SC_4h_f3unif_101_def_enunc_gab
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SC_4h_f3unif_101_def_enunc_gab

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e uniforme) λ, coincide
com o eixo cartesiano Z. Coaxial com esse fio, circundando-o, temos uma casca cil´ındrica, circular, tambe´m
muito longa, condutora, neutra, de raios interno a e externo b (a < b), em regime eletrosta´tico.
(a) Determine as densidades superficiais de carga σa e σb, nas superf´ıcies interna e externa da casca con-
dutora. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico nas treˆs regio˜es t´ıpicas do espac¸o: 0 < r < a, a < r < b e b < r <∞.
[1,0 ponto]
(c) Determine o potencial ele´trico nas mesmas treˆs regio˜es acima, tomando-o como zero na superf´ıcie interna
da casca, r = a, ou seja, fazendo V (r = a) = 0. [1,0 ponto]

Resoluc¸a˜o:

(a) Pela lei de Gauss, a carga total dentro de uma superf´ıcie gaussiana cil´ındrica, circular, de raio r, tal que
a < r < b, coaxial com o fio retil´ıneo carregado, deve ser zero, visto que a mesma se encontra no interior
de um condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, ou seja:

λh+ σa2πah = 0 ;

logo,

σa = − λ
2πa

.

Como consequ¨eˆncia, tendo em mente que a casca cil´ındrica e´ neutra, devemos ter:

σb2πbh+ σa2πah = 0 ;

logo

σb =
λ

2πb
.

�

(b)

• a < r < b:
Conforme ja´ usamos no pro´prio item (a), dentro da casca condutora cil´ındrica, em regime eletrosta´tico,
temos

E = 0 .

• 0 < r < a:
Aplicando a lei de Gauss, devido a` simetria cil´ındrica, temos:

Er(r)2πrh = λh/ǫ0 ,

o que fornece, enta˜o,

E =
λ

2πǫ0r
rˆ .

• b < r <∞:
Ainda pela lei de Gauss,

E =
λ

2πǫ0r
rˆ .

3

�
(c)

• 0 < r < a:
O potencial pode ser obtido a partir do campo ele´trico por integrac¸a˜o:

V (r) − V (a) = −
∫ r

r′=a

λ

2πǫ0r
rˆ · drrˆ

Como V (a) = 0, por escolha do enunciado, temos, enta˜o,

V (r) = − λ
2πǫ0

ln(r/a) .

• a ≤ r ≤ b:
Por continuidade, temos

V (r) = 0 .

• b ≤ r <∞:
Tambe´m, por continuidade,

V (r) = − λ
2πǫ0

ln(r/b) .

�

2. Uma barra PQ condutora, de comprimento a e massa M , pode deslizar, sem atrito, ao longo da direc¸a˜o
Z, em contato com um arame de guia, tambe´m condutor, fixo, postado no plano Y Z, conforme mostra a
figura abaixo. Tal arranjo esta´ sujeito tanto a um campo magne´tico B = Bxˆ (B = const > 0), como a um
campo gravitacional g = −gzˆ (g = const > 0).
(a) Supondo que, num instante gene´rico, a barra esta´ a uma distaˆncia h abaixo da parte superior do arame,
determine o fluxo do campo magne´tico atrave´s da superf´ıcie plana definida pela barra e o arame de guia.
[0,5 ponto]
(b) Supondo que a barra, num instante gene´rico, esta´ caindo com velocidade de mo´dulo v, determine a
forc¸a eletromotriz ao longo do circuito constitu´ıdo pela barra e o arame de guia. [0,5 ponto]
(c) Determine a velocidade terminal, limite, da barra. [1,0 ponto]
(d) Determine o sentido da corrente induzida na barra, justificando sua escolha detalhadamente. [0,5
ponto]

a

⊙
xˆ yˆ

zˆ

P Q

⊙

g

B

E =
1

4πǫ0

Qr

R3
rˆ .

Resoluc¸a˜o:

4

(a) Por definic¸a˜o de fluxo, temos, escolhendo xˆ como versor normal,

ΦB[S] :=
∫
S

B ·nˆ dA

=

∫
S

Bxˆ·zˆ dA ,

ou seja,

ΦB[S] = Bah .

�

(b) Devido a` lei de Faraday, temos direto:

Eind = − d
dt
ΦB

= −Badh
dt

,

ou seja,

Eind = −Bav .

�

(c) Quando a barra estiver com velocidade constante, terminal, vterm, seu peso e a forc¸a magne´tica sobre
ela se equilibram:

Mg = BaIind

= Ba
|Eind|
R

=
B2a2vterm

R
;

logo,

vterm =
MgR

B2a2
.

Aqui, desprezamos a resisteˆncia do arame de guia e consideramos que a barra deslizante tem resisteˆncia R.
�

(d) Como o fluxo cresce, em mo´dulo, pela lei de Lenz, deve surgir uma corrente induzida de modo que o
campo magne´tico por ela criado, dentro do circuito, seja oposto ao campo externo. Logo, pela regra da
ma˜o direita, a corrente induzida deve ter o sentido hora´rio.

�

5

6

Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2010/1
Segunda Chamada (SC) – 30/07/2010

Versa˜o: C

Aluno:

Assinatura:

DRE:

Professor:

Turma:

Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o

Parte objetiva (total)

Parte discursiva: Questa˜o 1

Parte discursiva: Questa˜o 2

Total

INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!

1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!

2. A prova constitui-se de duas partes:

• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por dez (10) questo˜es de mu´ltipla
escolha, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizac¸a˜o alguma;

• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.

3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.

4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)

Formula´rio

E =
1

4πǫ0

q

r2
rˆ ,

∮
S

E ·nˆ dA = Qint/ǫ0 , C = Q/V , E = E0
K

,

F = qE + qv ×B , B =
∮
C

µ0
4π

Idℓ× rˆ
r2

,

∮
S

B ·nˆ dA = 0 ,
∮
C

B ·dℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0 d
dt
ΦE , Eind = − d

dt
ΦB

1

Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5=5,0 pontos)

1. Dois fios r´ıgidos, retil´ıneos, eletricamente neutros,
longos e paralelos, sa˜o percorridos por correntes
estaciona´rias, uniformes, de mesmo sentido. Assi-
nale a opc¸a˜o que indica corretamente se a forc¸a en-
tre eles e´ zero, de atrac¸a˜o ou repulsa˜o e, tambe´m,
se eles tendem a girar.

(a) A forc¸a e´ zero; na˜o tendem a girar.

(b) A forc¸a e´ atrativa; na˜o tendem a girar.

(c) A forc¸a e´ repulsiva; na˜o tendem a girar.

(d) A forc¸a e´ atrativa; tendem a girar.

(e) A forc¸a e´ repulsiva; tendem a girar.

2. Seja uma part´ıcula pontual, de massa m = 4 kg,
carga q = −2 C, com velocidade v = (2 m/s) xˆ+
(3 m/s) yˆ+(4 m/s) zˆ, sujeita somente a um cam-
po magne´tico B = (4 T) xˆ + (3 T) yˆ + (2 T) zˆ.
Qual e´ a acelerac¸a˜o que ela sofre?

(a) (−6 m/s2) (xˆ− 2yˆ + zˆ).
(b) (−1 m/s2) (xˆ− 2yˆ + zˆ).
(c) (1 m/s2) (xˆ − 2yˆ+ zˆ).
(d) (−3 m/s2) (xˆ− 2yˆ + zˆ).
(e) (3 m/s

2
) (xˆ − 2yˆ+ zˆ).

3. Em qual das situac¸o˜es abaixo pode-se aplicar a lei
de Gauss para deduzir o campo ele´trico resultante
num ponto arbitra´rio do espac¸o?

(a) Segmento retil´ıneo (finito) uniforme-
mente carregado.

(b) Segmento retil´ıneo (finito) na˜o uniforme-
mente carregado.

(c) Cilindro so´lido de altura finita uniforme-
mente carregado.

(d) Fio retil´ıneo infinito uniformemente car-
regado.

(e) Chapa quadrada uniformemente carre-
gada.

4. Seja um triaˆngulo equila´tero, com dois de seus
ve´rtices (1 e 2) portando part´ıculas de carga q1
e q2, respectivamente. E´ poss´ıvel trazer uma ter-
ceira part´ıcula, com carga q3, de modo que a ener-
gia potencial eletrosta´tica total armazenada em
tal triaˆngulo seja zero?

(a) Sim, contanto que q3 = q1q2/(q1 + q2).

(b) Sim, contanto que q3 = −q1q2/(q1 + q2).
(c) Sim, contanto que q3 =

√
q1q2.

(d) Na˜o, pois isto violaria a conservac¸a˜o da
energia.

5. Suponha que, num dado instante, temos duas
part´ıculas pontuais de massas m1, m2, cargas
ele´tricas q1, q2, e velocidades v1, v2, respecti-
vamente, com m1 > m2, q1 = −q2 e v1 = v2.
Estas part´ıculas se movem, sujeitas somente a
um campo magne´tico B = const, em trajeto´rias
planas (na˜o retil´ıneas). Assinale a opc¸a˜o incor-
reta.

(a) Cada part´ıcula segue uma trajeto´ria cir-
cular.

(b) A part´ıcula 1 leva mais tempo para com-
pletar um ciclo completo de sua trajeto´ria
do que a part´ıcula 2.

(c) O raio de curvatura da trajeto´ria da
part´ıcula 2 e´ maior que o da part´ıcula 1.

(d) Os sentidos de percurso (hora´rio ou anti-
hora´rio) da trajeto´ria de cada part´ıcula
sa˜o necessariamente opostos.

6. Seja um anel circular fino, de raio R, situado no
plano XY , com centro na origem. Em tal anel,
ha´ uma distribuic¸a˜o de carga com densidade li-
near na˜o uniforme dada por λ(θ) = λ0θ, onde λ0
e´ uma constante e θ e´ a medida (em radianos) do
tradicional aˆngulo polar. Qual e´ o potencial no
centro do anel?

(a) πλ0/(2ǫ0).

(b) 0.

(c) λ0/(4πǫ0).

(d) k0λ.

(e) λ0/(2ǫ0).

2

7. Assinale a opc¸a˜o incorreta.

(a) Se a carga ele´trica total dentro