Problema de Dirichlet no Círculo e em Regiões Circulares
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Problema de Dirichlet no Círculo e em Regiões Circulares


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partes, enta\u2dco os coeficientes da
se´rie sa\u2dco dados por
a
npi
\u3b1 cn =
2
\u3b1
\u222b
\u3b1
0
f (\u3b8) sen
npi\u3b8
\u3b1
d\u3b8, para n = 1, 2, 3 . . .
3. Vamos procurar uma soluc¸a\u2dco na forma de um produto de uma func¸a\u2dco de r por uma func¸a\u2dco de \u3b8, ou seja,
u(r, \u3b8) = R(r)\u398(\u3b8).
Derivando e substituindo na equac¸a\u2dco diferencial obtemos
R\u2032\u2032(r)\u398(\u3b8) +
1
r
R\u2032(r)\u398(\u3b8) +
1
r2
R(r)\u398(\u3b8) = 0,
que pode ser reescrita como
\u398\u2032\u2032(\u3b8)
\u398(\u3b8)
= \u2212r2 R
\u2032\u2032(r)
R(r)
\u2212 r R
\u2032(r)
R(r)
.
O primeiro membro depende apenas de \u3b8, enquanto o segundo depende apenas de r. Isto so´ e´ poss\u131´vel se eles forem
iguais a uma constante, ou seja,
\u398\u2032\u2032(\u3b8)
\u398(\u3b8)
= \u2212r2 R
\u2032\u2032(r)
R(r)
\u2212 r R
\u2032(r)
R(r)
= \u3bb.
Obtemos enta\u2dco duas equac¸o\u2dces diferenciais ordina´rias com a condic¸a\u2dco de \u398(\u3b8) ser perio´dica de per\u131´odo 2pi:
{
\u398\u2032\u2032(\u3b8)\u2212 \u3bb\u398(\u3b8) = 0, \u398(\u3b8) = \u398(\u3b8 + 2pi),
r2R\u2032\u2032(t) + rR\u2032(r) + \u3bbR(r) = 0, R(a) = 0.
(11)
(12)
A equac¸a\u2dco \u398\u2032\u2032(\u3b8)\u2212 \u3bb\u398(\u3b8) = 0 pode ter como soluc¸o\u2dces,
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Se \u3bb > 0 : \u398(\u3b8) = c1e
\u221a
\u3bb \u3b8 + c2e
\u2212
\u221a
\u3bb \u3b8 .
Se \u3bb = 0 : \u398(\u3b8) = c1 + c2\u3b8.
Se \u3bb < 0 : \u398(\u3b8) = c1 sen(
\u221a
\u2212\u3bb\u3b8) + c2 cos(
\u221a
\u2212\u3bb\u3b8).
A condic¸a\u2dco \u398(\u3b8) = \u398(\u3b8 + 2pi), para todo \u3b8 \u2208 R, implica que (11) tem soluc¸a\u2dco na\u2dco identicamente nula somente se \u3bb \u2264 0,
mais que isso \u3bb tem que ter valores dados por
\u3bb = \u2212n2, n = 0, 1, 2, 3, . . .
ou seja, o problema de valor de fronteira (11) tem soluc¸o\u2dces fundamentais
\u398
(1)
n (\u3b8) = cos n\u3b8, para n = 0, 1, 2, 3, . . .
\u398
(2)
n (\u3b8) = sen n\u3b8, para n = 1, 2, 3, . . .
Substituindo-se \u3bb = \u2212n2 na equac¸a\u2dco diferencial (12) obtemos
r2R\u2032\u2032(t) + rR\u2032(r)\u2212 n2R(r) = 0,
que tem como soluc¸a\u2dco
R(r) = c1 + c2 ln r, para n = 0; R(r) = c1r
\u2212n + c2rn, para n = 1, 2, 3, . . . .
Como R(a) = 0, as soluc¸o\u2dces fundamentais sa\u2dco
R0(r) = ln
r
a
, Rn(r) = r
n \u2212 a2nr\u2212n, para n = 1, 2, 3, . . . .
Logo o problema formado pela equac¸a\u2dco diferencial parcial e a condic¸a\u2dco de que u(a, \u3b8) = 0 tem soluc¸o\u2dces fundamentais
u0(r, \u3b8) = ln
r
a
,
u
(1)
n (r, \u3b8) = Rn(r)\u398
(1)
n (\u3b8) = r
n cos n\u3b8, u
(2)
n (r, \u3b8) = Rn(r)\u398
(2)
n (\u3b8) = r
n sen n\u3b8.
Vamos supor que a soluc¸a\u2dco do problema de Dirichlet seja a se´rie
u(r, \u3b8) = c0 ln
r
a
+
\u221e
\u2211
n=1
(cnu
(1)
n (r, \u3b8) + dnu
(2)
n (r, \u3b8)) (13)
= c0(1\u2212
ln r
ln a
) +
\u221e
\u2211
n=1
(rn \u2212 a2nr\u2212n)(cn cos n\u3b8 + dn sen n\u3b8). (14)
Enta\u2dco para satisfazer a condic¸a\u2dco u(b, \u3b8) = g(\u3b8), temos que impor a condic¸a\u2dco
g(\u3b8) = u(b, \u3b8) = c0 ln
b
a
+
\u221e
\u2211
n=1
(bn \u2212 a2nb\u2212n)(cn cos n\u3b8 + dn sen n\u3b8).
Esta e´ a se´rie de Fourier de g(\u3b8) com per\u131´odo 2pi. Assim, se a func¸a\u2dco g : [0, 2pi] \u2192 R e´ cont\u131´nua por partes tal que a sua
derivada g\u2032 tambe´m seja cont\u131´nua por partes, enta\u2dco os coeficientes da se´rie sa\u2dco dados por
(ln
b
a
)c0 =
1
2pi
\u222b 2pi
0
g(\u3b8) d\u3b8,
(bn \u2212 a2nb\u2212n)cn = 1
pi
\u222b 2pi
0
g(\u3b8) cos n\u3b8 d\u3b8, (15)
(bn \u2212 a2nb\u2212n)dn = 1
pi
\u222b 2pi
0
g(\u3b8) sen n\u3b8 d\u3b8.
para n = 1, 2, 3 . . .
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