SC_4h_f3unif_101_def_enunc_gab
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e uniforme) \u3bb, coincide
com o eixo cartesiano Z. Coaxial com esse fio, circundando-o, temos uma casca cil´\u131ndrica, circular, tambe´m
muito longa, condutora, neutra, de raios interno a e externo b (a < b), em regime eletrosta´tico.
(a) Determine as densidades superficiais de carga \u3c3a e \u3c3b, nas superf´\u131cies interna e externa da casca con-
dutora. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico nas tre\u2c6s regio\u2dces t´\u131picas do espac¸o: 0 < r < a, a < r < b e b < r <\u221e.
[1,0 ponto]
(c) Determine o potencial ele´trico nas mesmas tre\u2c6s regio\u2dces acima, tomando-o como zero na superf´\u131cie interna
da casca, r = a, ou seja, fazendo V (r = a) = 0. [1,0 ponto]
Resoluc¸a\u2dco:
(a) Pela lei de Gauss, a carga total dentro de uma superf´\u131cie gaussiana cil´\u131ndrica, circular, de raio r, tal que
a < r < b, coaxial com o fio retil´\u131neo carregado, deve ser zero, visto que a mesma se encontra no interior
de um condutor em equil´\u131brio eletrosta´tico, ou seja:
\u3bbh+ \u3c3a2\u3c0ah = 0 ;
logo,
\u3c3a = \u2212 \u3bb
2\u3c0a
.
Como consequ¨e\u2c6ncia, tendo em mente que a casca cil´\u131ndrica e´ neutra, devemos ter:
\u3c3b2\u3c0bh+ \u3c3a2\u3c0ah = 0 ;
logo
\u3c3b =
\u3bb
2\u3c0b
.
\ufffd
(b)
\u2022 a < r < b:
Conforme ja´ usamos no pro´prio item (a), dentro da casca condutora cil´\u131ndrica, em regime eletrosta´tico,
temos
E = 0 .
\u2022 0 < r < a:
Aplicando a lei de Gauss, devido a` simetria cil´\u131ndrica, temos:
Er(r)2\u3c0rh = \u3bbh/\u1eb0 ,
o que fornece, enta\u2dco,
E =
\u3bb
2\u3c0\u1eb0r
r\u2c6 .
\u2022 b < r <\u221e:
Ainda pela lei de Gauss,
E =
\u3bb
2\u3c0\u1eb0r
r\u2c6 .
3
\ufffd
(c)
\u2022 0 < r < a:
O potencial pode ser obtido a partir do campo ele´trico por integrac¸a\u2dco:
V (r) \u2212 V (a) = \u2212
\u222b r
r\u2032=a
\u3bb
2\u3c0\u1eb0r
r\u2c6 · drr\u2c6
Como V (a) = 0, por escolha do enunciado, temos, enta\u2dco,
V (r) = \u2212 \u3bb
2\u3c0\u1eb0
ln(r/a) .
\u2022 a \u2264 r \u2264 b:
Por continuidade, temos
V (r) = 0 .
\u2022 b \u2264 r <\u221e:
Tambe´m, por continuidade,
V (r) = \u2212 \u3bb
2\u3c0\u1eb0
ln(r/b) .
\ufffd
2. Uma barra PQ condutora, de comprimento a e massa M , pode deslizar, sem atrito, ao longo da direc¸a\u2dco
Z, em contato com um arame de guia, tambe´m condutor, fixo, postado no plano Y Z, conforme mostra a
figura abaixo. Tal arranjo esta´ sujeito tanto a um campo magne´tico B = Bx\u2c6 (B = const > 0), como a um
campo gravitacional g = \u2212gz\u2c6 (g = const > 0).
(a) Supondo que, num instante gene´rico, a barra esta´ a uma dista\u2c6ncia h abaixo da parte superior do arame,
determine o fluxo do campo magne´tico atrave´s da superf´\u131cie plana definida pela barra e o arame de guia.
[0,5 ponto]
(b) Supondo que a barra, num instante gene´rico, esta´ caindo com velocidade de mo´dulo v, determine a
forc¸a eletromotriz ao longo do circuito constitu´\u131do pela barra e o arame de guia. [0,5 ponto]
(c) Determine a velocidade terminal, limite, da barra. [1,0 ponto]
(d) Determine o sentido da corrente induzida na barra, justificando sua escolha detalhadamente. [0,5
ponto]
a
\u2299
x\u2c6 y\u2c6
z\u2c6
P Q
\u2299
g
B
E =
1
4\u3c0\u1eb0
Qr
R3
r\u2c6 .
Resoluc¸a\u2dco:
4
(a) Por definic¸a\u2dco de fluxo, temos, escolhendo x\u2c6 como versor normal,
\u3a6B[S] :=
\u222b
S
B ·n\u2c6 dA
=
\u222b
S
Bx\u2c6·z\u2c6 dA ,
ou seja,
\u3a6B[S] = Bah .
\ufffd
(b) Devido a` lei de Faraday, temos direto:
Eind = \u2212 d
dt
\u3a6B
= \u2212Badh
dt
,
ou seja,
Eind = \u2212Bav .
\ufffd
(c) Quando a barra estiver com velocidade constante, terminal, vterm, seu peso e a forc¸a magne´tica sobre
ela se equilibram:
Mg = BaIind
= Ba
|Eind|
R
=
B2a2vterm
R
;
logo,
vterm =
MgR
B2a2
.
Aqui, desprezamos a resiste\u2c6ncia do arame de guia e consideramos que a barra deslizante tem resiste\u2c6ncia R.
\ufffd
(d) Como o fluxo cresce, em mo´dulo, pela lei de Lenz, deve surgir uma corrente induzida de modo que o
campo magne´tico por ela criado, dentro do circuito, seja oposto ao campo externo. Logo, pela regra da
ma\u2dco direita, a corrente induzida deve ter o sentido hora´rio.
\ufffd
5
6
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´\u131sica
F´\u131sica III \u2013 2010/1
Segunda Chamada (SC) \u2013 30/07/2010
Versa\u2dco: C
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a\u2dco Nota original Iniciais Nota de revisa\u2dco
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa\u2dco 1
Parte discursiva: Questa\u2dco 2
Total
INSTRUC¸O\u2dcES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´\u131vel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a\u2dco de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
\u2022 uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´\u131da por dez (10) questo\u2dces de mu´ltipla
escolha, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizac¸a\u2dco alguma;
\u2022 uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´\u131da por duas (2) questo\u2dces discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletro\u2c6nico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
E =
1
4\u3c0\u1eb0
q
r2
r\u2c6 ,
\u222e
S
E ·n\u2c6 dA = Qint/\u1eb0 , C = Q/V , E = E0
K
,
F = qE + qv ×B , B =
\u222e
C
µ0
4\u3c0
Id\u2113× r\u2c6
r2
,
\u222e
S
B ·n\u2c6 dA = 0 ,
\u222e
C
B ·d\u2113 = µ0Ienc + µ0\u1eb0 d
dt
\u3a6E , Eind = \u2212 d
dt
\u3a6B
1
Sec¸a\u2dco 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5=5,0 pontos)
1. Dois fios r´\u131gidos, retil´\u131neos, eletricamente neutros,
longos e paralelos, sa\u2dco percorridos por correntes
estaciona´rias, uniformes, de mesmo sentido. Assi-
nale a opc¸a\u2dco que indica corretamente se a forc¸a en-
tre eles e´ zero, de atrac¸a\u2dco ou repulsa\u2dco e, tambe´m,
se eles tendem a girar.
(a) A forc¸a e´ zero; na\u2dco tendem a girar.
(b) A forc¸a e´ atrativa; na\u2dco tendem a girar.
(c) A forc¸a e´ repulsiva; na\u2dco tendem a girar.
(d) A forc¸a e´ atrativa; tendem a girar.
(e) A forc¸a e´ repulsiva; tendem a girar.
2. Seja uma part´\u131cula pontual, de massa m = 4 kg,
carga q = \u22122 C, com velocidade v = (2 m/s) x\u2c6+
(3 m/s) y\u2c6+(4 m/s) z\u2c6, sujeita somente a um cam-
po magne´tico B = (4 T) x\u2c6 + (3 T) y\u2c6 + (2 T) z\u2c6.
Qual e´ a acelerac¸a\u2dco que ela sofre?
(a) (\u22126 m/s2) (x\u2c6\u2212 2y\u2c6 + z\u2c6).
(b) (\u22121 m/s2) (x\u2c6\u2212 2y\u2c6 + z\u2c6).
(c) (1 m/s2) (x\u2c6 \u2212 2y\u2c6+ z\u2c6).
(d) (\u22123 m/s2) (x\u2c6\u2212 2y\u2c6 + z\u2c6).
(e) (3 m/s
2
) (x\u2c6 \u2212 2y\u2c6+ z\u2c6).
3. Em qual das situac¸o\u2dces abaixo pode-se aplicar a lei
de Gauss para deduzir o campo ele´trico resultante
num ponto arbitra´rio do espac¸o?
(a) Segmento retil´\u131neo (finito) uniforme-
mente carregado.
(b) Segmento retil´\u131neo (finito) na\u2dco uniforme-
mente carregado.
(c) Cilindro so´lido de altura finita uniforme-
mente carregado.
(d) Fio retil´\u131neo infinito uniformemente car-
regado.
(e) Chapa quadrada uniformemente carre-
gada.
4. Seja um tria\u2c6ngulo equila´tero, com dois de seus
ve´rtices (1 e 2) portando part´\u131culas de carga q1
e q2, respectivamente. E´ poss´\u131vel trazer uma ter-
ceira part´\u131cula, com carga q3, de modo que a ener-
gia potencial eletrosta´tica total armazenada em
tal tria\u2c6ngulo seja zero?
(a) Sim, contanto que q3 = q1q2/(q1 + q2).
(b) Sim, contanto que q3 = \u2212q1q2/(q1 + q2).
(c) Sim, contanto que q3 =
\u221a
q1q2.
(d) Na\u2dco, pois isto violaria a conservac¸a\u2dco da
energia.
5. Suponha que, num dado instante, temos duas
part´\u131culas pontuais de massas m1, m2, cargas
ele´tricas q1, q2, e velocidades v1, v2, respecti-
vamente, com m1 > m2, q1 = \u2212q2 e v1 = v2.
Estas part´\u131culas se movem, sujeitas somente a
um campo magne´tico B = const, em trajeto´rias
planas (na\u2dco retil´\u131neas). Assinale a opc¸a\u2dco incor-
reta.
(a) Cada part´\u131cula segue uma trajeto´ria cir-
cular.
(b) A part´\u131cula 1 leva mais tempo para com-
pletar um ciclo completo de sua trajeto´ria
do que a part´\u131cula 2.
(c) O raio de curvatura da trajeto´ria da
part´\u131cula 2 e´ maior que o da part´\u131cula 1.
(d) Os sentidos de percurso (hora´rio ou anti-
hora´rio) da trajeto´ria de cada part´\u131cula
sa\u2dco necessariamente opostos.
6. Seja um anel circular fino, de raio R, situado no
plano XY , com centro na origem. Em tal anel,
ha´ uma distribuic¸a\u2dco de carga com densidade li-
near na\u2dco uniforme dada por \u3bb(\u3b8) = \u3bb0\u3b8, onde \u3bb0
e´ uma constante e \u3b8 e´ a medida (em radianos) do
tradicional a\u2c6ngulo polar. Qual e´ o potencial no
centro do anel?
(a) \u3c0\u3bb0/(2\u1eb0).
(b) 0.
(c) \u3bb0/(4\u3c0\u1eb0).
(d) k0\u3bb.
(e) \u3bb0/(2\u1eb0).
2
7. Assinale a opc¸a\u2dco incorreta.
(a) Se a carga ele´trica total dentro