trabalho 4

Prévia do material em texto

1. A Óleos Unidos S.A. é uma empresa do ramo de derivados de petróleo que manufatura três combustíveis especiais com base na mistura de dois insumos: um extrato mineral e um solvente. No processo de produção não existe perda de material, de forma que a quantidade de litros de extrato mineral somada à quantidade de litros de solvente utilizada para a fabricação de um tipo de combustível resulta no total de litros daquele combustível fabricado. A proporção de mistura está descrita na tabela a seguir:
	Combustível A
	Combustível B
	Combustível C
	Extrato Mineral
	8 litros
	5 litros
	4 litros
	Solvente
	5 litros
	4 litros
	2 litros
 Suponha que a Óleos Unidos tenha disponíveis diariamente 120 litros de extrato mineral e 200 litros de solvente. Por uma característica técnica, o solvente evapora com muita facilidade e, para viabilizar os custos da empresa, pelo menos 70% do seu estoque deve ser utilizado no mesmo dia. Os lucros líquidos esperados para os três combustíveis são de R$20,00 R$22,00 e R$18,00, respectivamente. Resolva pelo método simplex com o objetivo de maximizar o lucro da Óleos Unidos. 
	
Resolução 
VARIAVEIS:
x1= Quant de Litros de Combustível A
x2= Quant de Litros de Combustível B
x3= Quant de Litros de Combustível C
Objetivo:
Max Z =20x1 + 22x2 + 18x3
Combustível A= 8 Extrato + 5solvente=13 Litros
Combustível B= 5 Extrato + 4solvente=9 Litros
Combustível C=4 Extrato + 2solvente=6 Litros
Extrato=120 litros disponíveis por dia 	
Solvente= 200 litros disponíveis por dia
Sujeito a
8/13x1+ 5/9x 2+ 4/6x3≤ 120
5/13x1+ 4/9x 2+ 2/6x3≤ 200
 x1≥0
 x2≥0 
 x3≥0
Método simplex
Z= -20x1-22x2-18x3=0
8/13x1 + 5/9x2 + 4/6x3 +xf1=120
5/13x1 + 4/9x2 + 2/6x3+xf2 = 200
	Z
	X1
	X2
	X3
	XF1
	XF2
	b
	1
	-20
	-22
	-18
	0
	0
	0
	0
	8/13
	5/9
	4/6
	1
	0
	120
	0
	5/13
	4/9
	2/6
	0
	1
	200
120:5/9=216
200:4/9=450
NLP= 0 8/13 5/9 4/6 1 0 120
:(5/9) 0 1,11 1 1,2 1,8 0 216
֯1 linha linha –NLP= 0 1,11 1 1,2 1,8 0 216
 .(22)= 0 24,42 22 26,4 39,6 0 4752 +
 + 1 -20 -22 -18 0 0 0
	 1 4,42 0 8,4 39,6 0 4752
֯3 linha linha –NLP= 0 1,11 1 1,2 1,8 0 216
 .(-4/9)= 0 -0,49 -0,44 -0,53 -0,8 0 -96 +
 + 0 5/13 4/9 2/6 0 1 200
	 0 -0,11 0 -0,17 -0,8 1 104
Nova Tabela 
	Z
	X1
	X2
	X3
	XF1
	XF2
	b
	1
	4,42
	0
	8,4
	39,6
	0
	4752
	0
	1,11
	1
	1,20
	1,8
	0
	216
	0
	0,11
	0
	-0,17
	-0,17
	-0,8
	104
Solução:
VB VNB VALOR DE Z
X2=216	X1=0	Z=4752
XF2=104	X3=0	 VALOR MAXIO DE LUCRO
	XF1=0
SOLUÇÃO OTIMA 
2. Um trem tem dois compartimentos de carga: um dianteiro e um traseiro. O compartimento de carga dianteiro tem uma capacidade de peso de 75.000 kg e uma capacidade de volume de 40.000 m³. O compartimento traseiro tem uma capacidade de peso de 80.000 kg e uma capacidade de volume de 30.000 m³. A empresa dona do trem foi contratada para levar cargas de arroz e feijão empacotados. O peso total da carga de arroz disponível é de 85.000 kg; o peso total da carga de feijão disponível é de 100.000 kg. O volume por massa do arroz é 0,2 m³ por quilo, e o volume por massa do feijão é de 0,4 m³ por quilo. Por uma questão técnica, o compartimento traseiro deve ter uma carga (em peso) no mínimo 20% superior ao dianteiro. O lucro para transportar o arroz é de R$0,35 por quilo, e o lucro para transportar feijão é de R$0,12 por quilo. A empresa dona do trem é livre para aceitar toda ou parte da carga disponível. Ela quer saber quantos quilos de arroz e de feijão deve transportar para maximizar o lucro. Resolva pelo método
Resolução 
 Metodo Simplex
Z= -0,35.x1-0,35.x2-0,12.x3-0,12.x4=0
Sujeito a 
 x1+x2+xf1=85000
 x3+x4+xf2=100000
x1+x3+xf3=75000
0,2x1+0,4.x3+xf4=40000
 X2+x4+xf5=80000
 0,2x2+0,4x4+xf6=30000
1,2x1-x2+1,2x3-x4+xf7=0
Tabela
	Z
	X1
	X2
	X3
	X4
	XF1
	XF2
	XF3
	XF4
	XF5
	XF6
	XF7
	b
	1
	-0,35
	-0,35
	-0,12
	-0,12
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	1
	1
	0
	0
	1
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	85000
	0
	0
	0
	1
	1
	0
	1
	0
	0
	0
	0
	0
	10000
	0
	1
	0
	1
	0
	0
	0
	1
	0
	0
	0
	0
	75000
	0
	0,2
	0
	0,4
	0
	0
	0
	0
	1
	0
	0
	0
	40000
	0
	0
	1
	0
	1
	0
	0
	0
	0
	1
	0
	0
	80000
	0
	0
	0,2
	0
	0,4
	0
	0
	0
	0
	0
	1
	0
	30000
	0
	1,2
	-1
	1,2
	-1
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	1
	0
1:=85000
:0=0
:1=75000
:0,2=200000
:0=0
:0=0
:12=0	
NLP= -0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 7500
:(1) 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 
3. Obtenha a solução ótima para o problema abaixo utilizando o método simplex:
Max Z = 4x1 + 3x2
s.a:
x1 + 3x2 ≤ 7
2x1 + 2x2 = 8
x1 + x2 ≤ -3
x2 ≤ 2
x1,x2 ≥ 0
Resolucão 
Z-4X1-3X2+M2A2=0
X1+3X2+XF1=7
2x1+2x2+A2=8
X1+X2+XF2=-3
X2+XF3=2
	Z
	X1
	X2
	XF1
	XF2
	XF3
	A2
	B
	1
	-4
	-3
	0
	0
	0
	M2
	0
	0
	1
	3
	1
	0
	0
	0
	7
	0
	2
	2
	0
	0
	0
	1
	8
	0
	1
	1
	0
	1
	0
	0
	-3
	 0
	0
	1
	0
	0
	1
	0
	2
:1=7
:2=4
0
0
NLP= 2 2 0 0 0 1 8 
 :(2) 1 1 0 0 0 0,5 4 
֯1 linha linha –NLP= 1 1 0 0 0 0,5 4
 .(4)= 4 4 0 0 0 2 16
 + -4 -3 0 0 0 M2 0
	 0 1 0 0 0 M2 16
֯2 linha –NLP= 1 1 0 0 0 0,5 4
 .(-1)= -1 -1 0 0 0 -0,5 -4
 + 1 3 1 0 0 0 7
	 0 2 1 0 0 -0,5 3
֯ 4 linha –NLP= 1 1 0 0 0 0,5 4
 .(-1)= -1 -1 0 0 0 -0,5 -4
 + 1 1 0 1 0 0 -3
	 0 2 0 1 0 -0,5 -7
֯ 5 linha linha –NLP= 1 1 0 0 0 0,5 4
 .(0)= 0 0 0 0 0 0 0
 + 0 1 0 0 1 0 2
	 0 1 0 0 1 0 2
Nova tabela 
	Z
	X1
	X2
	XF1
	XF2
	XF3
	A2
	B
	1
	 0
	1
	0
	0
	0
	M2
	16
	0
	 0
	-2
	1
	0
	0
	-0,5
	3
	0
	1
	1
	0
	0
	0
	0,5
	4
	0
	0
	0
	0
	1
	0
	-0,5
	 -7
	 0
	0
	1
	0
	0
	1
	0
	2
Solução:
VB
X1=4 VNB VALOR DE Z
XF1=3	 X2=0	 Z=16
XF2=-7
XF3=2	 A2=0	 
	Z
	X1
	X2
	XF1
	XF2
	XF3
	b
	1
	 0
	1
	0
	0
	0
	16
	0
	 0
	2
	1
	0
	0
	3
	0
	1
	1
	0
	0
	0
	4
	0
	0
	0
	0
	1
	0
	-7
	 0
	0
	1
	0
	0
	1
	2
	
Solução ótima!
4. Obtenha a solução ótima para o problema abaixo utilizando o método simplex:
Min Z = x1 + 2x2
s.a.:
x1 + x2 ≥ 1
-5x1 + 2x2 ≥ -10
3x1 + 5x2 ≥ 15
x1, x2 ≥ 0
Resolucão 
5. Obtenha a solução ótima para o problema abaixo utilizando o métodosimplex:
Max Z = 4x1 + 8x2
s.a.:
3x1 + 2x2 = 18
x1 + x2 ≤ 5
x1 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
Resolucão 
Z – 4x1-8x2+m1a1=0
3x1+2x2+a1=18
X1+x2+xf1=5
X1+xf2=4
	Z
	X1
	X2
	XF1
	XF2
	XF3
	b
	
	 -4
	-8
	0
	0
	M1
	0
	
	 3
	2
	1
	0
	1
	18
	
	1
	1
	0
	0
	0
	5
	
	1
	0
	0
	1
	0
	4
NLP= 1 1 1 0 0 5
NLP= 8 8 8 0 0 5
 .8 -4 -8 0 0 0 40 
	4	0	0 0 M1 0
	4	0	0 0	 M1 40
NLP= 1 1 1 0 0 5
 .(-2) -2 -2 -2 0 0 -10 
LINHA 2 =	3	2	0 0 1 18
	1	0	-2 0	 1 8
NLP= 1 1 1 0 0 5
 .(0) 0 0 0 0 0 0 
LINHA 4 =	 1	0	0 1 0 4
	 1	0	 0 0	 0 4
	Z
	X1
	X2
	XF1
	XF2
	XF3
	b
	
	 4
	0
	0
	0
	M1
	40
	
	 1
	0
	-2
	0
	1
	8
	
	1
	1
	0
	0
	0
	5
	
	1
	0
	0
	1
	0
	4
SOLUÇÃO 
VB UNB	VALOR DE Z
X2=5	X1=0	Z=40
XF2=4	XP3=0
C1=8
NÃO PODE SER CONSIDERADO OTIMA POIS NÃO TEM NENHUM NUMERO NEGATIVO NO Z