Gabarito da Lista de Exercícios 03
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Gabarito da Lista de Exercícios 03


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independente do 
que ocorreu no 1o período é ENPS. Pela matriz, temos: 
 
 
 
 
11; 11 3;13 1;14 
13;3 6;6 1;1 
14;1 1;1 2;2 
 
Vemos claramente que A2 B2 é um EN do jogo repetido no qual a soma dos 
payoffs posterioes são trazidos para o 1o período, constituindo assim ENPS. 
De fato, sempre é possível sustentar como resultado de ENPS uma repetição do(s) 
EN(s) a cada rodada. 
 
7) 
 
a) Jogo na forma extensiva: 
 
Cada jogador pode ser chamado a jogar em 5 situações, podendo escolher entre LC 
e P em cada uma. Logo, o espaço estratégico de cada país será S = {x1,x2,x3,x4,x5 ; 
xi e (LC, P)}. 
Como o jogo estático só possui um EN e é repetido um nº finito de vezes, o único 
ENPS será repetir o equilíbrio do jogo estático todas as rodadas. O resultado será 
(P, P) nas duas rodadas. O equilíbrio, porém, será os dois jogadores jogarem 
(P,P,P,P,P), ou seja, jogar P em qualquer circunstancia. 
 
b) Um exemplo de estratégia: jogar P dado qualquer histórico de ações que tenha 
ocorrido. 
Estratégia de gatilho: jogar LC na 1ª rodada e nas rodadas seguintes, enquanto 
o resultado das rodadas anteriores for (LC,LC). Caso haja algo diferente de 
(LC,LC) nas rodadas anteriores, passa a jogar P por toda eternidade. 
Para que esta seja uma estratégia de equilíbrio, deve ocorrer a seguinte 
desigualdade: 
L + \u3b4L + \u3b42L + \u3b43L + \u3b44L + ... > a + \u3b4P + \u3b42P + \u3b43P + \u3b44P + ... => 
F
LC P
A A
LC P LC P
F F F
F
LC P LC P LC P LC P
A A A
A A A A A
LC P LC P LC P LC P LC P LC P LC P LC P
L + L L + b L + a L + P b + L b + b b + a b + P a + L a + b a + a a + P P + L P + b P + a P + P
L + L L + a L + b L + P a + L a + a a + b a + P b + L b + a b + b b + P P + L P + a P + b P + P
(1/1- \u3b4)L > a + (\u3b4/1- \u3b4)P => \u3b4 > (a \u2013 L)/(a - P). 
Logo, se \u3b4 > (a \u2013 L)/(a - P) podemos ter um equilíbrio em que os dois países 
usam a estratégia gatilho. 
c) Nada mudaria para a Alemanha. No entanto, \u3b4F para que se tenha tal equilíbrio 
passaria a ser (a\u2019 \u2013 L)/(a\u2019 \u2013 P\u2019). Isto torna mais fácil a solução de LC, pois faz 
com que fique menos atrativo desviar da solução de LC (pois a diminui) além de 
fazer com que a punição seja maior (pois P diminui). 
Note que d\u3b4/da = (L \u2013 P)/(a \u2013 P)2 > 0 e d\u3b4/dP = (a \u2013 L)/(a \u2013 P)2 > 0 
 
8) 
a) Para cooperarem, valor de presente de cooperar deve ser maior do que o de desviar. 
60/1-\u3b4 \u2265 X + 30.\u3b4/1\u2212\u3b4 60/1-\u3b4 > Y + 12.\u3b4/1\u2212\u3b4 
X \u2264 75 Y \u2264 84 
Intuição: Para não haver incentivo ao desvio, deve haver um teto superior para os ganhos de 
desvio no curto prazo. Ainda, esse teto deve ser necessariamente menor para o jogador 1, 
uma vez que é este jogador que na fase punitiva (NC,NC) obtem o maior pay-off: 30 > 12. 
b) Deverão ser menores. Uma vez que a punição seria aplicada em apenas um período, a 
perda futura associada ao desvio é menor \u2013 para não ocorrer desvio, o ganho de curto prazo 
deve ser menor também. 
c) Ficarão mais altos. Mais paciência equivale a uma taxa de juros menor, ou seja, as 
pessoas estão pouco dispostas a trocar renda futura por renda presente. Logo o ganho de 
curto prazo associado ao desvio pode ser maior. 
 
9) 
 
 Governo 
 Taxação Baixa (TB) Taxação Alta (TA) 
Firma Investir (I) ( 1, 1) (-1, 2) 
 Não Investir (NI) ( 0, 0) ( 0, 0) 
 
a) Equilíbrio de Nash = (NI, TA) 
b) 
i) Não é EN: 
Se o Governo acreditar que a Firma vai investir sempre, sua melhor resposta é 
taxação alta. 
 
ii) (NI, TA) é o equilíbrio de Nash do jogo estático. A repetição do 
equilíbrio de Nash do jogo estático é sempre ENPS. 
Se o Governo acreditar que a Firma não vai investir sempre, ele fica indiferente 
entre TA e TB. 
Se a Firma acreditar que o Governo vai TA sempre, sua melhor resposta é não 
investir. 
 
iii) 
estratégia do gatilho \u2013 severa 
Se o resultado for (I, TB) nas rodadas anteriores ou se t=1 
Firma 
Manter estratégia => \u3b4\u22121
1 Desviar => 0 
Manter estratégia e sempre melhor do que desviar para qualquer 0 < \u3b4 < 1 
 
Governo 
Manter estratégia => \u3b4\u22121
1 Desviar =>2 
Manter estratégia é melhor do que desviar para \u3b4\u22121
1 \u22652 =>\u3b4\u22651/2 
 
 
 
Se o resultado for diferente de (I, TB) em qualquer rodada anterior 
Firma 
Manter estratégia =>0 Desviar => -1 
Manter estratégia e sempre melhor do que desviar para qualquer 0 < \u3b4 < 1 
 
Governo 
Manter estratégia => 0 Desviar =>0 
Não há ganho em desviar para qualquer 0 < \u3b4 < 1 
 
As estratégias prescritas são ENPS para \u3b4\u22651/2 
 
 
10) 
 
a) Como existe apenas um EN no jogo de 1 período, o único ENPS deste jogo 
de 2 períodos será a repetição deste EN todas as rodadas, ou seja, 
pi.t = c. 
b) Para que ninguém tenha incentivo a desviar, na fase cooperativa, devemos 
ter: 
(½)\u3a0m + \u3b4(½)\u3a0m + \u3b42(½)\u3a0m + \u3b43(½)\u3a0m + ... > \u3a0m + \u3b4.0 + \u3b42.0 + \u2026 
(1/1- \u3b4)(½)\u3a0m > \u3a0m => 1- \u3b4 < ½ => \u3b4 > ½ 
Na fase punitiva, para qualquer 0 < \u3b4 < 1, os jogadores querem seguir suas 
estratégias, pois se um jogador espera que o outro escolha p=c, sua melhor 
resposta é também fazer p=c, uma vez que é o EN do jogo estático. 
c) (1/n)\u3a0m + \u3b4(1/n)\u3a0m + \u3b42(1/n)\u3a0m + \u3b43(1/n)\u3a0m + ... > \u3a0m + \u3b4.0 + \u3b42.0 + \u2026 
Ö (1/1- \u3b4)(1/n)\u3a0m > \u3a0m => 1- \u3b4 < 1/n => \u3b4 > 1 \u2212 1/n . 
Como \u3b4= 4/5=> número máximo de firmas= 5 
d) Neste caso, a firma que trair pode ter o lucro do mercado inteiro por 2 
períodos. Portanto, a condição necessária para a colusão seria: 
(½)\u3a0m + \u3b4(½)\u3a0m + \u3b42(½)\u3a0m + \u3b43(½)\u3a0m + ... > \u3a0m + \u3b4.\u3a0m + \u3b42.0 + \u2026 
(1/1- \u3b4)(½)\u3a0m > (1 + \u3b4).\u3a0m => 2.(1 - \u3b42) < 1 => \u3b4 > (1/2)0,5 > (1/2). 
A colusão ótima é alcançável para \u3b4 > (1/2)0,5, condição mais restritiva do 
que no item b , onde \u3b4 > ½. 
e) Devemos mostrar que tanto a firma 1 quanto a firma 2 não tem incentivo a 
desviar: 
Firma 1: 
(3/4)\u3a0m + (1/4)(3/4)\u3a0m + (1/4)2(3/4)\u3a0m +... > \u3a0m + (1/4).0 + (1/4)2.0 + \u2026 
 (4/3)(3/4) \u3a0m > \u3a0m c.q.d 
Firma 2: 
(1/4)\u3a0m + (3/4)(1/4)\u3a0m + (3/4)2(1/4)\u3a0m +... > \u3a0m + (3/4).0 + (3/4)2.0 + \u2026 
 (4)(1/4) \u3a0m > \u3a0m 
 
11) 
 
a) 
 
EN puro 
É fácil perceber que possuímos estratégias estritamente dominadas neste caso. O 
jogador 01 nunca vai jogar s1, e o jogador 02 nunca vai jogar t2. Logo, em 
estratégias puras, o equilíbrio será (s2, t1). 
 
EN misto 
Sabemos que não haverá EN misto, pois as estratégias s1 e t2 são estritamente 
dominadas para os jogadores 1 e 2, respectivamente. 
 
Assim, teremos somente um equilíbrio de Nash em estratégias puras, que será (s2, 
t1). 
 
b) Devemos analisar se cada jogador, dada a estratégia do outro, está dando a sua 
melhor resposta, nas circunstâncias que são alcançadas quando estas estratégias são 
jogadas. 
 b.i) 
O jogador 2 claramente não tem incentivo a desviar, pois 5 é o maior ganho 
possível em cada repetição do jogo. 
Já o jogador 1 obtêm o payoff de 5+5q+5q2+5q3+5q4+... e caso faça um desvio 
em uma rodada seu payoff será 6 (a partir de um desvio(s2), considerando que 2 
jogará sempre t2, o melhor para 1 é continuar a jogar s2) 
Portanto, o jogador 1 não irá desviar se 5/(1-q) \u2265 6 => q \u2265 1/6. 
Então para q\u22651/6 temos Equilíbrio de Nash 
Obs: Entretanto, a ameaça feita pelo jogador 2, de jogar sua estratégia dominada 
até o infinito, não seria crível, pois o melhor que ele faria, mesmo com o desvio 
do jogador 1, seria continuar jogando t1. 
Ou seja, estas estratégias apesar de EN para q \u2265 1/6, não constituem ENPS. 
b.ii) 
Estratégia do jogador 1 
t=1 jogar s1 
qualquer t jogar s1 se (s1,t1) ou (s2,t2) em t-1 
 jogar s2 se (s1,t2) ou (s2,t1) em t-1 
 
 
Estratégia do jogador 2 
t=1 jogar t1 
qualquer t jogar t1 se (s1,t1) ou (s2,t2) em t-1 
 jogar t2 se (s1,t2) ou (s2,t1) em t-1 
 
 
Para facilitar, vamos dividir as estratégias em dois estados: 
 
estado cooperação 
 se (s1,t1) ou (s2,t2) em t-1 => jogador 1 escolhe s1 
 jogador 2 escolhe t1 
 
estado punição 
 se (s1,t2) ou (s2,t1) em t-1 => jogador 1 escolhe s2 
 jogador 2 escolhe t2 
 
 
 
Se, ao iniciar um período o estado é de cooperação e