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Projeção ortogonal de um vetor v
sobre o plano definido pelas colunas da matriz A.



















5

5,0

1

v















 



12

11

12

A



















3.6154

2.3462

1.4615

Pv

 



















0.653850.461540.11538

0.461540.384620.15385-

0.115380.15385-0.96154

AAAAP TT
1

P = QQ

T
, se Q é obtida da decomposição A = QR.

P é idempotente (P = P

2
) e simétrica (P = P

T
).

Assim, (I – P) é ortogonal a P, ou seja, (I – P)TP = 0.
span(P) + span(I – P) = IR3.

-2

0

2

-3-2
-10

12
3

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

x

Projeçao ortogonal de um vetor no plano

y

v

Pv

a1

a2

(I-P)v

 Transformando o vetor x no vetor  ||x||2e1.











3

1
x 










0

1
1012ex















3

110
12

xexv

 A projeção ortogonal de x sobre H é dada por:

   v
vv

xv
xx

vv

vv
IxvvvvIPx

T

T

T

T
TT




















1.

 ||x||2e1 é o reflexo de x com relação a H:

Qxx
vv

vv
Iex

T

T









 212

.

 A matriz Q é ortogonal (Q
T
Q = I).













31623,094868,0

94868,031623,0
Q

 Poderíamos ter transformado x em – ||x||2e1.
Neste caso, teríamos v = x + ||x||2e1.

Px

H

x

||x||2e1

x – ||x||2e1 = v

DECOMPOSIÇÃO DE HOUSEHOLDER

 Algoritmo da Decomposição de Householder.

1. Para i = 1 até n,

1.1. x = Ai:m,i;

1.2. vi = x + sign(x1)||x||2e1;

1.3. vi = vi / ||vi||2;

1.4. Ai:m,i:n = (I – 2vivi
T
)Ai:m,i:n;

Custo computacional: 32
3

2
2 nmn 

 operações.

 Resolução do sistema Ax = b:
Se A = QR, temos QRx = b, ou seja, Rx = Q

T
b.

Fazendo Qi = (I – 2vivi

T
), temos Q

T
 = QnQn-1 ... Q1.

 Algoritmo da resolução do sistema Ax = b:

1. y = b;

2. Para i = 1 até n,

2.1. yi:m = Qi yi:m;

3. Resolver o sistema Rx = y;

 Decomposição de Householder de





















10

12

21

A :

1

o
. passo:



















0

2

1

x ,



















0

0.52573

0.85065

v1 ,



















100

00.447210.89443-

00.89443-0.44721-

Q1



















1-0

1.3416-0

1.7889-2.2361-

AQA 11

2

o
. passo:











1-

1.3416-
x ,



















0.31481-

0.94915-

0

v2

(v2 já está normalizado e tem primeiro elemento nulo)



















0.801780.59761-0

0.59761-0.80178-0

001

Q2

R

00

1.67330

1.7889-2.2361-

AQQAQA 

















 12122

 Resolução de um sistema Ax = b.





















10

12

21

A ,



















1

1

1

b

(observe que

)(ARb
)

Calculando y = Q
T
b = Q2Q1b.



















1

1.3416

0.44721-

bQy 1 ,



















0

1.6733-

0.44721-

yQy 2 .

(como y3 = 0, o sistema é compatível)

Resolvendo o sistema Rx = y.












































0

1.6733-

0.44721-

x

x

00

1.67330

1.7889-2.2361-

yRx
2

1













1

1
x