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3, 3) e (4, 0, 4, 0).
(c) que contém os pontos (1,−1, 1,−1) e (2, 3, 4, 5) e é paralelo ao vetor (2,−3, 4,−5).

Solução: (a) O plano é (1, 2, 3, 4) + t(2, 3, 5, 7) + s(0, 1, 0, 1).
(b) Tomando w = (2, 2, 2, 2), u = (3, 3, 3, 3)−w = (1, 1, 1, 1) e v = (4, 0, 4, 0)−w =

(2,−2, 2,−2). Logo o plano é w + tu + sv.
(c) Tomando w = (1,−1, 1,−1), u = (2, 3, 4, 5)−w = (1, 4, 3, 6) e v = (2,−3, 4,−5).
Logo o plano é w + tu + sv.

1.3.4 Espaço Gerado por 3 ou Mais Vetores

Já vimos que (Exemplo 1.39 da p.17):

• {u} é LI se, e somente se, u 6= 0.
• {u,v} é LI se, e somente se, u e v são não nulos e não paralelos.
Assim o espaço gerado por p vetores LIs u1,u2, . . . ,up é uma reta se p = 1 e um plano se
p = 2. Vamos generalizar para p ≥ 3.
A combinação linear de p vetores LIs u1,u2, . . . ,up gera um subespaço passando pela
origem. Adicionando um vetor translação w a este subespaço obtemos a equação w + t1u1 +
t2u2 + · · · + tpvp, onde ti ∈ R, com i = 1, . . . , p, são p variáveis independentes. Utilizando
a notação de espaço gerado, a equação paramétrica é dada por w + 〈u1,u2, . . . ,up〉.

22 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR

Exemplo 1.51 Determine equações paramétricas para o conjunto solução (x, y, z, w, q) ∈
R5 do sistema:

{
x− y + z − w = 1

y − q = 0 .

Solução: São 5 variáveis e 2 equações: podemos introduzir 5−2 = 3 parâmetros r, s, t ∈ R.
Assim tomando z = r, w = s, q = t, x = 2+q = 2+t, y = x+z−w−1 = 2+t+r−s−1 =
t+r−s+1. Logo a solução é (2, 1, 0, 0, 0)+r(0, 1, 1, 0, 0)+s(0,−1, 0, 1, 0)+ t(0, 1, 0, 0, 1).

Exemplo 1.52 Identifique se é reta, plano etc. o conjunto:

(2, 3, 5, 7) + 〈(1, 1, 1, 1), (2, 2, 2, 2), (3, 3, 3, 3)〉.

Solução: É uma reta em R4 embora seja gerado por 3 vetores. Isto porque (2, 2, 2, 2) =
2(1, 1, 1, 1), (3, 3, 3, 3) = 3(1, 1, 1, 1). Desta forma,
〈(1, 1, 1, 1), (2, 2, 2, 2), (3, 3, 3, 3)〉 = 〈(1, 1, 1, 1)〉.
Portanto a caracterização geométrica de S = w + 〈u1,u2, . . . ,up〉 depende não do valor
de p, mas de quantos vetores são LIs. Assim se:

• p = 0, S é um ponto;
• p = 1, S é uma reta ou ponto;
• p = 2, S é um plano, uma reta ou um ponto;
• p = 3, S é a translação de um subespaço de dimensão 3, um plano, uma reta ou um
ponto;

• p = k, S é a translação de um subespaço de no máximo dimensão k.
É intuitivamente óbvio que em R2 qualquer conjunto de 3 vetores será LD pois caso
contrário geraria um subespaço de dimensão 3. Do mesmo modo em R3, qualquer conjunto
com 4 ou mais vetores é LD pois caso contrário geraria um subespaço de dimensão maior que
4.
Por outro lado, para que um conjunto de vetores gere todo o R2 deve ter pelo menos 2
vetores, caso contrário gerará somente uma reta ou ponto. Para que gere todo o R3 deve ter
pelo menos 3 vetores, caso contrário gerará somente plano, reta ou ponto.
Concluímos que em Rn:

• um conjunto com mais de n vetores é LD;
• um conjunto com menos de n vetores não gera Rn;
• um conjunto de n vetores gera Rn se, e só se, é LI.

1.4 Exercícios de Introdução à Álgebra Linear

1.4.1 Exercícios de Fixação

Fix 1.1:Determine se é ponto, reta ou plano o conjunto representado pela(s) equação(ões):

(a) x = 4 em R2; (b) x = −1 em R; (c) y = 3 em R3;
(d) x+ y = 2 em R2; (e) x− y = −1 em R3;
1

Versão 23.ago.2012 11h

1.4. EXERCÍCIOS DE INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR 23

(f)

{
x = 5
y = −2 em R

2
; (g)

{
x = −5
y = 2
em R3; (h)

{
x− y = −5

y = 2
em R3;

Fix 1.2:Quando representamos vetores como setinhas:

(a) dois vetores iguais são necessariamente (coincidentes, paralelos);

(b) fazendo produto por k > 1 obtemos vetor com (mesmo, maior, menor)
tamanho e com (mesmo sentido, sentido oposto).

(c) fazendo produto por k = −1 obtemos vetor com (mesmo, maior, menor)
tamanho e com (mesmo sentido, sentido oposto).

(d) fazendo produto por k < −1 obtemos vetor com (mesmo, maior, menor)
tamanho e com (mesmo sentido, sentido oposto).

(e) fazendo produto por k, com −1 < k < 0, obtemos vetor com (mesmo,
maior, menor) tamanho e com (mesmo sentido, sentido oposto).

Fix 1.3:A a interseção da reta 3y − 2x = 5 com o
(a) eixo x é ; (b) eixo y é ;

Fix 1.4:A equação paramétrica da reta

(a) x = 3 é ; (b) y = −1 é .
Fix 1.5:Determine se é combinação linear de (2, 0) e (0, 2):
(a) (0, 0); (b) (1, 0); (c) (4, 6).

Fix 1.6:Determine se é ponto, reta ou plano:

(a) 〈(1, 2, 0, 0), (2, 4, 0, 0)〉+ (2, 1, 2, 2); (b) 〈(1, 2, 0, 0), (0, 1, 0, 0)〉+ (0, 0, 0, 0);
(c) 〈(1, 1, 1, 1)〉+ (0, 0, 0, 0); (d) 〈(0, 0, 0, 0)〉+ (1, 1, 1, 1);
Fix 1.7: Se u é combinação linear de v e w, então necessariamente u pertence:
(a) à reta gerada por w? (b) ao plano gerado por v e w?

Fix 1.8: Seja S um conjunto com 5 vetores em Rn. Determine se é verdadeiro ou falso:
(a) se n = 3, então S é sempre LD; (b) se n = 4, então S sempre gera R4.

1.4.2 Problemas

Prob 1.1:Determine equações paramétricas para as retas (em R2):
(a) y − 2x = 5; (b) y = −1.
Prob 1.2:Determine equações cartesianas para as retas (em R2):

(a)

{
x = 2t− 1
y = −t ; (b)

{
x = 5t− 1
y = 2t
; (c)

{
x = t
y = −3 ; (d)

{
x = 0
y = t
.

Prob 1.3:Determine equações paramétricas para as retas (em R3):

(a)

{
z − x = 1

x+ y + z = 0
; (b)

{
x+ y = 1
x− y = 1 ; (c)

{
x = y
z = 0
.

Prob 1.4:Determine equações paramétricas para a reta (em R3):
(a) que contém os pontos (2, −3, −1) e (1, 2, 1);
(b) que contém o ponto (−1, 2, −1) e é paralela ao vetor (0, 0, 1);
(c) que pertence ao plano x− y = z − 1 e ao plano 3x− y + 1 = z.
Prob 1.5:Determine equações cartesianas para as retas (em R3):

(a)


x = 2t− 1
y = −t
z = 3t+ 2
; (b)


x = 2
y = −3
z = t
; (c)


x = 5t− 1
y = 6t+ 2
z = −t− 1
; (d)


x = t
y = t
z = 0
.

Prob 1.6:Determine equações paramétricas para os planos (em R3):
(a) x+ y − z = 2; (b) y − z = 0.

24 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR

Prob 1.7:Determine equações cartesianas para os planos (em R3):

(a)


x = s+ t
y = s− t
z = 4s− 2t− 2
; (b)


x = t
y = 1
z = s
; (c)


x = 2s+ 2
y = t− s
z = 4s− 2t+ 1
; (d)


x = t
y = t
z = s
.

Prob 1.8:Considere a reta r = (1, 2, 1)+〈(1, 0, 1)〉, o planoΠ1 = (2, 0, 0)+〈(2, 0, 2), (1, 0, 0)〉,
o plano Π2 = {(x, y, z) ∈ R3| x+ z = 0}. Determine as interseções entre:
(a) r e Π1; (b) r e Π2; (c) Π1 e Π2.

Prob 1.9:Determine equações paramétricas para o plano (em R3) que contém o(s) ponto(s):
(a) (1, 0, 1), (0, 1, 1) e (−1, 0, 0).
(b) (3, 0,−1) e é simultaneamente paralelo aos vetores (2,−1, 1) e (0, 1,−1) .
(c) (1, 3, 2) e (−1, 2, 1) e é paralelo ao vetor (1,−1,−1).

(d) (−3, 1, 0) e a reta de equação paramétrica


x = t+ 1
y = 1− t
z = t− 1
.

Prob 1.10:Considere a reta r = (1, 2, 0, 0) + t(0, 1/2, 1, −1). Determine:
(a) três pontos distintos de r; (b) se (1, 4, 4, −4) ∈ r;
(c) se (1, 4, 3, 2) ∈ r; (d) se r = (1, 4, 3, 2) + s(0, 1/2, 1, −1);
(e) se r = (1, 4, −4, 4) + s(0, −2, −4, 4).
Prob 1.11:Considere o plano Π = (1, 1, 2, 0) + t(−1, 2,−1, 2) + s(1, 1, 1, 1) em R4. Deter-
mine:

(a) quatro pontos distintos de Π; (b) se (2, 5, 3, 4) ∈ Π;
(c) se (1, 1, 3, 3) ∈ Π; (d) se Π = (1, 1, 3, 3) + 〈(−1, 2,−1, 2), (1, 1, 1, 1)〉.
Prob 1.12:Determine uma equação paramétrica para:

(a) {(x, y, z, w) ∈ R4| x− y + 3z − 2w = 4}; (b) {(x, y, z, w, u) ∈ R5| z − 3u = 5}.
Prob 1.13:Determine por inspeção se é LI:

(a) {(1, 2, 2, 3), (2, 4, 4, 5)}; (b) {(−1, 2, 1,−3), (3,−6,−3, 9};
(c) {(1, 2), (2, 1), (3, 3)}; (d) {(1, 2, 3, 4, 5), (0, 0, 0, 0, 0), (5, 4, 3, 2, 1)}.
Prob 1.14:Determine se:

(a) (1, 2, 3, 5) ∈ 〈(1, 2, 3, 4)〉; (b) (−1, 0, 0) ∈ 〈(2, 1, 1), (3, 1, 1)〉;
(c) (−1, 0, 2) ∈ 〈(2, 1, 1), (3, 1, 1)〉; (d) R3 = 〈(0, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 0, 1)〉;
(e) 〈(2, 1, 2)〉 = 〈(2,−1, 2)〉.

1.4.3 Extras

Ext 1.1: Seja S um conjunto com 5 vetores em Rn. Determine se é verdadeiro ou falso:
(a) se n = 7, então S é sempre LI; (b) se n = 3, então S pode gerar o R3;
Ext 1.2:Determine equações paramétricas