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não prova tampouco sua origem apriorística, mas apenas sua
concatenação racional. Para se poder chegar à idéia da forma de um cilindro, pela rotação de um
retângulo em torno a um de seus lados, foi necessário investigar-se, na realidade, apesar de ser forma
bastante rudimentar, toda uma série de retângulos e de cilindros. As matemáticas, assim como todas as
outras ciências, surgiram das necessidades dos homens. da necessidade de medir terras e volumes, do
cálculo do tempo e da mecânica. Mas, como acontece em todos os campos do pensamento humano, ao
chegar a uma determinada fase de desenvolvimento, as leis abstraídas do mundo real se vêm separadas
desse mundo real do qual nasceram, consideradas como se fossem alguma coisa aparte, como se fossem
leis vindas de fora e às que o mundo se deveria ajustar. Assim aconteceu com a sociedade e o Estado e
assim acontecera, num determinado momento, com as matemáticas puras, que serão aplicadas ao mundo,
apesar de nele ter sua origem e de não representar mais do que uma parte de suas formas de síntese. E é
isso, precisamente, o que faz com que sejam aplicáveis ao mundo.
 Mas o Sr. Dühring, do mesmo modo que imagina poder derivar as matemáticas puras dos axiomas
matemáticos, "que, numa representação puramente lógica, não admitem nem necessitam
fundamentação", sem aditamento empírico de espécie alguma, para logo depois aplicar essas
matemáticas puras ao mundo, imagina também poder arrancar do cérebro, sem mediador algum, as
formas fundamentais de tudo o que existe, os elementos simples de toda a ciência, os axiomas da
filosofia, deles derivando toda a filosofia ou esquemática do mundo, outorgando, logo após a sua
Constituição, por decreto graciosíssimo de Sua Soberana Majestade, à natureza e ao mundo dos homens.
Infelizmente para ele, a natureza nada tem a ver, e o mundo dos homens muito pouco, apenas uma fração
insignificante, com os prussianos de 1850, com os súditos de Manteuffel.
 Os axiomas matemáticos são outras tantas expressões do conteúdo conceitual, extremamente exíguo,
que as matemáticas precisam emprestar da Lógica. Na realidade esses axiomas podem reduzir-se apenas
a dois:
 1) O todo é sempre maior que suas partes. Esse axioma é pura tautologia, uma vez que a idéia
quantitativa da parte se refere, desde o primeiro momento, num sentido bastante concreto, à idéia do
todo, e quando dizemos "parte" já dizemos que o "todo" quantitativo é formado quantitativamente por
várias "partes". O mencionado axioma, ao dar expressão a esta verdade, não nos faz avançar um só passo.
Poderíamos até provar, de certo modo, essa tautologia, dizendo que o "todo" é o que consta de várias
"partes"; "parte" é aquilo que, unindo-se com outras, forma um "todo", de onde se deduz que a "parte" é

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sempre menor que o "todo", demonstração na qual a aridez da repetição acentua ainda mais a
inconsistência do conteúdo.
 2) Duas grandezas iguais a uma terceira são iguais entre si. Como demonstrou Hegel, esse axioma é
uma afirmação, cuja exatidão a lógica subscreve e, portanto, pode ser demonstrado mesmo fora da
matemática pura. Todos os demais axiomas sobre igualdade e desigualdade são meros corolários deste.
 Mas, com essas pobres verdades, não avançamos muito, nem em matemática, nem em coisa alguma.
Se quisermos progredir um pouco, não teremos outro remédio senão introduzir nas verdades, fenômenos
reais, relações e formas plásticas, tomadas da realidade. As idéias de linha, de superfície, de ângulo, de
quadrado, de quadrilátero, de esfera, etc., etc., são todas idéias derivadas da realidade, e apenas quem
professa uma ideologia inteiramente ingênua pode crer nos matemáticos quando estes dizem que a
primeira linha se originou do movimento de um ponto no espaço, a primeira superfície do movimento de
uma linha, o primeiro corpo, do movimento de uma superfície, e assim sucessivamente. Até a própria
linguagem se revolta contra semelhante tese. Uma figura matemática de três dimensões chama-se corpo
e, em latim, corpus solidum, que significa a mesma coisa que corpo tangível, nome, como vemos, que
não pode ter nascido de um ato, intelectivo e livre, da imaginação pura, mas da realidade concreta.
 Mas, por que todas essas digressões, depois de se ter cantado, nas páginas 31 e 32, um hino entusiasta
à matemática pura, como ciência independente do mundo da experiência, ao seu apriorismo, às criações e
imaginações puramente livres da inteligência, o Sr. Dühring, diz à página 44: "Na verdade, esquece-se
facilmente que aqueles elementos matemáticos (número, grandeza, tempo, espaço e movimento
geométrico) apenas são ideais por sua forma... as grandezas absolutas são, portanto, algo absolutamente
empírico, qualquer que seja o gênero a que pertençam" ..., mas "os esquemas matemáticos são suscetíveis
de uma caracterização independente da experiência e que são suficientes", afirmação esta aplicável, em
maior ou menor grau, a qualquer abstração, mas não demonstra que essa abstração, mesmo o sendo, não
se deriva da realidade. Na esquemática do mundo, a matemática pura brota do intelecto puro; na filosofia
da natureza, é algo perfeitamente empírico, tomado do mundo exterior, para dele se abstrair
imediatamente. A qual das duas afirmações devemos dar crédito?

Capítulo IV - ESQUEMÁTICA DO MUNDO
 "O ser universal é único. Bastando-se a si próprio, nada tolera ao seu lado ou acima de si.
Associar-lhe um segundo ser seria fazer dele o que não é, ou seja, uma parte ou um elemento de um todo
mais amplo. Desde que desenvolvemos nossa idéia unitária, por assim dizer, como um plano, nada do
que deve entrar necessariamente nessa unidade pode conservar em si a dualidade. Mas também nada
pode escapar a essa unidade conceitual. A essência de todo pensamento consiste na reunião dos
elementos de consciência numa unidade... O pensamento é o centro da unidade da síntese que faz nascer
o conceito de um mundo indivisível e conhecer o universo, conforme o nome já indica, como uma coisa
em que tudo se funde numa unidade."
 É o que diz o Sr. Dühring. Nessas afirmações, vemo-lo aplicar, pela primeira vez, o método
matemático, segundo o qual, "todo problema se resolve de um modo axiomático sobre algumas formas
fundamentais simples, como se se tratasse de simples... princípios de matemática."
 "O ser universal é único, Se uma tautologia - a simples repetição no predicado do que já se exprimiu
no sujeito basta para construir um axioma, aí temos um e de primeira água."
 No sujeito, o Sr. Dühring diz-nos que o ser, como universal, compreende tudo e no predicado afirma
intrepidamente que nada, então, existe fora dele. Que colossal idéia "criadora de sistema"!
 Criadora, com efeito. Mais seis linhas, e o Sr. Dühring, por meio de nosso pensamento unitário,
transforma a unicidade do ser em sua unidade. E como a característica de todo pensamento consiste na

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aglutinação formadora da unidade, pelo simp1es fato de pensar em si próprio, o ser, o que existe, se
concebe como uma unidade e o conceito do mundo se torna indivisível; daí se conclui que, sendo o que
existe pensado e o conceito do mundo unitário, o mundo real é igualmente uma unidade indivisível. E
assim "as coisas do além não têm mais lugar, uma vez que o espírito aprendeu a discernir o que existe na
sua universalidade homogênea".
 Eis uma batalha do espírito comparada com a qual Austerlitz e Iena Sadow e Sédan desaparecem
inteiramente. Em duas frases, numa página somente, após termos mobilizado o primeiro axioma,
conseguimos abolir, pulverizando-o, todo o mundo sobrenatural: - Deus, os exércitos celestes, o céu, o
inferno e o purgatório, bem como a imortalidade da alma.
 Como passamos da unicidade do ser à sua unidade? Simplesmente., representando o ser a nós
próprios. Desde o momento que estendemos o nosso pensamento unitário em torno dele,