
I b d\u3c6
b2
k\u2c6 (34)
e
~B4 =
\u222b pi/2
0
d ~B4 = \u2212
µ0
8
I
b
k\u2c6 (35)
Somando os quatro campos magne´ticos teremos que
~B =
µ0
8
(
I
a
\u2212
I
b
)k\u2c6 =
µ0
8
I(b\u2212 a)
ab
k\u2c6 (36)
PROBLEMA 4 (Basta\u2dco deslizante) [ 2,5 ponto(s)]
A \ufb01gura ao lado mostra um basta\u2dco de comprimento L que
se move com velocidade constante ~v ao longo de trilhos
condutores horizontais \ufb01xos, de modo que a forma da
espira se mantenha retangular. Esse sistema esta´ imerso
em um campo magne´tico gerado por uma corrente I que
percorre um longo \ufb01o retil´\u131neo paralelo aos trilhos, no
mesmo plano do basta\u2dco e afastado dos trilhos de uma
dista\u2c6ncia x0. A resiste\u2c6ncia do basta\u2dco e´ R e a resiste\u2c6ncia
dos trilhos e´ desprez´\u131vel
Sabemos que o mo´dulo do campo magne´tico gerado
por uma corrente retil´\u131nea in\ufb01nita e´ dado por B(r) =
µ0i/(2\u3c0r), onde r e´ a dista\u2c6ncia do \ufb01o ao ponto conside-
rado.
.
(a) Determine o \ufb02uxo magne´tico atrave´s desta espira. [1,5 ponto]
4
(b) Determine a intensidade da corrente induzida I \u2032 na espira condutora, desprezando sua auto-induta\u2c6ncia, e
indique o sentido de tal corrente.[1,0 ponto]
Resoluc¸a\u2dco
(a) Para determinarmos o \ufb02uxo magne´tico pela espira precisamos saber a o sentido e a direc¸a\u2dco do campo
magne´tico ~B gerado pela corrente no \ufb01o. No plano de\ufb01nido pela espira podemos dizer que
~B =
µ0i
2\u3c0x
z\u2c6. (37)
Escolhendo o vetor normal a superf´\u131cie da espira no sentido de z\u2c6, teremos :
\u3a6B =
\u222b
~B · d~S =
\u222b x0+L
x0
µ0i
2\u3c0x
dx
\u222b
dy =
µ0i
2\u3c0
ln
[
x0 + L
x0
]
y(t) (38)
(b)
I \u2032 =
E
R
= \u2212
1
R
d\u3a6
dt
= \u2212
µ0i
2\u3c0R
ln
[
x0 + L
x0
]
dy
dt
= \u2212
µ0i
2\u3c0R
ln
[
1 +
L
x0
]
v (39)
com o sinal negativo indicando que a corrente circula no sentido contra´rio ao escolhido para a circulac¸a\u2dco. Isto e´,
a corrente circula no sentido hora´rio na espira.
5