Provas de Física 3
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Provas de Física 3


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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA III (FIM230) - 2009/1
PRIMEIRA PROVA UNIFICADA
DATA: 08/04/2009
\u2022 Na\u2dco e´ permitido o uso de calculadoras, telefones celulares, \u201ciPods\u201d ou similares.
\u2022 No cabec¸alho do caderno de resoluc¸a\u2dco, devera\u2dco constar, legivelmente, nome do aluno, seu
nu´mero de DRE, sua turma, seu hora´rio de aulas e o nome de seu professor.
\u2022 Nenhum esclarecimento individual ser prestado no perodo de realizao da prova; caso persista
alguma dvida de enunciado, o aluno deve discorrer sobre a mesma no seu prprio caderno de
resoluo.
\u2022 Seja claro, preciso e asseado.
PROBLEMA 1 (Anel semicircular) [ 2,5 ponto(s)]
Um anel semicircular, de raio a, encontra-se situado no
plano XY , com suas extremidades nos a\u2c6ngulos polares
\u3b8 = 0 e \u3b8 = \u3c0, conforme mostra a figura ao lado. O tre-
cho do anel contido no primeiro quadrante (\u3c0/2 > \u3b8 > 0)
possui carga total +q e o contido no segundo quadrante
(\u3c0 > \u3b8 > \u3c0/2) carga total \u2212q, onde q > 0. As cargas em
cada trecho esta\u2dco distribu´\u131das de modo uniforme.
(a) Determine as densidades lineares de carga, respecti-
vamente \u3bb+ e \u3bb\u2212, em cada trecho. [0,4 ponto]
Fazendo uso dos vetores unita´rios indicados na fi-
gura:
(b) Obtenha uma expressa\u2dco para o vetor campo ele´trico
~E+ produzido na origem (ponto P), pela carga existente
no primeiro quadrante. [0,8 ponto]
(c) Obtenha uma expressa\u2dco para o vetor campo ele´trico ~E\u2212 produzido na origem (ponto P), pela carga existente
no segundo quadrante. [0,8 ponto]
(d) Determine enta\u2dco a expressa\u2dco para o vetor forc¸a ele´trica resultante exercida sobre uma part´\u131cula de prova com
carga q0 colocada na origem (ponto P). [0,5 ponto]
Resoluc¸a\u2dco
(a)
\u3bb+ = q/(
\u3c0a
2
) =
2q
\u3c0a
\u3bb\u2212 = \u2212
2q
\u3c0a
(1)
1
Figura 1:
Na figura 1:
\u2212\u2192
dE = \u2212
1
4\u3c0\u1eb0
\u3bbds
a2
cos \u3b8 i\u2c6\u2212
1
4\u3c0\u1eb0
\u3bbds
a2
sin \u3b8 j\u2c6
=
\u3bb
4\u3c0\u1eb0a
(\u2212 cos \u3b8d\u3b8 i\u2c6\u2212 sin \u3b8d\u3b8 j\u2c6)
(2)
Essa expressa\u2dco vale para qualquer \u3b8 e na\u2dco apenas para o primeiro quadrante.
2
Figura 2:
(b)
\u2212\u2192
dE+ =
q
2\u3c02\u1eb0a2
(\u2212 cos \u3b8d\u3b8 i\u2c6\u2212 sin \u3b8d\u3b8 j\u2c6) (3)
\u2212\u2192
E+ =
q
2\u3c02\u1eb0a2
(\u2212i\u2c6
\u222b pi/2
0
cos \u3b8d\u3b8 \u2212 j\u2c6
\u222b pi/2
0
sin \u3b8d\u3b8 )
=
q
2\u3c02\u1eb0a2
(\u2212i\u2c6\u2212 j\u2c6)
(4)
(c)
\u2212\u2192
dE\u2212 =
\u2212q
2\u3c02\u1eb0a2
(\u2212 cos \u3b8d\u3b8 i\u2c6\u2212 sin \u3b8d\u3b8 j\u2c6) (5)
\u2212\u2192
E\u2212 =
q
2\u3c02\u1eb0a2
(\u2c6i
\u222b pi
pi/2
cos \u3b8d\u3b8 + j\u2c6
\u222b pi
pi/2
sin \u3b8d\u3b8 )
=
q
2\u3c02\u1eb0a2
(\u2212i\u2c6+ j\u2c6)
(6)
(d)
\u2212\u2192
E =
\u2212\u2192
E+ +
\u2212\u2192
E\u2212 = \u2212
q
\u3c02\u1eb0a2
i\u2c6 (7)
\u2212\u2192
F = q0
\u2212\u2192
E = \u2212
qq0
\u3c02\u1eb0a2
i\u2c6 (8)
PROBLEMA 2 (Casca e bola esfe´ricas) [ 2,5 ponto(s)]
Uma casca esfe´rica condutora neutra de raio interno b
e raio externo c tem em seu interior, conce\u2c6ntrica a ela,
uma bola esfe´rica isolante de raio a e constante diele´trica
igual a 1, conforme mostra a figura ao lado. Essa bola
esta´ carregada com uma densidade volumar dada pela
func¸a\u2dco \u3c1(r) = \u3b1r (onde \u3b1 e´ uma constante positiva e r
e´ a dista\u2c6ncia do ponto ao centro da esfera). O sistema
esta´ em equil´\u131brio eletrosta´tico.
3
(a) Determine a carga ele´trica total contida na esfera isolante. [0,5 pontos]
(b) A partir da simetria do sistema, esboce as linhas de campo ele´trico e uma superf´\u131cie gaussiana gene´rica que
sera´ usada para a determinac¸a\u2dco do vetor campo ele´trico. [0,4 pontos]
(c) Determine o vetor campo ele´trico ~E nas quatro regio\u2dces definidas pelo sistema (r < a, a < r < b, b < r < c e
c < r). [1,6 pontos]
Resoluc¸a\u2dco
(a) A carga ele´trica total Q contida na esfera sera´ dada por
Q =
\u222b
\u3c1dV =
\u222b a
0
\u3b1r4\u3c0r2dr = 4\u3c0\u3b1
\u222b a
0
r3dr ;
logo:
Q = \u3c0\u3b1a4 .
(b) Devido a` simetria esfe´rica do problema, o campo ele´trico so´ podera´ ter componente na direc¸a\u2dco radial e so´
podera´ depender de r, isto e´, o campo ele´trico sera´ tal que ~E = E(r)r\u2c6. As superf´\u131cies gaussianas sera\u2dco esfe´ricas e
conce\u2c6ntricas a`s superf´\u131cies do problema de maneira que o mo´dulo do campo ele´trico sera´ constante em cada uma
delas.
(c) No caso da regia\u2dco b \u2264 r < c, como a casca esfe´rica e´ condutora e estamos em equil´\u131brio eletrosta´tico, o campo
ele´trico ~E sera´ nulo.
Para as outras regio\u2dces usaremos a Lei de Gauss
\u3a6 =
\u222e
S
~E · d~S = q/\u3b50 .
Neste caso ~E = Er(r)r\u2c6 e d~S = dSr\u2c6, de modo que ~E · d~S = Er(r)dS. Como Er(r) e´ constante na superf´\u131cie
gaussiana, teremos \u222e
S
~E · d~S = Er(r)
\u222e
S
dS = 4\u3c0r2Er(r) .
Precisamos, agora, determinar a carga ele´trica interna a cada superf´\u131cie gaussiana que descreve a regia\u2dco de
interesse.
Para r < a:
q =
\u222b
\u3c1dV =
\u222b r
0
\u3b1r\u20324\u3c0r\u20322dr\u2032 = \u3c0\u3b1r4 ,
logo
~E(r) =
\u3b1r2
4\u3b50
r\u2c6 =
Qr2
4\u3c0\u3b50a4
r\u2c6 .
4
Para a \u2264 r < b e r \u2265 c:
q = Q ,
logo
~E(r) =
Q
4\u3c0\u3b50r2
r\u2c6 .
PROBLEMA 3 (Quadrupolo ele´trico) [ 2,5 ponto(s)]
A figura ao lado mostra duas part´\u131culas de cargas
ele´tricas individuais +q separadas entre si por uma
dista\u2c6ncia de 2a. No ponto me´dio entre essas duas
part´\u131culas e´ colocada uma terceira cuja carga ele´trica e´
\u22122q.
(a) Obtenha a expressa\u2dco exata do potencial ele´trico V (x)
no ponto P do eixo X , para x > a. Qual e´ a expressa\u2dco
aproximada para V (x) quando tivermos x \u226b a? [1,0
ponto]
(b) A partir da expressa\u2dco exata para o potencial ele´trico, obtenha a expressa\u2dco do vetor campo ele´trico ~E no
ponto P . Qual e´ a expressa\u2dco aproximada para ~E(x) quando tivermos x\u226b a? [1,0 ponto]
(c) Qual e´ a energia potencial eletrosta´tica acumulada em tal sistema? [0,5 ponto]
Resoluc¸a\u2dco
(a) Lembrando que o potencial ele´trico de uma part´\u131cula de carga q e´ dado por V (r) = q/(4\u3c0\u1ebor), sendo r a
dista\u2c6ncia em relac¸a\u2dco a` part´\u131cula, enta\u2dco no caso de uma distribuic¸a\u2dco discreta de tre\u2c6s cargas puntiformes em que
as cargas ele´tricas e as posic¸o\u2dces das part´\u131culas em relac¸a\u2dco ao ponto P sa\u2dco (+q, x+a) , (\u22122q, x) , e (+q, x\u2212a) ,
o potencial ele´trico devido a elas neste ponto sera´ fornecido por
V (x) =
1
4\u3c0\u1ebo
3\u2211
n=1
qn
xn
=
q
4\u3c0\u1ebo
(
1
x+ a
\u2212
2
x
+
1
x\u2212 a
)
=
1
4\u3c0\u1ebo
[
2a2q
x(x2 \u2212 a2)
]
.
No caso em que o ponto P se encontre muito afastado das cargas devemos considerar que x \u226b a e assim
podemos aproximar x(x2 \u2212 a2) \u2248 x3 na expressa\u2dco obtida acima para V (x) e com isso teremos que
V (x) \u2248
Q
4\u3c0\u1ebox3
sendo Q \u2261 2a2q o momento de quadrupolo ele´trico da distribuic¸a\u2dco de cargas.
(b) O vetor campo ele´trico ~E pode ser obtido a partir do potencial ele´trico atrave´s de ~E(r) = \u2212~\u2207V (r) o que,
no caso do ponto P , se reduzira´ a
~E(x) = \u2212
[
dV (x)
dx
]
x\u2c6 =
q
4\u3c0\u1ebo
(
1
(x + a)2
\u2212
2
x2
+
1
(x\u2212 a)2
)
x\u2c6 =
Q
4\u3c0\u1ebo
[
3x2 \u2212 a2
x2(x2 \u2212 a2)2
]
x\u2c6 .
No caso em que x\u226b a podemos aproximar (3x2 \u2212 a2)/[x2(x2 \u2212 a2)2] \u2248 3x2/x6 = 3/x4 e assim mostrar que
~E(x) \u2248
(
3Q
4\u3c0\u1ebox4
)
x\u2c6 .
(c) Temos um sistema de tre\u2c6s part´\u131culas; para constru´\u131-lo (a partir de uma separac¸a\u2dco infinita entre as part´\u131culas),
devemos realizar um trabalho total dado por
U =
3\u2211
i=1
3\u2211
j>i
qiqj
4\u3c0\u1eborij
=
q2
4\u3c0\u1ebo
(
1
2a
\u2212
2
a
\u2212
2
a
)
= \u2212
7
2
(
q2
4\u3c0\u1eboa
)
.
5
PROBLEMA 4 (Capacitores) [ 2,5 ponto(s)]
Na figura ao lado, temos um arranjo cons-
titu´\u131do por uma bateria de forc¸a eletromotriz
V0, uma chave S e tre\u2c6s capacitores, 1, 2 e 3, de
mesma capacita\u2c6ncia C, inicialmente descar-
regados. A chave S e´, primeiramente, girada
para a posic¸a\u2dco a e permite-se que o capacitor
1 seja completamente carregado. A seguir, a
chave e´ girada para a posic¸a\u2dco b.
(a) Quais sa\u2dco as cargas finais q1, q2 e q3
nos capacitores correspondentes, expressas
em func¸a\u2dco de V0 e C? [1,5 ponto]
(b) Determine a energia total acumulada nos
capacitores com a chave na posic¸a\u2dco a e aquela
acumulada nos capacitores com a chave na
posic¸a\u2dco b, expressas em func¸a\u2dco de V0 e C.
[1,0 ponto]
V0
S
a b
c
d
1 3
2
Resoluc¸a\u2dco
(a) A carga final adquirida pelo capacitor 1, depois da chave ser girada para a posic¸a\u2dco a, e´ dada por:
Q1 = C1V0 = CV0.
Na segunda etapa, apo´s a chave S ser girada para a posic¸a\u2dco b, observamos, primeiro que, por simetria, a carga
(em mo´dulo) em cada uma das placas dos capacitores 2 e 3 e´ a mesma; logo:
q2 = q3 .
Ale´m disso, por conservac¸a\u2dco da carga,
q1 + q2 = Q1 = CV0 . (9)
Uma outra equac¸a\u2dco provira´ do ca´lculo da ddp entre os pontos a e d de duas maneiras: via o ramo que inclui
so´ o capacitor 1, fornecendo:
Vad =
q1
C
ou
Thaís
Thaís fez um comentário
Só tem as provas de 2009 e 2010. Mas ainda assim, arquivo ótimo!
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