pf-2009.1
5 pág.

pf-2009.1

Disciplina:Física III8.585 materiais144.979 seguidores
Pré-visualização1 página
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

INSTITUTO DE FI´SICA

FI´SICA III (FIM230) - 2009/1

GABARITO DA PROVA FINAL UNIFICADA

DATA: 03/07/2009

PROBLEMA 1 (Cilindros coaxiais) [ 2,5 ponto(s)]
Um cilindro condutor macic¸o muito longo, de comprimento L, com uma carga positiva total +q e´ completa-

mente envolvido por um cilindro oco condutor, de mesmo comprimento, que tambe´m possui uma carga positiva
total +q, como e´ mostrado em sec¸a˜o transversal na figura ao lado. Os dois cilindros possuem o mesmo eixo de
simetria.
(a) Determine o valor das cargas nas superf´ıcies interna e externa do cilindro oco. [0,5 ponto]
(b) Obtenha a expressa˜o vetorial do campo ele´trico na regia˜o situada entre os dois cilindros, indicando num
diagrama sua orientac¸a˜o e a superf´ıcie gaussiana utilizada. [1,0 ponto]
(c) Calcule a diferenc¸a de potencial entre os dois cilindros. [1,0 ponto]

Resoluc¸a˜o (a) Sobre toda a superf´ıcie gaussiana cil´ındrica nu´mero 1, o campo ele´trico e´ nulo, por situar-se

no interior de um condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico. Enta˜o:

∮
~E · d ~A =

qdentro
ǫ0

(1)

∮
~0 · d ~A =

qdentro
ǫ0

(2)

0 = (+q) + (qint) (3)

qint = −q (4)

Por conservac¸a˜o da carga: qint + qext = +q.
Enta˜o: qext = +q − qint = +q − (−q) = +2q

(b) Sobre toda a superf´ıcie gaussiana cil´ındrica nu´mero 2, o vetor campo ele´trico e´ radial e orientado como
mostrado na Figura. Por simetria, seu mo´dulo e´ o mesmo em todos os pontos dessa superf´ıcie. Enta˜o:

∮
~E · d ~A =

∮
EdA cos(0) = E

∮
dA =

+q

ǫ0
(5)

E.2πrL =
+q

ǫ0
(6)

E(r) =
+q

2πǫ0Lr
(7)

1

Vetorialmente:
~E(r) =

+q

2πǫ0Lr
rˆ (8)

(c)

V (a)− V (b) = −

∫ a
b

~E · ~dl = −

∫ a
b

+q

2πǫ0Lr
rˆ · ~dl = −

q

2πǫ0L

∫ a
b

dr

r
= −

q

2πǫ0L
ln

a

b
(9)

V (a)− V (b) = +
q

2πǫ0L
ln

b

a
(10)

PROBLEMA 2 (Potencial Ele´trico) [ 2,5 ponto(s)]
Considere uma coroa circular, de raio interno a e raio externo b (cf.figura abaixo), com uma carga total q

uniformemente distribu´ıda em sua superf´ıcie. Determine o potencial eletrosta´tico no centro P da coroa, tomando-
o como zero no infinito.

Resoluc¸a˜o

A densidade superficial de cargas na coroa sera´ dada por

σ =
q

π(b2 − a2)
(11)

e
dq = σdS = σ2πrdr (12)

Para determinarmos o potencial ele´trico da coroa, usamos o potencial ele´trico de uma carga pontual e integramos
na coroa.

VP =
1

4πε0

∫
dq

r
=

1

4πε0

∫ b
a

σ2πdr =
σ

2ε0
(b − a) =

q

2πε0(b + a)
(13)

2

PROBLEMA 3 (Espira como parte de uma coroa circular) [ 2,0 ponto(s)]

Uma corrente ele´trica I passa por uma espira condutora
formada por dois arcos de circunfereˆncia de raios a e
b (a < b) e dois segmentos retil´ıneos perpendiculares a
esses arcos, que fazem um aˆngulo de π/2 entre si, con-
forme mostra a figura ao lado. As setas na espira indicam
o sentido da corrente. Determine o campo magne´tico ~B
(mo´dulo, direc¸a˜o e sentido) no ponto P, que coincide com
o centro dos dois arcos.

Resoluc¸a˜o

Vamos separar a espira em quatro partes e determinar o campo magne´tico criado por cada uma das partes,
utilizando a lei de Biot e Savart

d ~B(~r) =
µ0
4π

i d~l× uˆ

|~r − ~r ′|2
, (14)

com

uˆ =
~r − ~r ′

|~r − ~r ′|
. (15)

Depois, usando o Princ´ıpio da Superposic¸a˜o, teremos que o campo magne´tico ~B sera´ a soma dos quatro
campos determinados.

Da figura acima vemos que, como o ponto P se encontra na origem do sistema de eixos, ~r = ~0.

• Parte 1 → segmento retil´ıneo sobre o eixo x:

Neste caso,
i d~l = −I dx ıˆ , (16)

uˆ = −ıˆ (17)

e o produto vetorial sera´
id~l × uˆ = ~0 (18)

Logo
~B1 = ~0 . (19)

• Parte 2 → arco de circunfereˆncia de raio a:

Neste caso,
i d~l = I a dφ φˆ = I a dφ(− sinφ ıˆ + cosφ ˆ) , (20)

uˆ = −ρˆ = − cosφ ıˆ− sinφ ˆ , (21)

o produto vetorial sera´
i d~l × uˆ = I a dφ(sin2 φ+ cos2 φ) kˆ = I a dφ kˆ . (22)

e
|~r − ~r ′|2 = a2 . (23)

Enta˜o

d ~B2 =
µ0
4π

I a dφ

a2
kˆ (24)

e

~B2 =

∫ pi/2
0

d ~B2 =
µ0
8

I

a
kˆ (25)

3

• Parte 3 → segmento retil´ıneo sobre o eixo y:

Neste caso,
i d~l = I dy ˆ , (26)

uˆ = −ˆ (27)

e o produto vetorial sera´
i d~l × uˆ = ~0 (28)

Logo
~B3 = ~0 . (29)

• Parte 4 → arco de circunfereˆncia de raio b:

Neste caso,
i d~l = −I b dφ φˆ = I b dφ(sinφ ıˆ− cosφ ˆ) , (30)

uˆ = −ρˆ = − cosφ ıˆ− sinφ ˆ , (31)

o produto vetorial sera´
i d~l × uˆ = −I b dφ(sin2 φ+ cos2 φ) kˆ = −I b dφ kˆ . (32)

e
|~r − ~r ′|2 = b2 . (33)

Enta˜o

d ~B4 = −
µ0
4π

I b dφ

b2
kˆ (34)

e

~B4 =

∫ pi/2
0

d ~B4 = −
µ0
8

I

b
kˆ (35)

Somando os quatro campos magne´ticos teremos que

~B =
µ0
8
(
I

a
−

I

b
)kˆ =

µ0
8

I(b− a)

ab
kˆ (36)

PROBLEMA 4 (Basta˜o deslizante) [ 2,5 ponto(s)]
A figura ao lado mostra um basta˜o de comprimento L que
se move com velocidade constante ~v ao longo de trilhos
condutores horizontais fixos, de modo que a forma da
espira se mantenha retangular. Esse sistema esta´ imerso
em um campo magne´tico gerado por uma corrente I que
percorre um longo fio retil´ıneo paralelo aos trilhos, no
mesmo plano do basta˜o e afastado dos trilhos de uma
distaˆncia x0. A resisteˆncia do basta˜o e´ R e a resisteˆncia
dos trilhos e´ desprez´ıvel
Sabemos que o mo´dulo do campo magne´tico gerado
por uma corrente retil´ınea infinita e´ dado por B(r) =
µ0i/(2πr), onde r e´ a distaˆncia do fio ao ponto conside-
rado.

.

(a) Determine o fluxo magne´tico atrave´s desta espira. [1,5 ponto]

4

(b) Determine a intensidade da corrente induzida I ′ na espira condutora, desprezando sua auto-indutaˆncia, e
indique o sentido de tal corrente.[1,0 ponto]

Resoluc¸a˜o

(a) Para determinarmos o fluxo magne´tico pela espira precisamos saber a o sentido e a direc¸a˜o do campo

magne´tico ~B gerado pela corrente no fio. No plano definido pela espira podemos dizer que

~B =
µ0i

2πx
zˆ. (37)

Escolhendo o vetor normal a superf´ıcie da espira no sentido de zˆ, teremos :

ΦB =

∫
~B · d~S =

∫ x0+L
x0

µ0i

2πx
dx

∫
dy =

µ0i

2π
ln

[
x0 + L

x0

]
y(t) (38)

(b)

I ′ =
E

R
= −

1

R

dΦ

dt
= −

µ0i

2πR
ln

[
x0 + L

x0

]
dy

dt
= −

µ0i

2πR
ln

[
1 +

L

x0

]
v (39)

com o sinal negativo indicando que a corrente circula no sentido contra´rio ao escolhido para a circulac¸a˜o. Isto e´,
a corrente circula no sentido hora´rio na espira.

5