Problema de Dirichlet no Círculo e em Regiões Circulares
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Problema de Dirichlet no Círculo e em Regiões Circulares


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Problema de Dirichlet no C\u131´rculo e em Regio\u2dces
Circulares
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matema´tica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais
http://www.mat.ufmg.br/~regi
5 de outubro de 2010
2
Vamos resolver o problema de Dirichlet no c\u131´rculo
\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
\u22022u
\u2202r2
+
1
r
\u2202u
\u2202r
+
1
r2
\u22022u
\u2202\u3b82
= 0, 0 \u2264 r < a
u(a, \u3b8) = f (\u3b8), 0 < \u3b8 < 2pi
Vamos procurar uma soluc¸a\u2dco na forma de um produto de uma func¸a\u2dco de r por uma
func¸a\u2dco de \u3b8, ou seja,
u(r, \u3b8) = R(r)\u398(\u3b8).
Derivando e substituindo na equac¸a\u2dco diferencial obtemos
R\u2032\u2032(r)\u398(\u3b8) +
1
r
R\u2032(r)\u398(\u3b8) +
1
r2
R(r)\u398(\u3b8) = 0,
que pode ser reescrita como
\u398\u2032\u2032(\u3b8)
\u398(\u3b8)
= \u2212r2 R
\u2032\u2032(r)
R(r)
\u2212 r R
\u2032(r)
R(r)
.
O primeiro membro depende apenas de \u3b8, enquanto o segundo depende apenas de r.
Isto so´ e´ poss\u131´vel se eles forem iguais a uma constante, ou seja,
\u398\u2032\u2032(\u3b8)
\u398(\u3b8)
= \u2212r2 R
\u2032\u2032(r)
R(r)
\u2212 r R
\u2032(r)
R(r)
= \u3bb.
Obtemos enta\u2dco duas equac¸o\u2dces diferenciais ordina´rias com a condic¸a\u2dco de \u398(\u3b8) ser
perio´dica de per\u131´odo 2pi:
{
\u398\u2032\u2032(\u3b8)\u2212 \u3bb\u398(\u3b8) = 0, \u398(\u3b8) = \u398(\u3b8 + 2pi),
r2R\u2032\u2032(t) + rR\u2032(r) + \u3bbR(r) = 0.
(1)
(2)
A equac¸a\u2dco \u398\u2032\u2032(\u3b8)\u2212 \u3bb\u398(\u3b8) = 0 pode ter como soluc¸o\u2dces,
Se \u3bb > 0 : \u398(\u3b8) = c1e
\u221a
\u3bb \u3b8 + c2e
\u2212
\u221a
\u3bb \u3b8.
Se \u3bb = 0 : \u398(\u3b8) = c1 + c2\u3b8.
Se \u3bb < 0 : \u398(\u3b8) = c1 sen(
\u221a
\u2212\u3bb\u3b8) + c2 cos(
\u221a
\u2212\u3bb\u3b8).
3
A condic¸a\u2dco \u398(\u3b8) = \u398(\u3b8 + 2pi), para todo \u3b8 \u2208 R, implica que (11) tem soluc¸a\u2dco na\u2dco
identicamente nula somente se \u3bb \u2264 0, mais que isso \u3bb tem que ter valores dados por
\u3bb = \u2212n2, n = 0, 1, 2, 3, . . .
ou seja, o problema de valor de fronteira (11) tem soluc¸o\u2dces fundamentais
\u398
(1)
n (\u3b8) = cos n\u3b8, para n = 0, 1, 2, 3, . . .
\u398
(2)
n (\u3b8) = sen n\u3b8, para n = 1, 2, 3, . . .
Substituindo-se \u3bb = \u2212n2 na equac¸a\u2dco diferencial (12) obtemos
r2R\u2032\u2032(t) + rR\u2032(r)\u2212 n2R(r) = 0,
que tem como soluc¸a\u2dco
R(r) = c1 + c2 ln r, para n = 0; R(r) = c1r
\u2212n + c2rn, para n = 1, 2, 3, . . . .
Como R(r) tem que estar definido para r = 0, as soluc¸o\u2dces fundamentais sa\u2dco
R0(r) = 1, Rn(r) = r
n, para n = 1, 2, 3, . . . .
Logo o problema formado pela equac¸a\u2dco diferencial parcial na regia\u2dco r < a tem soluc¸o\u2dces
fundamentais
u0(r, \u3b8) = 1
u
(1)
n (r, \u3b8) = Rn(r)\u398
(1)
n (\u3b8) = r
n cos n\u3b8, u
(2)
n (r, \u3b8) = Rn(r)\u398
(2)
n (\u3b8) = r
n sen n\u3b8.
Vamos supor que a soluc¸a\u2dco do problema de Dirichlet seja a se´rie
u(r, \u3b8) = c0 +
\u221e
\u2211
n=1
(cnu
(1)
n (r, \u3b8) + dnu
(2)
n (r, \u3b8)) = c0 +
\u221e
\u2211
n=1
rn(cn cos n\u3b8 + dn sen n\u3b8). (3)
Para satisfazer a condic¸a\u2dco u(a, \u3b8) = f (\u3b8), temos que impor a condic¸a\u2dco
f (\u3b8) = u(a, \u3b8) = c0 +
\u221e
\u2211
n=1
an(cn cos n\u3b8 + dn sen n\u3b8).
Esta e´ a se´rie de Fourier de f (\u3b8) com per\u131´odo 2pi. Assim, se a func¸a\u2dco f : [0, 2pi] \u2192 R
e´ cont\u131´nua por partes tal que a sua derivada f \u2032 tambe´m seja cont\u131´nua por partes, enta\u2dco
4
os coeficientes da se´rie sa\u2dco dados por
c0 =
1
2pi
\u222b 2pi
0
f (\u3b8) d\u3b8,
ancn =
1
pi
\u222b 2pi
0
f (\u3b8) cos n\u3b8 d\u3b8, (4)
andn =
1
pi
\u222b 2pi
0
f (\u3b8) sen n\u3b8 d\u3b8.
para n = 1, 2, 3 . . .
Deixamos para o leitor verificar que realmente (13) com os coeficientes dados por
(15) e´ a soluc¸a\u2dco do problema de valor inicial.
Exerc\u131´cios
1. Resolva o problema de Dirichlet no semic\u131´rculo
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2
\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\u22022u
\u2202r2
+
1
r
\u2202u
\u2202r
+
1
r2
\u22022u
\u2202\u3b82
= 0, 0 \u2264 r < a
u(a, \u3b8) = f (\u3b8), 0 < \u3b8 < pi
u(r, 0) = u(r,pi) = 0, 0 \u2264 r < a
2. Resolva o problema de Dirichlet no setor circular
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2
\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\u22022u
\u2202r2
+
1
r
\u2202u
\u2202r
+
1
r2
\u22022u
\u2202\u3b82
= 0, 0 \u2264 r < a
u(a, \u3b8) = f (\u3b8), 0 < \u3b8 < \u3b1
u(r, 0) = u(r, \u3b1) = 0, 0 \u2264 r < a
3. Resolva o problema de Dirichlet na coroa circular
\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
\u22022u
\u2202r2
+
1
r
\u2202u
\u2202r
+
1
r2
\u22022u
\u2202\u3b82
= 0, a < r < b
u(a, \u3b8) = 0, u(b, \u3b8) = g(\u3b8), 0 < \u3b8 < 2pi
5
Respostas dos Exerc\u131´cios
1. Vamos procurar uma soluc¸a\u2dco na forma de um produto de uma func¸a\u2dco de r por uma func¸a\u2dco de \u3b8, ou seja,
u(r, \u3b8) = R(r)\u398(\u3b8).
Derivando e substituindo na equac¸a\u2dco diferencial obtemos
R\u2032\u2032(r)\u398(\u3b8) +
1
r
R\u2032(r)\u398(\u3b8) +
1
r2
R(r)\u398(\u3b8) = 0,
que pode ser reescrita como
\u398\u2032\u2032(\u3b8)
\u398(\u3b8)
= \u2212r2 R
\u2032\u2032(r)
R(r)
\u2212 r R
\u2032(r)
R(r)
.
O primeiro membro depende apenas de \u3b8, enquanto o segundo depende apenas de r. Isto so´ e´ poss\u131´vel se eles forem
iguais a uma constante, ou seja,
\u398\u2032\u2032(\u3b8)
\u398(\u3b8)
= \u2212r2 R
\u2032\u2032(r)
R(r)
\u2212 r R
\u2032(r)
R(r)
= \u3bb.
Obtemos enta\u2dco duas equac¸o\u2dces diferenciais ordina´rias com a condic¸a\u2dco de fronteira \u398(0) = \u398(2pi) :
{
\u398\u2032\u2032(\u3b8)\u2212 \u3bb\u398(\u3b8) = 0, \u398(0) = \u398(pi) = 0,
r2R\u2032\u2032(t) + rR\u2032(r) + \u3bbR(r) = 0.
(5)
(6)
A equac¸a\u2dco \u398\u2032\u2032(\u3b8)\u2212 \u3bb\u398(\u3b8) = 0 pode ter como soluc¸o\u2dces,
Se \u3bb > 0 : \u398(\u3b8) = c1e
\u221a
\u3bb \u3b8 + c2e
\u2212
\u221a
\u3bb \u3b8 .
Se \u3bb = 0 : \u398(\u3b8) = c1 + c2\u3b8.
Se \u3bb < 0 : \u398(\u3b8) = c1 sen(
\u221a
\u2212\u3bb\u3b8) + c2 cos(
\u221a
\u2212\u3bb\u3b8).
As condic¸o\u2dces de fronteira \u398(0) = \u398(pi) = 0 implica que (5) tem soluc¸a\u2dco na\u2dco identicamente nula somente se \u3bb < 0, mais
que isso \u3bb tem que ter valores dados por
\u3bb = \u2212n2, n = 1, 2, 3, . . .
ou seja, o problema de valor de fronteira tem soluc¸o\u2dces fundamentais
\u398n(\u3b8) = sen n\u3b8, para n = 1, 2, 3, . . .
Substituindo-se \u3bb = \u2212n2 na equac¸a\u2dco diferencial (12) obtemos
r2R\u2032\u2032(t) + rR\u2032(r)\u2212 n2R(r) = 0,
que tem como soluc¸a\u2dco
R(r) = c1 + c2 ln r, para n = 0; R(r) = c1r
\u2212n + c2rn, para n = 1, 2, 3, . . . .
Como R(r) tem que estar definida para r = 0, as soluc¸o\u2dces fundamentais sa\u2dco
Rn(r) = r
n, para n = 1, 2, 3, . . . .
Logo o problema formado pela equac¸a\u2dco diferencial parcial e as condic¸o\u2dces de fronteira tem soluc¸o\u2dces fundamentais da
forma
un(r, \u3b8) = Rn(r)\u398n(\u3b8) = r
n sen n\u3b8.
6
Vamos supor que a soluc¸a\u2dco do problema de Dirichlet seja a se´rie
u(r, \u3b8) =
\u221e
\u2211
n=1
cnun(r, \u3b8) =
\u221e
\u2211
n=1
rncn sen n\u3b8. (7)
Enta\u2dco para satisfazer a condic¸a\u2dco u(a, \u3b8) = f (\u3b8), temos que impor a condic¸a\u2dco
f (\u3b8) = u(a, \u3b8) =
\u221e
\u2211
n=1
ancn sen n\u3b8.
Esta e´ a se´rie de Fourier de f (\u3b8) de senos com per\u131´odo 2pi. Assim, se a func¸a\u2dco
f : [0,pi] \u2192 R e´ cont\u131´nua por partes tal que a sua derivada f \u2032 tambe´m seja cont\u131´nua por partes, enta\u2dco os coeficientes da
se´rie sa\u2dco dados por
ancn =
2
pi
\u222b
pi
0
f (\u3b8) sen n\u3b8 d\u3b8, para n = 1, 2, 3 . . .
2. Vamos procurar uma soluc¸a\u2dco na forma de um produto de uma func¸a\u2dco de r por uma func¸a\u2dco de \u3b8, ou seja,
u(r, \u3b8) = R(r)\u398(\u3b8).
Derivando e substituindo na equac¸a\u2dco diferencial obtemos
R\u2032\u2032(r)\u398(\u3b8) +
1
r
R\u2032(r)\u398(\u3b8) +
1
r2
R(r)\u398(\u3b8) = 0,
que pode ser reescrita como
\u398\u2032\u2032(\u3b8)
\u398(\u3b8)
= \u2212r2 R
\u2032\u2032(r)
R(r)
\u2212 r R
\u2032(r)
R(r)
.
O primeiro membro depende apenas de \u3b8, enquanto o segundo depende apenas de r. Isto so´ e´ poss\u131´vel se eles forem
iguais a uma constante, ou seja,
\u398\u2032\u2032(\u3b8)
\u398(\u3b8)
= \u2212r2 R
\u2032\u2032(r)
R(r)
\u2212 r R
\u2032(r)
R(r)
= \u3bb.
Obtemos enta\u2dco duas equac¸o\u2dces diferenciais ordina´rias com a condic¸a\u2dco de fronteira \u398(0) = \u398(2pi) :
{
\u398\u2032\u2032(\u3b8)\u2212 \u3bb\u398(\u3b8) = 0, \u398(0) = \u398(\u3b1) = 0,
r2R\u2032\u2032(t) + rR\u2032(r) + \u3bbR(r) = 0.
(8)
(9)
A equac¸a\u2dco \u398\u2032\u2032(\u3b8)\u2212 \u3bb\u398(\u3b8) = 0 pode ter como soluc¸o\u2dces,
Se \u3bb > 0 : \u398(\u3b8) = c1e
\u221a
\u3bb \u3b8 + c2e
\u2212
\u221a
\u3bb \u3b8 .
Se \u3bb = 0 : \u398(\u3b8) = c1 + c2\u3b8.
Se \u3bb < 0 : \u398(\u3b8) = c1 sen(
\u221a
\u2212\u3bb\u3b8) + c2 cos(
\u221a
\u2212\u3bb\u3b8).
As condic¸o\u2dces de fronteira \u398(0) = \u398(\u3b1) = 0 implica que (8) tem soluc¸a\u2dco na\u2dco identicamente nula somente se \u3bb \u2264 0, mais
que isso \u3bb tem que ter valores dados por
\u3bb = \u2212 n
2pi2
\u3b12
, n = 1, 2, 3, . . .
ou seja, o problema de valor de fronteira tem soluc¸o\u2dces fundamentais
\u398(\u3b8) = sen
npi\u3b8
\u3b1
, para n = 1, 2, 3, . . .
7
Substituindo-se \u3bb = \u2212 n
2pi2
\u3b12
na equac¸a\u2dco diferencial (9) obtemos
r2R\u2032\u2032(t) + rR\u2032(r)\u2212 n
2pi2
\u3b12
R(r) = 0,
que tem como soluc¸a\u2dco
R(r) = c1 + c2 ln r, para n = 0; R(r) = c1r
\u2212 npi
\u3b1 + c2r
npi
\u3b1 , para n = 1, 2, 3, . . . .
Como R(r) tem que estar definido para r = 0, as soluc¸o\u2dces fundamentais sa\u2dco
Rn(r) = r
npi
\u3b1 , para n = 1, 2, 3, . . . .
Logo o problema formado pela equac¸a\u2dco diferencial parcial e as condic¸o\u2dces de fronteira tem soluc¸o\u2dces fundamentais da
forma
un(r, \u3b8) = R(r)\u398(\u3b8) = r
npi
\u3b1 sen
npi\u3b8
\u3b1
.
Vamos supor que a soluc¸a\u2dco do problema de Dirichlet seja a se´rie
u(r, \u3b8) =
\u221e
\u2211
n=1
cnun(r, \u3b8) =
\u221e
\u2211
n=1
r
npi
\u3b1 cn sen
npi\u3b8
\u3b1
. (10)
Enta\u2dco para satisfazer a condic¸a\u2dco u(a, \u3b8) = f (\u3b8), temos que impor a condic¸a\u2dco
f (\u3b8) = u(a, \u3b8) =
\u221e
\u2211
n=1
a
npi
\u3b1 cn sen
npi\u3b8
\u3b1
.
Esta e´ a se´rie de Fourier de f (\u3b8) de senos com per\u131´odo 2\u3b1. Assim, se a func¸a\u2dco
f : [0, \u3b1] \u2192 R e´ cont\u131´nua por partes tal que a sua derivada f \u2032 tambe´m seja cont\u131´nua por