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Curso de Álgebra Linear
Fundamentos e Aplicações
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Marco Cabral Paulo Goldfeld
ii
Curso de Álgebra Linear
Fundamentos e Aplicações
Segunda Edição
Setembro de 2012
Marco A. P. Cabral
PhD Indiana University, EUA
Prof. IM \ufffd UFRJ
mapcabral@ufrj.br
Paulo Goldfeld
PhD Courant Institute, EUA
Prof. IM \ufffd UFRJ
goldfeld@labma.ufrj.br
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Rio de Janeiro \ufffd Brasil
Cópias são autorizadas e bem vindas: divulgue nosso trabalho! Consulte o sítio
www.labma.ufrj.br/~mcabral/livros ou entre em contato com os autores.
ii
Este trabalho está licenciado sob uma Licença Creative Commons Atribui-
ção (BY) \ufffd Uso Não-Comercial (NC) \ufffd Compartilhamento pela mesma Licença (SA) 3.0
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adaptar e criar obras derivadas sobre esta obra sem \ufb01ns comerciais, contanto que atribuam
crédito ao autor e distribuam a obra resultante sob a mesma licença, ou sob uma licença
similar à presente.
Ficha Catalográ\ufb01ca
Cabral, Marco A. P. e Goldfeld, Paulo
Curso de Álgebra Linear / Marco Cabral e Paulo Goldfeld - Rio de Janeiro: Instituto
de Matemática, 2008.
1. Álgebra Linear I. Título
CDD: 512.5
516.3
ISBN XX-XXXX-XXX-X
Sobre os Autores
Marco Aurélio Palumbo Cabral é carioca (natural do Rio de Janeiro) e tricolor (torcedor do
\ufb02uminense). Fez o Bacharelado em Informática na UFRJ, o Mestrado emMatemática Aplicada
na UFRJ e o doutorado em Matemática na Indiana University (Bloogminton, EUA). É professor
no Instituto de Matemática na UFRJ. Suas áreas de interesse são equações diferenciais parciais
(EDP), Análise Numérica e Finanças.
Paulo Goldfeld fez Bacharelado em Enhenharia Mecânica na UFRJ, o Mestrado em Mate-
mática Aplicada na UFRJ e o doutorado em Matemática no Courant Institute (Nova Iorque,
EUA). É professor no Instituto de Matemática na UFRJ. Sua área de interesse é métodos
numéricos em equações diferenciais parciais (EDP).
iii
iv SOBRE OS AUTORES
Agradecimentos
Primeiro aos programas (e programadores) que permitiram a produção deste material. Este
produto é herdeiro da cultura GPL (Gnu Public License), que permite o reuso de código
fonte. Agradecemos em primeiro lugar a Douglas Knuth pelo T
E
X (e Leslie Lamport pelo
L
A
T
E
X), software que permite que este material seja tão bonito; Linus Torvalds (e milhares de
outras pessoas) pelo sistema operacional Linux, Bram Moolenaar pelo vim (editor de texto),
Till Tantau pelo Beamer (slides do curso) e pelo TikZ e PGF (\ufb01guras do texto), Richard
Stallman (responsável pelo projeto GNU) e milhares de pessoas por dezenas de softwares
utilizados: tar (compactação de arquivos), make (gerenciador de programa), grep, find,
ghostview, xpdf, . . . Agradecemos também a Jim He\ufb00eron, cujo livro Linear Algebra, em
licença Creative Commons, ajudou a inspirar este trabalho.
Agradecemos à Profa. Beatriz Malajovich (UniRio) pela ajuda com gabarito dos exercícios,
ao Prof. Felipe Acker (UFRJ) por sugestão de mor\ufb01smos, à Profa. Monique Carmona (UFRJ)
por diversas sugestões de organização geral, ao Prof. Martin Weilandt (UFSC) pela revisão
extensa da segunda edição.
v
vi AGRADECIMENTOS
Prefa´cio
Para o estudante
Este livro tem como foco o aluno e suas di\ufb01culdades. A ordem de apresentação do conteúdo
e a metodologia foi discutida com vários colegas do departamento com larga experiência no
ensino de Álgebra Linear na graduação e pós-graduação. Um exemplo disso é a concepção do
primeiro capítulo, que explora a Geometria Analítica, em parte já vista pelos alunos no ensino
médio, e introduz conceitos chaves da Álgebra Linear.
O livro possui cerca de 230 exemplos resolvidos. Procuramos destacar no texto os erros
mais comuns dos alunos e estimular o uso de tecnologia (software algébrico) em todos os
capítulos.
É parte fundamental do curso resolver exercícios, tantos quanto for possível. Ao \ufb01nal de
cada capítulo existem exercícios divididos em 4 grupos:
\u2022 exercícios de \ufb01xação: Devem ser feitos imediatamente após a leitura do texto. São
de resposta imediata (mental). Não saber resposta correta sugere um retorno ao texto.
Deve-se fazer todos antes de seguir adiante.
\u2022 problemas: São os principais exercícios do capítulo. Todos devem ser feitos.
\u2022 problemas extras: Caso o aluno já tenha feito todos os problemas.
\u2022 desa\ufb01os: Para se aprofundar na disciplina. São opcionais.
Todos os exercícios de \ufb01xação e todos os problemas tem respostas no \ufb01nal do livro.
Vários problemas extras e desa\ufb01os também possuem respostas. Sao cerca de 90 exercícios de
\ufb01xação, 110 problemas, 150 problemas extras e 80 desa\ufb01os.
Porque um novo livro?
\u2022 Este livro pode ser aperfeiçoado por qualquer pessoa por ser disponibilizado através da
licença , que permite o re-uso do material. Imaginamos que daqui a 100
anos o departamento de Matemática Aplicada da UFRJ ainda estará utilizando uma
versão deste livro: todo o trabalho dos autores iniciais e subsequentes não será perdido.
Para detalhes consulte: http://creativecommons.org.
\u2022 Permitir aos alunos de todo o Brasil acesso fácil (internet) a material gratuito e de
qualidade por ser certi\ufb01cado pelo Departamento de Matemática Aplicada da UFRJ e
por colegas de todo o Brasil.
vii
viii PREFÁCIO
\u2022 Necessidade do nosso departamento, responsável pelo ensino de Álgebra Linear na UFRJ,
de aplicar prova uni\ufb01cada e, consequentemente, criar um material padrão para o curso.
\u2022 Produzir um material com conteúdo que será efetivamente utilizado em sala de aula
pelo aluno. Na nossa experiência, os alunos preferem livros \ufb01nos, que são fáceis de
transportar e estimulam a leitura.
\u2022 Produzir transparências para sala de aula diretamente acopladas a um livro.
Criamos um pacote completo para um curso de Álgebra Linear: além deste texto, foram
produzidas transparências. Tudo isto está disponível em www.labma.ufrj.br/~mcabral/
livros
Como foi escolhido o material?
Determinamos os tópicos tomando por base o curso usualmente ministrado na UFRJ. Além
disso o componente estético foi fundamental: os alunos devem perceber a beleza da Mate-
mática. Algumas escolhas importantes foram feitas:
\u2022 Capítulo inicial apresenta conteúdo principal do curso sem grande formalismo: ve-
tores e operações no Rn, equações paramétricas e cartesianas, espaços gerados (retas
e planos), combinações lineares, dependência e independência linear. Estes temas são
retomados no capítulo de Espaços Vetoriais, mas acreditamos que é importante uma
exposição, logo no início, destes conceitos.
\u2022 A solução de sistemas lineares é feita através da eliminação de Gauss. A regra de
Cramer é uma seção opcional do capítulo de Determinantes. Interpretamos a solução de
sistemas através de interpretações do produto matriz-vetor. Assim o conjunto solução
é visto com a linguagem de espaço gerado, apresentado no primeiro capítulo, e também
do ponto de vista geométrico, interseção de retas, planos, hiperplanos, etc.
\u2022 Espaços vetoriais de polinômios e funções não são meros exemplos, são centrais
para a formação de engenheiros, matemáticos e físicos. Algumas aplicações importantes
são: equações diferenciais, aproximação de funções por polinômios e métodos numéricos
como elementos \ufb01nitos.
\u2022 Matriz aparece, inicialmente, somente como forma conveniente de resolver