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Gabarito das Autoatividades MATEMÁTICA 2013/2 Módulo II 3UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M A T E M Á T I C A GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE MATEMÁTICA UNIDADE 1 TÓPICO 1 1 Determine os seguintes conjuntos, apresentando os seus elementos na forma tabular ou descritiva: a) A = {x | x é estado brasileiro da Região Sul} R.: A = {SC, PR, RS} b) B = {x| x é algarismo do sistema de numeração} R.: B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} c) C = {x | x é número par entre 9 e 21} R.: C = {10, 12, 14, 16, 18, 20} d) D = {x | x é vogal da palavra Brasil} R.: D = {a, i} 2 Observe os diagramas a seguir e classifique as afirmações em verdadeiras V ou falsas F: a) (V) 1 ∈ A b) (V) 2 ∈ A c) (F) 2 ∉ B d) (V) 3 ∈ A e) (F) 3 ∈ B f) (F) 4 ∈ B g) (V) 5 ∉ A h) (V) 5 ∈ B i) (F) 7 ∈ B j) (V) 8 ∈ B 4 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M A T E M Á T I C A 3 Sejam A = { x │x é número par compreendido entre 3 e 15}, B = { x│ x é número par menor que 15} e C = { x│ x é número par diferente de 2}. Usando os símbolos⊂ ou ⊄ , complete: a) A ⊂ B b) A ⊂ C c) B ⊄ C 4 No diagrama seguinte, A, B e C são três conjuntos não vazios. Associe V ou F a cada uma das seguintes sentenças conforme ela seja verdadeira ou falsa, respectivamente: a) (F) A ⊂ B b) (V) C ⊂ B c) (F) B ⊂ A d) (F) A ⊂ C e) (V) B ⊄ A f) (V) A ⊄ C g) (V) B ⊃ A h) (F) A ⊃ C 5 Observe os diagramas a seguir e classifique as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F): 5UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M A T E M Á T I C A a) (V) 1∈ A b) (F) 4 ∈ A c) (V) 7∈ A d) (V) 7 ∈ B e) (V) 3 ∈ B f) (V) 11 ∈ C g) (F) 10 ∉C h) (V) 14 ∉ C i) (F) 15 ∉U j) (F) 9 ∉ A k) (V)17 A l) (V) 14∉ B ∉ m) (F) A B n) (F) B⊂ C o) (V) A C p) (V) C U q) (F) A U r) (F) U⊂ B ⊂ ⊂ 6 Sendo A = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 2, 3, 5}, C = {x | x é número par positivo menor que 10} e D = {x | x é número ímpar compreendido entre 4 e 10}, determine: a) A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 5} b) A ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8} c) A ∪ D = {0, 1, 2, 3, 5, 7, 9} d) C ∪ D = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e) B ∪ D = {0, 2, 3, 5, 7, 9} f) C ∩ D = { } g) A ∩ B = {0, 2, 3} h) A ∩ C = { 2 } i) A ∩ D = { } j) B ∩ C = { 2 } k) (A ∩ B) ∩C = { 2 } l) (A ∩ C) ∩ D = { } 7 O que se pode dizer do conjunto A ∪ B, sabendo que A = ? Justifique sua resposta. R.: Quando A = , temos que A ∪ B = B, pois o vazio está contido em qualquer conjunto. Desse modo A = é um subconjunto de B, implicando que A ∪ B resulte no próprio B. 8 Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7}, determine o conjunto A – B e B – A. R.: A – B = {1, 2} B – A = {6, 7} 9 Dados os conjuntos A = {x | x é número inteiro par entre 1 e 11} e B = {x | x é número inteiro entre 0 e 10}, determine A – B e B – A. R.: A – B = {10} B – A = {1, 3, 5, 7, 9} 10 Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de quarenta alunos. Dez alunos acertaram as duas questões, 25 acertaram a primeira questão e 20 acertaram a segunda questão. Quantos alunos erraram as duas questões? ⊄ ⊄ 6 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M A T E M Á T I C A 15 + 10 + 10 + x = 40 35 + x = 40 x = 05 alunos 11 Numa pesquisa feita com 1.000 famílias para se verificar a audiência dos programas de televisão, os seguintes resultados foram encontrados: 510 famílias assistem ao programa A, 305 assistem ao programa B e 386 ao programa C. Sabe-se ainda que 180 famílias assistem aos programas A e B, 60 assistem aos programas B e C, 25 assistem a A e C, e 10 famílias assistem aos três programas. a) Quantas famílias não assistem a nenhum desses programas? b) Quantas famílias assistem somente ao programa A? c) Quantas famílias não assistem nem ao programa A nem ao programa B? 7UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M A T E M Á T I C A R.: a) 315 + 170 + 75 + 15 + 10 + 50 + 311 + x = 1.000 946 + x = 1.000 x = 1.000 – 946 x = 54 famílias b) 315 famílias c) 311 + 54 = 365 famílias 12 Uma pesquisa mostrou que 33% dos entrevistados leem o jornal A, 29% leem o jornal B, 22% leem o jornal C, 13% leem A e B, 6% leem B e C, 14% leem A e C e 6% leem os três jornais. a) Quanto por cento não lê nenhum desses três jornais? b) Quanto por cento lê os jornais A e B e não lê C? c) Quanto por cento lê pelo menos um jornal? R.: a) 12 + 7 + 16 + 8 + 6 + 0 + 8 + x = 100% 57 + x = 100% x = 43% b) 7% c) 57% 8 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M A T E M Á T I C A 13 Uma empresa fabricante de achocolatados pretende lançar um novo produto no mercado. Para isso encomendou uma pesquisa sobre as preferências dos consumidores entre duas embalagens A e B. Foram consultadas 402 pessoas, e o resultado foi precisamente o seguinte: • 150 pessoas gostaram somente da embalagem A; • 240 pessoas gostaram da embalagem B; • 60 pessoas gostaram das duas embalagens. Quantas pessoas não gostaram de nenhuma das duas embalagens, sabendo que todas as 402 pessoas opinaram? R.: 150 + 60 + 180 + x = 402 390 + x = 402 x = 402 – 390 x = 12 pessoas TÓPICO 2 1 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): a) (V) Z + é o conjunto dos números inteiros positivos. b) (V) Z – é o conjunto dos números inteiros negativos. c) (V) Z ⊂ Q, ou seja, todo número inteiro é racional. d) (F) ∉x ∉ Q | x ∉ R (verifique tabela de símbolos no Anexo A). 2 Usando os símbolos Є ou Є, complete os espaços: a) - 7 ∉ N f) 1,22 Є Q j) 3√8 Є N b) A Є Z Є Q k) √5 ∉ Z c) √10 Є Qc g) d) 0,166 Є Q h) √2 ∉ Q l) 12 Є Q e) - 2 Є Z i) 1 ∉ Q m) 6,5 Є Q 2 n) 5,666... Є Q √ 9 4 9UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M A T E M Á T I C A 3 Observe os números a seguir: - 3 2 3 0 1,5 4 3 1 4 √3 -1,22... 3,141592... A B C D E F G H I Dentre esses números, determine quais são: a) naturais: C, E b) inteiros: A, C, E c) racionais: A, B, C, D, E, F, H d) irracionais: G, I 4 Localize, na reta, aproximadamente, o ponto correspondente a cada número da questão anterior. 5 Identifique quais dos números a seguir não são números reais: a) ( ) 0 b) (x) 8 c) ( ) 3√1 d) (x) √4 e) ( ) - √4 8 0 6 A balança comercial de um país, em um determinado período, é a diferença entre o valor total das exportações e o das importações, nessa ordem. a) Complete a tabela a seguir com os valores correspondentes às importações, às exportações e à balança comercial de certo país nos anos de 1999, 2000 e 2001, em bilhões de dólares: Exportações Importações Balança Comercial 1999 25 18 7 2000 28 30 -2 2001 26,8 28,9 -2,1 b) Quais são os números naturais que constam nessa tabela? R.: 7, 18, 25, 28, 30. 10 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M A T E M Á T I C A c) Quais são os números inteiros que constam nessa tabela? R.: -2, 7, 18, 25, 28, 30. d) Quais são os números racionais que constam nessa tabela? R.: Todos os números apresentados na tabela são racionais. e) Quais são os números racionais não inteiros que constam nessa tabela? R.: -2.1; 26.8; 28.9. f) Quando a balança comercial é positiva, diz-se que houve um superávit; quando é negativa, diz-se que houve um déficit. No triênio 1999/2001, em que ano(s) houve superávit? Em que ano(s) houve déficit? R.: Superávit: 1999 Déficit: 2000 e 2001 TÓPICO 3 1 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso). Não esqueça as propriedades que você acabou de estudar. a) (F) 23. 220 = 260 e) (V) (2)-2 = 49 b) (V) (32)3 = 36 7 4 c) (F) (52)4 = 516 f) (V) 35 = 37 d) (F) (2 + 3)2 = 22 + 32 3-2 2 Efetue, observando as definições e propriedades: a) (-2)3 = - 8j) (0,5)3 = 0,125 b) 120 = 1 k) 151 = 15 c) 5001 = 500 l) 900 = 1 d) 1000 = 1 m) 020 = 0 e) 03 = 0 n) (1)-1 = 2 f) (4) -1 = 3 2 3 4 o) (2)-2 = 9 g) 5-1 = 1 3 4 5 p) (4)3 = 64 h) 2-3 = 1 5 125 8 i) (-3)4 = 81 11UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M A T E M Á T I C A 3 Calcule o valor da expressão: R.: = + −+− −32 3 5 2 2 3)2( lembrando que na adição de fração resolvemos o m.m.c. 4 Descubra a potência de base 10 que deve ser colocada no lugar de ♦ para que se tenha: a) 56,754 ∙ ♦ = 567.540 R.: 104 b) 0,003 ∙ ♦ = 30 R.: 104 c) ♦ ∙ 23 = 0,000023 R.: 10 - 6 d) ♦ ∙ 4,5 = 0,00045 R.: 10- 4 5 Resolva as expressões, apresentando os resultados em notação científica: R.: a) 3,6 . 104 = 3,6 . 104 = 3 .106 b) 2,1 . 10 -2 = 2,1 .10-2 = 3 .100 = 3 .1 = 3 10-2 . 1,2 1,2 10-2 10-2 . 0,7 0,7 10-2 12 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M A T E M Á T I C A 6 O produto 0,000015 · 0,000000002 é igual a: a) ( ) 3.10-40 b) (x) 3.10-14 c) ( ) 30.10-14 d) ( ) 30.10-13 e) ( ) 3.10-4 7 O valor da expressão ( -2)-2 + (-2)-1 + (-2)1 + (-2)2 é igual a: a) ( ) - 13 d) (x) 7 b) ( ) - 3 4 c) ( ) - 9 e) ( ) 0 4 R.: (-2)-2 + (-2)-1 + (-2)1 + (-2)2 (-1)2 + (-1) - 2 + 4 = 2 2 1 - 1 - 2 + 4 = na adição e subtração de fração encontra-se o divisor 4 2 comum 1 - 2 - 8 + 16 = 7 4 4 8 Efetue as adições algébricas com radicais, observando as propriedades estudadas: a) 3√5 + √5 - 6√5 = -2√5 b) 55√3 + 25√3 - 25√3 + 5√3 = 65√3 c) 4√2 + 6√3 - 2√2 + 9√3 = 15√3 + 2√2 d) - 4 + 3√5 + + 23√5 - 4 = - 8 + 33√5 e) 25√3 - 2√3 + 3√3 + 35√3 = 55√3 + √3 f) 3 + √2 + 7 - 5√2 = 10 - 4√2 9 Reduza os radicais a uma expressão da forma a√b, com a e b inteiros, fazendo uso de simplificação de radicais: a) √20 + √45 = 2√5 3√5 = 5√5 b) √50 + √18 - √8 = 5√2 + 3√2 - 2√2 = 6√2 c) 2√27 - 5√12 = 2.(3√3) - 5.(2√3) = 6√3 - 10√3 = - 4√3 d) 4√63 - √7 = 4.(3√7) - √7 = 12√7 - √7 = 11√7 e) √50 + √98 - √72 = 5√2 + 7√2 - 6√2 = 6√2 f) √12 + √75 + √108 = 2√3 + 5√3 + 6√3 = 13√3 13UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M A T E M Á T I C A TÓPICO 4 1 Resolva as equações do 1º grau: a) b) c) d) f) e) g) h) 14 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M A T E M Á T I C A 2 Resolva as equações do 1º grau: a) b) c) d) 15UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M A T E M Á T I C A e) f) g) h) 3 O lucro mensal de uma empresa é dado por L = 50x - 2000, em que x é a quantidade mensal vendida de seu produto e L o lucro, em reais. Qual a quantidade que deve ser vendida mensalmente para que o lucro mensal seja igual a R$ 5.000,00? 16 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M A T E M Á T I C A L = 50x – 2000 5000 = 50x – 2000 5000 + 2000 = 50x 7000 = 50x x = 7000 50 x = 140 Devem ser vendidas 140 unidades. 4 Uma certa importância deve ser dividida entre 10 pessoas em partes iguais. Se a partilha fosse feita somente entre 8 dessas pessoas, cada uma destas receberia R$ 5.000,00 a mais. Calcule a importância. 10x = 8(x + 5000) 10x = 8x + 40.000 10x – 8x = 40.000 2x = 40.000 x = 40.000 2 x = 20.000 Então a quantia a ser dividida corresponde a 10x = 200.000. 5 O custo mensal C , em reais, para produção de x camisetas em uma fábrica é dado pela expressão C = 5000 + 15x. Qual a quantidade mensal produzida sabendo-se que o custo mensal é R$ 8.000,00? C = 5000 + 15x 8000 = 5000 + 15x 8000 – 5000 = 15x 3000 = 15x x = 3000 15 x = 200 camisetas 6 O preço de um produto sofreu um reajuste de 12%, indo para R$ 60,48. Qual era o preço desse produto antes do reajuste? x + 0,12x = 60,48 1,12x = 60,48 x = 60,48 1,12 x = 54 O valor do produto era de R$ 54,00. 17UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M A T E M Á T I C A 7 Um comerciante comprou um produto por R$ 84,00 e o vendeu por R$ 105,00. a) Calcule o percentual de lucro sobre o preço de custo. R.: 84 = 100% 21 x 2100 = 84x x = 2100 84 x = 25% b) Calcule o percentual de lucro sobre o preço de venda. R.: 105 = 100% 21 x 2100 = 105x x = 2100 105 x = 20% 8 O preço de certa mercadoria sofre anualmente um acréscimo de 100%. Supondo que o preço atual seja R$ 100,00, daqui a três anos o preço será: a) ( ) R$ 300,00 d) ( ) R$ 600,00 b) ( ) R$ 400,00 e) ( ) R$ 1.000,00 c) (x) R$ 800,00 1º ano 100 + 1 . (100) = 200,00 2º ano 200 + 1 . (100) = 400,00 3º ano 400 + 1 . (100) = 800,00 9 Pedro investiu R$ 1.500,00 em ações. Após algum tempo, vendeu as ações por R$ 2.100,00. Determine o percentual de aumento sobre o capital investido. R.: 1500 = 100% 600 x 60.000 = 1500x x = 60.000 1500 x = 40% 18 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M A T E M Á T I C A 10 Uma loja aumenta o preço de determinado produto, cujo valor é de R$ 600,00, para, em seguida, a título de promoção, vendê-lo com desconto de 20% e obter ainda os mesmos R$ 600,00. Para que isso aconteça, qual deverá ser o aumento percentual do preço do produto? y – 0,2y = 600 600 + x (600) = y 600x = 750 – 600 0,8y = 600 600 + 600x = y 600x = 150 y = 600 600 + 600x = 750 x = 150 0,8 600 y = 750 x = 0,25 . 100 = 25% 11 Um artigo é vendido em uma loja por R$ 125,00. Sobre esse preço são dados dois abatimentos sucessivos: um de 16% e outro de p%. Se o preço de tal artigo passou a ser R$ 81,90, então p é igual a: a) ( ) 18 b) ( ) 20 c) (x) 22 d) ( ) 24 e) ( ) 26 R.: 125 – 0,16(125) = 105 105 – p(105) = 81,90 - 105p = 81,90 – 125 - 105p = -23,10 - p = - 23,10 . (-1) 105 p = 0,22 . 100 p = 22% 12 O preço de uma mercadoria sofreu dois aumentos sucessivos, de 10% e de 20%. De quantos por cento foi o aumento total dessa mercadoria? a) ( ) 30% b) (x) 32% c) ( ) 25% d) ( ) 22% e) ( ) 12% R.: Vamos atribuir um valor aleatório a x, por exemplo, x = 100. Atribuindo um aumento de 10% 100 + 10 = 110,00. Atribuindo um aumento de 20% 110 + 22 = 132,00. Portanto, com relação ao valor inicial de R$ 100,00, a quantia de R$ 132,00 representa um aumento de 32%. 19UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M A T E M Á T I C A 13 Resolva as questões do 2º grau: a) b) 20 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M A T E M Á T I C A c) d) 21UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M A T E M Á T I C A e) f) 22 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M A T E M Á T I C A g) h) 14 Resolva as equações incompletas do 2º grau: a) 23UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M A T E M Á T I C A b) c) d) e) f) 24 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M A T E M Á T I C A 15 O lucro mensal de uma empresa é dado por L = - x2 + 10x - 16, em que x é a quantidade vendida. Para que valores de x o lucro é nulo? R.: 16 Em relação ao exercício anterior, para que valores de x o lucro é igual a $ 9? R.: 25UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M A T E M Á T I C A 17 A receita diária de um estacionamento para automóveis é R = 100p - 5p2, em que p é o preço cobrado por dia de estacionamento por carro. Qual o preço que deve ser cobrado para dar uma receita diária de $ 375? R.: 18 Resolva as equações exponenciais: a) b) 26 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M A T E M Á T I C A c) d) UNIDADE 2 TÓPICO 1 1 Determine a lei algébrica de cada uma das seguintesfunções reais: a) f1 associa a cada número real seu dobro. b) f2 associa cada número real a seu quadrado. c) f3 associa cada número real a seu triplo menos 1. R.: a) f1 : R → R, f1 = 2x b) f2 : R → R, f2 = x 2 c) f3 : R → R, f3 = 3x - 1 2 Determine a lei algébrica de cada uma das seguintes funções, estabelecendo os conjuntos domínio e imagem: a) f1 é a função de R* em R*, que associa a cada número real seu inverso. R.: f1 = 1, D = R*, Im = R* x 27UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M A T E M Á T I C A b) f2 é a função de N em N, que associa a cada número natural o quadrado de seu sucessor. R.: c) f3 é a função de R+ em R+, que associa a cada número real sua raiz quadrada. R.: 3 Determine o domínio de cada uma das seguintes funções reais: a) f(x) = 4x - 5 b) f(x) = - x2 - 7x + 5 c) f(x) = 1 x - 1 d) f(x) = √x + 4 e) f(x) = 10x + 3 x2 - 9 f) f(x) = x - 1 x - 2 R.: a) D = R b) D = R c) D = R {-1} d) D = {x ϵ R | x ϵ ≥ - 4} e) D = R - {±3} f) D = R - {2} 4 Associe V para verdadeiro ou F para falso a cada uma das seguintes afirmações: a) (V) A função F : R+ → R+ definida por f(x) = x2 é injetora. b) (V) A função F : R → R definida por f(x) = x + 1 é bijetora. c) (V) A função F : {0,1,2,3} → R definida por y = x - 1 não é sobrejetora. d) (V) A função F : {0,1,2,3} → N definida por y = x + 1 é injetora. e) (F) A função F : R → R definida por f(x) = x2 + 1 é bijetora. f) (F) A função F : N → R+ definida por y = x é bijetora. 5 Seja a função real dada por f(x) = x + 2. Represente-a graficamente e classifique-a em crescente ou decrescente. R.: N,ImND,)1x(f 22 ==+= R,ImRD,xf3 === 28 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M A T E M Á T I C A A função f(x) = x + 2 é crescente. 6 Observe o gráfico da função a seguir: GRÁFICO 9 – GRÁFICO DE FUNÇÃO FONTE: Giovanni; Bonjorno (2000, p. 144) a) Determine os intervalos em que a função é crescente. R.: A função é crescente nos seguintes intervalos de x: (-2, 1); (2, 3). b) Determine os intervalos em que a função é decrescente. R.: A função é decrescente no seguinte intervalo de x: (3, 4). 29UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M A T E M Á T I C A c) O que ocorre com a função no intervalo de x = 1 a x = 2? R.: A função é constante neste intervalo de x. 7 Construa o gráfico da função f : R → R dada por f(x) = x2. Analise e verifique se ela é crescente ou decrescente. A função f(x) = - x2 é decrescente para o intervalo de x (-∞, 0) e crescente para o intervalo de x (0, +∞). 8 Num tanque, as variações na população de espécies de peixes A, B e C são descritas, no período de 10 meses, pelo gráfico: GRÁFICO 10 – VARIAÇÕES NA POPULAÇÃO DE ESPÉCIES DE PEIXES FONTE: Disponível em: <http://www.portalimpacto.com.br/docs/AldoUEPARevisao03.pdf>. Acesso em: 24 ago. 2009. 30 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M A T E M Á T I C A Quais afirmações a seguir são verdadeiras? a) ( ) No período de 0 a 2 meses, a população B manteve-se menor que a C. b) ( ) No quinto mês, havia menos de 3.500 peixes nesse tanque. c) (x) No período de 0 a 5 meses, as populações B e C mantiveram-se crescentes. d) ( ) A população C atingiu o seu máximo no terceiro mês. e) ( ) No período de 3 a 7 meses, a população B manteve-se maior que a A. TÓPICO 2 1 Uma gerente de uma fábrica de móveis tem um custo fixo de R$ 10.000,00 por mês para manter a fábrica em condições de funcionamento, ou seja, manter o salário dos seus funcionários e os gastos com energia elétrica, água e telefone. Para cada unidade de móvel produzido na fábrica, há um custo variável de R$ 100,00. a) Apresente uma função que expresse o valor “y” do custo total mensal da indústria na produção de “x” unidades de móveis. b) Calcule o custo da produção de 200 móveis. c) Calcule o número de móveis produzidos, sabendo-se que o custo mensal de produção foi de R$ 58.000,00. R.: a) y = 10.000 + 100x b) y = 10.000 + 100 . (200) y = 10.000 + 20.000 y = 30.000 c) y = 10.000 + 100x 58.000 = 10.000 = 100x 48.000 = 100x x = 480 unidades 2 Dada a função y = - 4x + 20, faça o que se pede: a) Calcule o valor de x para que se tenha y = 48. b) Calcule o valor de y para x = 3. R.: a) y = - 4x + 20 b) y = - 4x + 20 48 = -4 + 20 y = - 4 . 3 + 20 28 = - 4x y = - 12 + 20 x = - 7 y = 8 31UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M A T E M Á T I C A 3 O gerente de uma loja compra um sapato por R$ 45,00 e o vende por R$ 75,00. A despesa com frete é de R$ 70,00. a) Determine uma função que represente o lucro do fabricante. b) Quantos sapatos desse modelo a loja deverá comprar para ter um lucro de R$ 980,00? R.: a) L(x) = 30x - 70 b) L(x) = 30x - 70 980 = 30x - 70 1050 = 30x x = 35 sapatos 4 Uma fábrica de móveis vende mesas por R$ 700,00 cada uma. O custo total de produção do fabricante consiste em uma sobretaxa de R$ 80.000,00, somada ao custo de produção de R$ 300,00 por mesa. a) Determine uma função que represente o lucro do fabricante. b) Determine o número de mesas que o fabricante precisa vender para obter um lucro de R$ 60.000,00. R.: a) L(x) = 400x - 80.000 b) 60.000 = 400x - 80.000 140.000 = 400x x = 350 mesas 5 Classifique as funções a seguir em afim, linear, identidade, constante e translação: a) y = 5x + 2 → afim b) y = -x + 3 → afim c) y = 7 → constante d) y = x → identidade e) y = 3x → linear f) y = x + 5 → translação g) y = -x + 2 → afim h) y = -5 → constante 6 Esboce o gráfico das funções a seguir, classificando-as em crescentes, decrescentes ou constantes. a) y = x + 1 b) y = 2x c) y = 6 d) y = -x e) y = 2 – x f) y = -2 – 2x g) y = x h) y = 2x + 3 32 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M A T E M Á T I C A a) Crescente b) Crescente c) Constante d) Decrescente 33UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M A T E M Á T I C A e) Decrescente f) Decrescente g) Crescente 34 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M A T E M Á T I C A 7 Escreva a função afim y = ax +b, cujo gráfico passa pelos seguintes pontos: a) P(1, 5) e Q(-3, -7) b) P(-1, 7) e Q(2, 1) h) Crescente 35UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M A T E M Á T I C A TÓPICO 3 1 Construa o gráfico das seguintes funções, apresentando: (I) raízes da função (quando existirem); (II) intersecção com eixo y; (III) coordenadas do vértice. a) y = x2 - 3x + 2 e) y = 3x - x2 b) y = x2 - 5x + 4 f) y = 4 - x2 c) y = - x2 + 7x - 12 g) y = x2 - 48 d) y = x3 - 2x + 1 h) y = 2x2 - 7x - 4 R.: a) y = x2 - 3x + 2 b) y = x2 - 5x + 4 Raízes: S={1, 2} Intersecção eixo y : (0, 2) Vértice V: Raízes: S={1, 4} Intersecção eixo y : (0, 4) Vértice V: c) P(2, -2) e Q(1, 1) 36 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M A T E M Á T I C A c) y = - x2 + 7x - 12 d) y = x3 - 2x + 1 Raízes: S={3, 4} Intersecção eixo y : (0,-12) Vértice V: Raízes: S={1} Intersecção eixo y : (0,1) Vértice V: (1, 0) e) y = 3x - x2 f) y = 4 - x2 Raízes: S={0, 3} Intersecção eixo y : (0,0) Vértice V: Raízes: S={-2, 2} Intersecção eixo y : (0, 4) Vértice V: (0,4) − 4 9, 2 3 37UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M A T E M Á T I C A g) y = x2 - 48 h) y = 2x2 - 7x - 4 Raízes: S={ }34± Intersecção eixo y : (0, -48) Vértice V: (0,-48) Raízes: S= Intersecção eixo y : (0,-4) Vértice V: 2 Sabe-se que, sob certo ângulo de tiro, a altura h atingida por uma bala, em metros, em função do tempo t, em segundos, é dada por h(t) = -20t2 + 200t. Qual a altura máxima atingida pela bala? Em quanto tempo, após o tiro, a bala atinge a altura máxima? 200t20th(t) 2 +−= 38 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M A T E M Á T I C A 3 Determine o valor máximo (mínimo) e o ponto de máximo (mínimo) de cada uma das funções: a) y = 2x2 - 12x + 10 e) y = 3x2b) y = x2 + 4x + 5 f) y = x2 - 2x + 4 c) y = x2 + 9 g) y = - x2 + 3x - 5 d) y = - x2 + 16 h) y = - x2 R.: a) V=(3, - 8) e) V=(0, 0) b) V=(2, 9) f) V=(1, 3) c) V=(0, - 9) d) V=(0, 16) g) V = h) V=(0, 0) Lembrando que para a resolução da atividade 3 usamos: e TÓPICO 4 1 Identifique as seguintes funções como crescentes (C) ou decrescentes (D). a) f(x) = 4x = Crescente b) f(x) = (0,001)x = Decrescente c) f(x) = = Decrescente d) f(x) = 2-x = Decrescente e) f) f(x) = (√3)x = Crescente g) h) x 5 1f(x) = = Decrescente x 3 4f(x) = = Crescente x - 3 2f(x) = = Crescente 39UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M A T E M Á T I C A 2 Construa o gráfico das seguintes funções, apresentando domínio e imagem: a) f(x) = 3x b) f(x) = 4x 3 O gráfico ao lado refere-se à função x 2 3y = . a) A função é crescente ou decrescente? b) Qual o domínio e qual a imagem da função? c) Para que o valor de x tem-se y = 27 ? 8 d) Para quais valores de x tem-se y > 8 ? 27 e) Para quais valores de x tem-se y < 81? 16 FIGURA 7 – GRÁFICO DA FUNÇÃO FONTE: Bianchini; Paccola (2003, p. 134) 40 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M A T E M Á T I C A Crescente a) D(f) = R Im(f) = R*+ b) x = 3 c) x > – 3 d) x < 4 4 Estima-se que daqui a t anos o valor de uma fazenda seja igual a 500(3t) milhares de reais. Após dois anos, a valorização (aumento de valor) em relação a hoje será de: a) (x) 4 milhões de reais. b) ( ) 3,5 milhões de reais. c) ( ) 2 milhões de reais. d) ( ) 1,5 milhão de reais e) ( ) 1 milhão de reais. y = 500 (3t) y = 500 (3²) y = 500 (30) y = 500 . 9 y = 500 . 1 y = 4500 y = 500 4500 - 500 = 4000 UNIDADE 3 TÓPICO 1 1 Uma livraria vende uma revista por R$ 5,00 a unidade. Seja x a quantidade vendida: a) obtenha a função receita; R.: R(x) = 5x b) calcule R(40); R.: R(x) = 5.40 = 200 R(40) = 5.40 = 200 c) qual a quantidade que deve ser vendida para dar uma receita igual a R$ 700,00? R.: 41UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M A T E M Á T I C A R(x)=5x 700=5x x = 700 5 x = 140 2 O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado pela função C(x) = 100 + 2x. a) Qual o custo de fabricação de 10 unidades? b) Faça o esboço do gráfico da função custo. R.: a) C(x) = 100 + 2x b) C(10) = 100 + 2 . 10 C(10) = 100 + 20 C (10) = 120 3 Duas editoras oferecem emprego com as seguintes condições salariais: Empresa A – Fixo de R$ 800,00 e comissão de R$ 15,00 por coleção vendida; Empresa B – Fixo de R$ 600,00 e comissão de R$ 20,00 por coleção vendida. a) Faça uma análise e avalie qual a melhor proposta salarial. b) Qual a quantidade de coleções vendidas em que o salário das duas empresas será o mesmo? c) Apresente a situação-problema por meio de um gráfico. R.: Empresa A: f(x) = 800 + 15x 800 + 15x = 600 . 20x Empresa B: f(x) = 600 + 20x 15x - 20x = 600 - 800 - x = - 200 . (-1) 5 x = 40 Para x < 40, a proposta da empresa A é mais interessante para o empregado. Para x > 40, a proposta da empresa B torna-se mais viável. 42 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M A T E M Á T I C A b) 40 coleções c) 4 O custo total de um fabricante consiste em uma quantia fixa de R$ 200,00 somada ao custo de produção que é de R$ 15,00 por unidade. Nessas condições: a) Expresse o custo total como função do número de unidades produzidas. b) Determine o número de unidades que devem ser produzidas para que o custo total seja de R$ 700,00. c) Determine o custo total para produzir 1.500 unidades. d) Faça o gráfico da função obtida no item (a). R.: a) C(x)= 200 + 15x b) C(x)= 200 + 15x 700 = 200 + 15x 15x = 700-200 15x = 500 x ≅ 34 unidades 43UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M A T E M Á T I C A c) C(x)= 200 + 15x C (1500)=200+15.(1500) C (1500)= 200 + 22.500 C (1500)= 22.700,00 d) 5 O custo fixo mensal de uma empresa é de R$ 30.000,00, o preço unitário de venda é R$ 8,00 e o custo variável por unidade é R$ 6,00. a) Obtenha a função lucro mensal. b) Qual o lucro obtido na venda de 50.000 unidades? c) A partir de quantas unidades vendidas esta empresa começa a obter lucro? d) Qual a quantidade que determina o ponto de nivelamento? e) Faça o gráfico indicando as coordenadas do ponto de nivelamento. f) Represente o esboço do gráfico da função lucro. R.: a) L(x) = 2x – 30.000 b) L(50.000) = 2.50.000 – 30.000 L(50.000) = 100.000 – 30.000 L(50.000) = 70.000 44 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M A T E M Á T I C A c) L(x) = 2x – 30.000 0 = 2x – 30.000 30.000 = 2x x = 30.000 2 x = 15.000 d) A partir de 15.000 unidades e) f) 45UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M A T E M Á T I C A 6 O preço de venda de um produto é R$ 25,00. O custo variável por unidade é dado por: matéria-prima: R$ 6,00 por unidade, mão de obra direta: R$ 8,00 por unidade. Sabendo-se que o custo fixo mensal é de R$ 2.500,00, pergunta-se: a) qual o ponto crítico (ponto de nivelamento)? b) qual o lucro se a empresa produzir e vender 1.000 unidades por mês? c) de quanto aumenta percentualmente o lucro, se a produção aumentar de 1.000 para 1.500 unidades por mês? R.: a) R(x) = 25x C(x) = 14x + 2.500 L(x) = R(x) – C(x) L(x) = R(x) – C(x) L(x) = 25x –(14x + 2.500) L(x) = 11x -2.500 0 = 11x – 2.500 11x = 2500 x = 2500 11 x ≅ 227,3 b) L(x) = 11x -2.500 L(1000) =11 . 1000 – 2.500 L(1000) = 11.000 – 2.500 L(1000) = 8.500 c) L(x) = 11x – 2.500 L(1500) = 11 . 1500 -2.500 L(1500) = 16.500 -2.500 L(1500) = 14.000 14.000 – 8.500 = 5.500 8500 = 100% 5500 x 8500x = 550.000 x = 550.000 8500 x = 64,7% 7 Determine o ponto de nivelamento (ou ponto crítico) e esboce os gráficos da função receita e custo em cada caso: a) R(x) = 4x e C(x) = 50 + 2x b) R(x) = 200x e C(x) = 10.000 + 150x c) R(x) = 1 x e C(x) = 20 + 1 x 2 4 46 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M A T E M Á T I C A R.: a) R(x) = 4x C(x) = 50 + 2x 4x = 50 + 2x 4x – 2x = 50 2x = 50 x = 25 b) (x) = 200x C(x) = 10.000 + 150x 200x = 10.000 + 150x 200x – 150x = 10.000 50x = 10.000 x = 200 c) R(x) = 1x 2 C(x) = 20 + 1x 4 1x = 20 + 1x 2 4 1x - 1x = 20 2 4 0,50x - 0,25x = 20 0,25x = 20 x = 80 47UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M A T E M Á T I C A 8 Quando 10 unidades de um produto são fabricadas por dia, o custo é igual a R$ 6.600,00. Quando são produzidas 20 unidades por dia, o custo é R$ 7.200,00. Obtenha a função custo supondo que ela seja uma função de 1º grau. R.: (10 . 6.600) = (20 . 7.200) 10a + b = 6.600 600 + b = 6.600 b = 6.600 – 600 b = 6.000 C(x) = 60x + 6.000 9 O valor de um equipamento hoje é de R$ 2.000,00 e daqui a 9 anos será de R$ 200,00. Admitindo a depreciação linear, responda: a) qual o valor do equipamento daqui a 3 anos? b) qual o total da sua depreciação daqui a 3 anos? c) daqui a quanto tempo o valor do equipamento será nulo? a) 9a = 200 – 2000 9a = -1800 a = -200 V(x) = -200x + 2.000 V(3) = -200.3 +2.000 V(3) = -600 + 2.000 V(3) = 1400 b) D(3) = 2.000 – 1.400 = 600 48 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M A T E M Á T I C A c) V(x) = - 200x + 2.000 0 = - 200x + 2.000 200x = 2000 x = 10 anos TÓPICO 2 1 Sejam R(q) = - 2q2 + 40q e C(q) = 2q + 68 as funções receita e custo para certo produto. Determine os pontos em que o lucro é igual a zero. R.: R = -2q2 + 40q C = 2q + 68 L = R - C L = - 2q2 + 40q - (2q + 68) L = - 2q2 + 38q - 68 0 = - 2q2 + 38q - 68 ( – 2) 0 = - q2 + 19q - 34 ∆ = b2 - 4ac ∆= (19)2 - 4. -1. - 34 ∆ = 361 - 136 ∆ = 225 .. 2 O modelo funcional que descreve a receita em função da quantidade comercializada é dada por R(q) = - 2q 2 + 12q. Se o custo desse produto pode ser descrito pela equação C(q) = 3q + 10, determine: a) O modelo funcional que descreve o lucro pela produção e venda do produto, em função da quantidade produzida e comercializada. b) A quantidade vendida que torna o lucro máximo, e o correspondente valor do lucro. 49UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M A T E M Á T I C A a) - 2q2 + 12q C(q) = 3q + 10 L = R - C L = - 2q2 + 12q - (3q + 10) L = - 22 + 12q - 3q - 10 L = - 2q2 + 9q - 10 b) 3 Sabendo que o modelo funcional que descreve a receita R pela venda de uma quantidade q de um bem é dada pela equação R(q) = 10q - 2q2 e que o modelo que descreve o custo total do bem em função da quantidade produzida é C(q) = 2q + 2,50, determine: a) Um modelo funcional que descreve o lucro pela produção e venda do produto, em função da quantidade produzida e comercializada. b) A quantidade vendida que torna o lucro máximo e o correspondente valor do lucro. R.: a) R(q) = 10q - 2q C(q) = 2q + 2,50 L(q) = R(q) - C(q) L(q) = 10q - 2q2 - (2q + 2,50) L(q) = -2q2 + 8q - 2,50 R.: 50 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M A T E M Á T I C A b) L(q) = - 2q2 + 8q - 2,50 xv = - b 2a xv = 8 L(2) = - 8 + 16 - 2,50 2 .(-2) L(2) = 5,50 xv = 8 4 xv = 2 L(q) = -2q2 + 8q - 2,50 L(2) = - 2.(2)2 + 8.(2) - 2,50 L(2) = - 2.4 + 16 - 2,50 4 Uma empresa possui um custo fixo de R$ 39,00 somados ao custo de produção de R$ 2,00. Sua receita total é dada pela função R(q) = 18q - q2. A partir destes dados apresente: a) A função custo total. b) Qual o lucro para uma quantidade de 11 unidades? c) A quantidade que garante o lucro máximo. R.: a) C(q) = 2q + 39 b) L(q) = R(q) - C(q) L(11) = - 121 + 176 - 39 L(q) = 18q - q2 - (2q + 39) L(11) = 16 L(q) = - q2 + 16q - 39 L(11) = - (11)2 + 16 .11 - 39 c) xv = - b 2a xv = 16 2.(-1) xv = 16 2 xv = 8 5 A equação receita de um certo produto é R(q) = 85q - 2q2 e o custo é determinado por C(q) = 5q - 600. Qual a quantidade que maximiza o lucro? R.: 51UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M A T E M Á T I C A R(q) = 85q - 2q2 e C(q) = 5q - 600 L(q) = R(q) - C(q) xv = - b L(q) = 85q - 2q2 - (5q - 600) 2a L(q) = 85q - 2q2 - 5q + 600 xv = - 80 L(q) = -2q2 . +80q + 600 2.(-2) xv = 80 4 xv = 20 TÓPICO 3 1 O número de habitantes de uma cidade é hoje igual a 7.000 e cresce a uma taxa de 3% ao ano. a) Qual o número de habitantes daqui a 8 anos? b) Qual o número de habitantes daqui a 30 anos? R.: a) y - y0 (1+k) x y = 7000 (1+0,03)x y = 7000 (1,03)x y = 7000 (1,03)8 y = 8.867 habitantes b) y = 7000 (1 + 0,03)x y = 7000 (1,03)x y = 7000 (1,03)30 y = 16.990 habitantes 2 O número de habitantes de uma cidade é hoje igual a 20.000 e cresce exponencialmente a uma taxa de 2% ao ano. a) Qual o número de habitantes y daqui a x anos? b) Faça o gráfico de y em função de x. R.: a) y - y0 (1 + k) x y = 2000 (1 + 0,02)x y = 2000 (1,02)x y = 7000 (1,02)x ~ ~ 52 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M A T E M Á T I C A b) 3 Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a juros compostos durante 4 meses à taxa de 1,8% ao mês. Qual é o montante? R.: M = C (1+k)n M = 2000 (1+0,018)4 M = 2000 (1,018)4 M = 2.147,93 4 Um capital de R$ 10.000,00 é aplicado a juros compostos durante 1 ano e meio à taxa de 2% ao mês. Qual é o montante? R.: M = C (1+k)n M = 10.000 (1+0,02)18 M = 2000 (1,02)18 M = 14.282,46 5 Qual é o capital que, aplicado a juros compostos durante 1 ano, à taxa de 7% ao trimestre, produz um montante de R$ 5.000,00? R.: M = C(1+k)n 5.000 = C.(1+0,07)4 5.000 = C.(1,07)4 C = 3.814,48 6 Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado durante 5 meses a juros compostos produzindo um montante de R$ 2.400,00. Qual é a taxa mensal? R.: 53UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M A T E M Á T I C A M = C(1+k)n 2400 = 2000. (1 + k)5 2400 = (1 + k)5 2000 1,2 = (1 + k)5 5√1,2 = (1 + k) 1,03714 = (1 + k) 1,03714 - 1 = k 0,03714 = k k = 3,71%
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