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Curso de Álgebra Linear

Fundamentos e Aplicações

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Marco Cabral Paulo Goldfeld

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Curso de Álgebra Linear

Fundamentos e Aplicações

Segunda Edição

Setembro de 2012

Marco A. P. Cabral

PhD Indiana University, EUA

Prof. IM � UFRJ

mapcabral@ufrj.br

Paulo Goldfeld

PhD Courant Institute, EUA

Prof. IM � UFRJ

goldfeld@labma.ufrj.br

Departamento de Matemática Aplicada

Instituto de Matemática

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Rio de Janeiro � Brasil

Cópias são autorizadas e bem vindas: divulgue nosso trabalho! Consulte o sítio

www.labma.ufrj.br/~mcabral/livros ou entre em contato com os autores.

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Este trabalho está licenciado sob uma Licença Creative Commons Atribui-

ção (BY) � Uso Não-Comercial (NC) � Compartilhamento pela mesma Licença (SA) 3.0

Unported. Para ver uma cópia desta licença, visite

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California 94105, USA.

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crédito ao autor e distribuam a obra resultante sob a mesma licença, ou sob uma licença

similar à presente.

Ficha Catalográfica

Cabral, Marco A. P. e Goldfeld, Paulo

Curso de Álgebra Linear / Marco Cabral e Paulo Goldfeld - Rio de Janeiro: Instituto

de Matemática, 2008.

1. Álgebra Linear I. Título

CDD: 512.5

516.3

ISBN XX-XXXX-XXX-X

Sobre os Autores
Marco Aurélio Palumbo Cabral é carioca (natural do Rio de Janeiro) e tricolor (torcedor do

fluminense). Fez o Bacharelado em Informática na UFRJ, o Mestrado emMatemática Aplicada

na UFRJ e o doutorado em Matemática na Indiana University (Bloogminton, EUA). É professor

no Instituto de Matemática na UFRJ. Suas áreas de interesse são equações diferenciais parciais

(EDP), Análise Numérica e Finanças.

Paulo Goldfeld fez Bacharelado em Enhenharia Mecânica na UFRJ, o Mestrado em Mate-

mática Aplicada na UFRJ e o doutorado em Matemática no Courant Institute (Nova Iorque,

EUA). É professor no Instituto de Matemática na UFRJ. Sua área de interesse é métodos

numéricos em equações diferenciais parciais (EDP).

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iv SOBRE OS AUTORES

Agradecimentos

Primeiro aos programas (e programadores) que permitiram a produção deste material. Este

produto é herdeiro da cultura GPL (Gnu Public License), que permite o reuso de código

fonte. Agradecemos em primeiro lugar a Douglas Knuth pelo T

E

X (e Leslie Lamport pelo

L

A

T

E

X), software que permite que este material seja tão bonito; Linus Torvalds (e milhares de

outras pessoas) pelo sistema operacional Linux, Bram Moolenaar pelo vim (editor de texto),

Till Tantau pelo Beamer (slides do curso) e pelo TikZ e PGF (figuras do texto), Richard

Stallman (responsável pelo projeto GNU) e milhares de pessoas por dezenas de softwares

utilizados: tar (compactação de arquivos), make (gerenciador de programa), grep, find,

ghostview, xpdf, . . . Agradecemos também a Jim Hefferon, cujo livro Linear Algebra, em

licença Creative Commons, ajudou a inspirar este trabalho.

Agradecemos à Profa. Beatriz Malajovich (UniRio) pela ajuda com gabarito dos exercícios,

ao Prof. Felipe Acker (UFRJ) por sugestão de morfismos, à Profa. Monique Carmona (UFRJ)

por diversas sugestões de organização geral, ao Prof. Martin Weilandt (UFSC) pela revisão

extensa da segunda edição.

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vi AGRADECIMENTOS

Prefa´cio

Para o estudante

Este livro tem como foco o aluno e suas dificuldades. A ordem de apresentação do conteúdo

e a metodologia foi discutida com vários colegas do departamento com larga experiência no

ensino de Álgebra Linear na graduação e pós-graduação. Um exemplo disso é a concepção do

primeiro capítulo, que explora a Geometria Analítica, em parte já vista pelos alunos no ensino

médio, e introduz conceitos chaves da Álgebra Linear.

O livro possui cerca de 230 exemplos resolvidos. Procuramos destacar no texto os erros

mais comuns dos alunos e estimular o uso de tecnologia (software algébrico) em todos os

capítulos.

É parte fundamental do curso resolver exercícios, tantos quanto for possível. Ao final de

cada capítulo existem exercícios divididos em 4 grupos:

• exercícios de fixação: Devem ser feitos imediatamente após a leitura do texto. São
de resposta imediata (mental). Não saber resposta correta sugere um retorno ao texto.

Deve-se fazer todos antes de seguir adiante.

• problemas: São os principais exercícios do capítulo. Todos devem ser feitos.

• problemas extras: Caso o aluno já tenha feito todos os problemas.

• desafios: Para se aprofundar na disciplina. São opcionais.

Todos os exercícios de fixação e todos os problemas tem respostas no final do livro.

Vários problemas extras e desafios também possuem respostas. Sao cerca de 90 exercícios de

fixação, 110 problemas, 150 problemas extras e 80 desafios.

Porque um novo livro?

• Este livro pode ser aperfeiçoado por qualquer pessoa por ser disponibilizado através da
licença , que permite o re-uso do material. Imaginamos que daqui a 100

anos o departamento de Matemática Aplicada da UFRJ ainda estará utilizando uma

versão deste livro: todo o trabalho dos autores iniciais e subsequentes não será perdido.

Para detalhes consulte: http://creativecommons.org.

• Permitir aos alunos de todo o Brasil acesso fácil (internet) a material gratuito e de
qualidade por ser certificado pelo Departamento de Matemática Aplicada da UFRJ e

por colegas de todo o Brasil.

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viii PREFÁCIO

• Necessidade do nosso departamento, responsável pelo ensino de Álgebra Linear na UFRJ,
de aplicar prova unificada e, consequentemente, criar um material padrão para o curso.

• Produzir um material com conteúdo que será efetivamente utilizado em sala de aula
pelo aluno. Na nossa experiência, os alunos preferem livros finos, que são fáceis de

transportar e estimulam a leitura.

• Produzir transparências para sala de aula diretamente acopladas a um livro.

Criamos um pacote completo para um curso de Álgebra Linear: além deste texto, foram

produzidas transparências. Tudo isto está disponível em www.labma.ufrj.br/~mcabral/

livros

Como foi escolhido o material?

Determinamos os tópicos tomando por base o curso usualmente ministrado na UFRJ. Além

disso o componente estético foi fundamental: os alunos devem perceber a beleza da Mate-

mática. Algumas escolhas importantes foram feitas:

• Capítulo inicial apresenta conteúdo principal do curso sem grande formalismo: ve-
tores e operações no Rn, equações paramétricas e cartesianas, espaços gerados (retas
e planos), combinações lineares, dependência e independência linear. Estes temas são

retomados no capítulo de Espaços Vetoriais, mas acreditamos que é importante uma

exposição, logo no início, destes conceitos.

• A solução de sistemas lineares é feita através da eliminação de Gauss. A regra de
Cramer é uma seção opcional do capítulo de Determinantes. Interpretamos a solução de

sistemas através de interpretações do produto matriz-vetor. Assim o conjunto solução

é visto com a linguagem de espaço gerado, apresentado no primeiro capítulo, e também

do ponto de vista geométrico, interseção de retas, planos, hiperplanos, etc.

• Espaços vetoriais de polinômios e funções não são meros exemplos, são centrais
para a formação de engenheiros, matemáticos e físicos. Algumas aplicações importantes

são: equações diferenciais, aproximação de funções por polinômios e métodos numéricos

como elementos finitos.

• Matriz aparece, inicialmente, somente como forma conveniente de resolver