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3, 3) e (4, 0, 4, 0).
(c) que contém os pontos (1,\u22121, 1,\u22121) e (2, 3, 4, 5) e é paralelo ao vetor (2,\u22123, 4,\u22125).
Solução: (a) O plano é (1, 2, 3, 4) + t(2, 3, 5, 7) + s(0, 1, 0, 1).
(b) Tomando w = (2, 2, 2, 2), u = (3, 3, 3, 3)\u2212w = (1, 1, 1, 1) e v = (4, 0, 4, 0)\u2212w =
(2,\u22122, 2,\u22122). Logo o plano é w + tu + sv.
(c) Tomando w = (1,\u22121, 1,\u22121), u = (2, 3, 4, 5)\u2212w = (1, 4, 3, 6) e v = (2,\u22123, 4,\u22125).
Logo o plano é w + tu + sv.
1.3.4 Espaço Gerado por 3 ou Mais Vetores
Já vimos que (Exemplo 1.39 da p.17):
\u2022 {u} é LI se, e somente se, u 6= 0.
\u2022 {u,v} é LI se, e somente se, u e v são não nulos e não paralelos.
Assim o espaço gerado por p vetores LIs u1,u2, . . . ,up é uma reta se p = 1 e um plano se
p = 2. Vamos generalizar para p \u2265 3.
A combinação linear de p vetores LIs u1,u2, . . . ,up gera um subespaço passando pela
origem. Adicionando um vetor translação w a este subespaço obtemos a equação w + t1u1 +
t2u2 + · · · + tpvp, onde ti \u2208 R, com i = 1, . . . , p, são p variáveis independentes. Utilizando
a notação de espaço gerado, a equação paramétrica é dada por w + \u3008u1,u2, . . . ,up\u3009.
22 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR
Exemplo 1.51 Determine equações paramétricas para o conjunto solução (x, y, z, w, q) \u2208
R5 do sistema:
{
x\u2212 y + z \u2212 w = 1
y \u2212 q = 0 .
Solução: São 5 variáveis e 2 equações: podemos introduzir 5\u22122 = 3 parâmetros r, s, t \u2208 R.
Assim tomando z = r, w = s, q = t, x = 2+q = 2+t, y = x+z\u2212w\u22121 = 2+t+r\u2212s\u22121 =
t+r\u2212s+1. Logo a solução é (2, 1, 0, 0, 0)+r(0, 1, 1, 0, 0)+s(0,\u22121, 0, 1, 0)+ t(0, 1, 0, 0, 1).
Exemplo 1.52 Identi\ufb01que se é reta, plano etc. o conjunto:
(2, 3, 5, 7) + \u3008(1, 1, 1, 1), (2, 2, 2, 2), (3, 3, 3, 3)\u3009.
Solução: É uma reta em R4 embora seja gerado por 3 vetores. Isto porque (2, 2, 2, 2) =
2(1, 1, 1, 1), (3, 3, 3, 3) = 3(1, 1, 1, 1). Desta forma,
\u3008(1, 1, 1, 1), (2, 2, 2, 2), (3, 3, 3, 3)\u3009 = \u3008(1, 1, 1, 1)\u3009.
Portanto a caracterização geométrica de S = w + \u3008u1,u2, . . . ,up\u3009 depende não do valor
de p, mas de quantos vetores são LIs. Assim se:
\u2022 p = 0, S é um ponto;
\u2022 p = 1, S é uma reta ou ponto;
\u2022 p = 2, S é um plano, uma reta ou um ponto;
\u2022 p = 3, S é a translação de um subespaço de dimensão 3, um plano, uma reta ou um
ponto;
\u2022 p = k, S é a translação de um subespaço de no máximo dimensão k.
É intuitivamente óbvio que em R2 qualquer conjunto de 3 vetores será LD pois caso
contrário geraria um subespaço de dimensão 3. Do mesmo modo em R3, qualquer conjunto
com 4 ou mais vetores é LD pois caso contrário geraria um subespaço de dimensão maior que
4.
Por outro lado, para que um conjunto de vetores gere todo o R2 deve ter pelo menos 2
vetores, caso contrário gerará somente uma reta ou ponto. Para que gere todo o R3 deve ter
pelo menos 3 vetores, caso contrário gerará somente plano, reta ou ponto.
Concluímos que em Rn:
\u2022 um conjunto com mais de n vetores é LD;
\u2022 um conjunto com menos de n vetores não gera Rn;
\u2022 um conjunto de n vetores gera Rn se, e só se, é LI.
1.4 Exercícios de Introdução à Álgebra Linear
1.4.1 Exercícios de Fixação
Fix 1.1:Determine se é ponto, reta ou plano o conjunto representado pela(s) equação(ões):
(a) x = 4 em R2; (b) x = \u22121 em R; (c) y = 3 em R3;
(d) x+ y = 2 em R2; (e) x\u2212 y = \u22121 em R3;
1
Versão 23.ago.2012 11h
1.4. EXERCÍCIOS DE INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR 23
(f)
{
x = 5
y = \u22122 em R
2
; (g)
{
x = \u22125
y = 2
em R3; (h)
{
x\u2212 y = \u22125
y = 2
em R3;
Fix 1.2:Quando representamos vetores como setinhas:
(a) dois vetores iguais são necessariamente (coincidentes, paralelos);
(b) fazendo produto por k > 1 obtemos vetor com (mesmo, maior, menor)
tamanho e com (mesmo sentido, sentido oposto).
(c) fazendo produto por k = \u22121 obtemos vetor com (mesmo, maior, menor)
tamanho e com (mesmo sentido, sentido oposto).
(d) fazendo produto por k < \u22121 obtemos vetor com (mesmo, maior, menor)
tamanho e com (mesmo sentido, sentido oposto).
(e) fazendo produto por k, com \u22121 < k < 0, obtemos vetor com (mesmo,
maior, menor) tamanho e com (mesmo sentido, sentido oposto).
Fix 1.3:A a interseção da reta 3y \u2212 2x = 5 com o
(a) eixo x é ; (b) eixo y é ;
Fix 1.4:A equação paramétrica da reta
(a) x = 3 é ; (b) y = \u22121 é .
Fix 1.5:Determine se é combinação linear de (2, 0) e (0, 2):
(a) (0, 0); (b) (1, 0); (c) (4, 6).
Fix 1.6:Determine se é ponto, reta ou plano:
(a) \u3008(1, 2, 0, 0), (2, 4, 0, 0)\u3009+ (2, 1, 2, 2); (b) \u3008(1, 2, 0, 0), (0, 1, 0, 0)\u3009+ (0, 0, 0, 0);
(c) \u3008(1, 1, 1, 1)\u3009+ (0, 0, 0, 0); (d) \u3008(0, 0, 0, 0)\u3009+ (1, 1, 1, 1);
Fix 1.7: Se u é combinação linear de v e w, então necessariamente u pertence:
(a) à reta gerada por w? (b) ao plano gerado por v e w?
Fix 1.8: Seja S um conjunto com 5 vetores em Rn. Determine se é verdadeiro ou falso:
(a) se n = 3, então S é sempre LD; (b) se n = 4, então S sempre gera R4.
1.4.2 Problemas
Prob 1.1:Determine equações paramétricas para as retas (em R2):
(a) y \u2212 2x = 5; (b) y = \u22121.
Prob 1.2:Determine equações cartesianas para as retas (em R2):
(a)
{
x = 2t\u2212 1
y = \u2212t ; (b)
{
x = 5t\u2212 1
y = 2t
; (c)
{
x = t
y = \u22123 ; (d)
{
x = 0
y = t
.
Prob 1.3:Determine equações paramétricas para as retas (em R3):
(a)
{
z \u2212 x = 1
x+ y + z = 0
; (b)
{
x+ y = 1
x\u2212 y = 1 ; (c)
{
x = y
z = 0
.
Prob 1.4:Determine equações paramétricas para a reta (em R3):
(a) que contém os pontos (2, \u22123, \u22121) e (1, 2, 1);
(b) que contém o ponto (\u22121, 2, \u22121) e é paralela ao vetor (0, 0, 1);
(c) que pertence ao plano x\u2212 y = z \u2212 1 e ao plano 3x\u2212 y + 1 = z.
Prob 1.5:Determine equações cartesianas para as retas (em R3):
(a)
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x = 2t\u2212 1
y = \u2212t
z = 3t+ 2
; (b)
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x = 2
y = \u22123
z = t
; (c)
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x = 5t\u2212 1
y = 6t+ 2
z = \u2212t\u2212 1
; (d)
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x = t
y = t
z = 0
.
Prob 1.6:Determine equações paramétricas para os planos (em R3):
(a) x+ y \u2212 z = 2; (b) y \u2212 z = 0.
24 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR
Prob 1.7:Determine equações cartesianas para os planos (em R3):
(a)
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x = s+ t
y = s\u2212 t
z = 4s\u2212 2t\u2212 2
; (b)
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x = t
y = 1
z = s
; (c)
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x = 2s+ 2
y = t\u2212 s
z = 4s\u2212 2t+ 1
; (d)
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x = t
y = t
z = s
.
Prob 1.8:Considere a reta r = (1, 2, 1)+\u3008(1, 0, 1)\u3009, o plano\u3a01 = (2, 0, 0)+\u3008(2, 0, 2), (1, 0, 0)\u3009,
o plano \u3a02 = {(x, y, z) \u2208 R3| x+ z = 0}. Determine as interseções entre:
(a) r e \u3a01; (b) r e \u3a02; (c) \u3a01 e \u3a02.
Prob 1.9:Determine equações paramétricas para o plano (em R3) que contém o(s) ponto(s):
(a) (1, 0, 1), (0, 1, 1) e (\u22121, 0, 0).
(b) (3, 0,\u22121) e é simultaneamente paralelo aos vetores (2,\u22121, 1) e (0, 1,\u22121) .
(c) (1, 3, 2) e (\u22121, 2, 1) e é paralelo ao vetor (1,\u22121,\u22121).
(d) (\u22123, 1, 0) e a reta de equação paramétrica
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x = t+ 1
y = 1\u2212 t
z = t\u2212 1
.
Prob 1.10:Considere a reta r = (1, 2, 0, 0) + t(0, 1/2, 1, \u22121). Determine:
(a) três pontos distintos de r; (b) se (1, 4, 4, \u22124) \u2208 r;
(c) se (1, 4, 3, 2) \u2208 r; (d) se r = (1, 4, 3, 2) + s(0, 1/2, 1, \u22121);
(e) se r = (1, 4, \u22124, 4) + s(0, \u22122, \u22124, 4).
Prob 1.11:Considere o plano \u3a0 = (1, 1, 2, 0) + t(\u22121, 2,\u22121, 2) + s(1, 1, 1, 1) em R4. Deter-
mine:
(a) quatro pontos distintos de \u3a0; (b) se (2, 5, 3, 4) \u2208 \u3a0;
(c) se (1, 1, 3, 3) \u2208 \u3a0; (d) se \u3a0 = (1, 1, 3, 3) + \u3008(\u22121, 2,\u22121, 2), (1, 1, 1, 1)\u3009.
Prob 1.12:Determine uma equação paramétrica para:
(a) {(x, y, z, w) \u2208 R4| x\u2212 y + 3z \u2212 2w = 4}; (b) {(x, y, z, w, u) \u2208 R5| z \u2212 3u = 5}.
Prob 1.13:Determine por inspeção se é LI:
(a) {(1, 2, 2, 3), (2, 4, 4, 5)}; (b) {(\u22121, 2, 1,\u22123), (3,\u22126,\u22123, 9};
(c) {(1, 2), (2, 1), (3, 3)}; (d) {(1, 2, 3, 4, 5), (0, 0, 0, 0, 0), (5, 4, 3, 2, 1)}.
Prob 1.14:Determine se:
(a) (1, 2, 3, 5) \u2208 \u3008(1, 2, 3, 4)\u3009; (b) (\u22121, 0, 0) \u2208 \u3008(2, 1, 1), (3, 1, 1)\u3009;
(c) (\u22121, 0, 2) \u2208 \u3008(2, 1, 1), (3, 1, 1)\u3009; (d) R3 = \u3008(0, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 0, 1)\u3009;
(e) \u3008(2, 1, 2)\u3009 = \u3008(2,\u22121, 2)\u3009.
1.4.3 Extras
Ext 1.1: Seja S um conjunto com 5 vetores em Rn. Determine se é verdadeiro ou falso:
(a) se n = 7, então S é sempre LI; (b) se n = 3, então S pode gerar o R3;
Ext 1.2:Determine equações paramétricas