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Disciplina:Álgebra Linear II693 materiais7.584 seguidores
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para os conjuntos:

(a) x = 3 em R2; (b)
{

2x− 3y + 5z = 1
x+ y = 1
em R3;

(c) x− 2y = 1 em R3; (d) 3x− 2z − 5 = 0 em R3;
Ext 1.3:Determine se é ponto, reta ou plano:

(a) (1, 2, 1, 2, 1) + 〈(0, 0, 0, 0, 0), (−1, 2, 1, 2, 1))〉;
(b) (1, 2, 1, 1) + 〈(1, 2, 1, 3), (1, 2, 1, 4))〉;
(c) (1, 2, 1, 1) + 〈(1, 1, 1, 1), (0, 2, 0, 2), (1, 3, 1, 3))〉;
(d) (2, 0, 2, 0) + 〈(1, 2, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 0)〉;
(e) (0, 0, 0, 0) + 〈(0, 0, 0, 0))〉;
(f) v + 〈u,−u, 3u〉 com u 6= 0.

1.4. EXERCÍCIOS DE INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR 25

1.4.4 Desafios

Des 1.1:Um truque de mágica bem conhecido é a fuga de uma caixa completamente fechada.

Vamos ver como isto é possível em R4.
No plano é impossível fugir de dentro de um quadrado sem atravessar uma das arestas. No

entanto, em R3, podemos fugir do quadrado subindo (na direção perpendicular ao quadrado);
andando paralelamente ao quadrado para fora dele; e descendo(na direção perpendicular ao

quadrado) retornando ao plano que contém o quadrado mas no lado de fora dele. Desta forma

saímos de dentro do quadrado sem atravessar nenhuma das arestas.

Utilizando esta ideia, considere o cubo C ⊂ R4 definido por C = {(x, y, z, 0) ∈ R4; |x| ≤
1, |y| ≤ 1, |z| ≤ 1}.
(a) Faça definição análoga em R3 do quadrado e esboce o conjunto.
(b) Descreva a parametrização de uma curva que comece em (0, 0, 0, 0) ∈ C e termine
fora de C.

26 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR

Capı´tulo 2
Sistema Linear
Neste capítulo apresentamos:

(a) aplicações de sistemas lineares;

(b) o conjunto das matrizes e sua relação com vetores;

(c) operações elementares em matrizes e sistemas equivalentes;

(d) algoritmo da eliminação de Gauss de escalonamento de matrizes;

(e) como determinar se um sistema possui solução única, infinitas soluções ou nenhuma

solução. Caso possua solução, qual é a solução (se única) ou a parametrização do

conjunto-solução (se infinitas).

(f) interpretações do produto matriz-vetor implicando em diferentes interpretações de so-

luções de um sistema linear. Em particular interpretação geométrica da solução de

sistemas em qualquer dimensão.

2.1 Aplicações de Sistemas Lineares

Sistemas lineares aparecem em diversas aplicações na Física, Química, Engenharia e em pro-

blemas da própria Matemática. Vamos apresentar diversos exemplos que servem de motivação

para este estudo. O Exemplo ?? não sugere necessidade de muitas (milhares de) variáveis e

foi incluído somente para contrastar com os outros.

Exemplo 2.1 Há dois tipos de moeda indistinguíveis, exceto pelo peso. As de material X

pesam 10 g cada e as de material Y, 20 g cada. Se um conjunto de 100 moedas pesa 1.25

Kg, quantas são do material X?{
x + y = 100

10x + 20y = 1250
.

Exemplo 2.2 A combustão do propano produz dióxido de carbono e água. Encontre a, b, c
e d de forma a balancear a equação da reação: aC3H8 + bO2 −→ cCO2 + dH2O.
1

Versão 22.agosto.2012 07h

27

28 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR

Balanço de C: 3a = c, balanço de H: 8a = 2d, balanço de O: 2b = 2c + d. São 3
equações e 4 variáveis: 

3a +0b −1c +0d = 0
8a +0b +0c −2d = 0
0a +2b −2c −1d = 0

.

Exemplo 2.3 Existe uma única parábola γ da forma y = ax2 + bx + c passando pelos
pontos (0, 1), (1, 3), (2, 4) e (3, 9)? Caso não exista, qual a parábola que melhor aproxima
estes pontos?

(0, 1) ∈ γ ⇒ 1 = a(02) + b(0) + c
(1, 3) ∈ γ ⇒ 3 = a(12) + b(1) + c
(2, 4) ∈ γ ⇒ 4 = a(22) + b(2) + c
(3, 9) ∈ γ ⇒ 9 = a(32) + b(3) + c
Obtemos um sistema com 4 equações e 3 variáveis (a, b, c):

0a +0b +1c = 1
1a +1b +1c = 3
4a +2b +1c = 4
9a +3b +1c = 9

.

Exemplo 2.4 Determine a função cúbica da forma f(x) = ax3 + bx2 + cx + d que melhor
aproxima a função cos(x) nos pontos ki com i = 1, . . . , N (N tão grande quanto se queira).
Observe o exemplo anterior para obter:

ak31 +bk
2
1 +ck1 +d = cos(k1)
.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ak3N +bk
2
N +ckN +d = cos(kN)

.

Exemplo 2.5 Queremos determinar a distribuição de temperatura no interior da placa re-

presentada na Figura 2.1 sabendo a temperatura em volta desta placa, conforme indicado na

figura. Para isto vamos utilizar um princípio físico que garante (de forma aproximada) que a

temperatura em um vértice é igual a média das temperaturas dos quatro vértices mais próxi-

mos. Deste modo, a temperatura a por exemplo é igual a (20 + 25 + b+ d)/4. Procedendo
desta forma obtemos 6 equações e 6 variáveis (a, b, c, d, e, f):

4a− b− d = 45
4b− a− c− e = 15
4c− b− f = 25
4d− e− a = 55
4e− b− d− f = 20
4f − c− e = 35

.

Observação 2.1 Porque Resolver Sistema com muitas equações/variáveis?

No Exemplo 2.4 podemos ter N (o número de pontos) tão grande quanto se queira. No
Exemplo 2.5 poderíamos utilizar, ao invés de uma malha 4 × 5, uma malha 100 × 100
(em torno de 10 mil variáveis). Ou então considerar a distribuição de calor em uma peça
sólida, com três dimensões espaciais. Neste caso, utilizando um malha de 100×100×100,
chegamos a cerca de 1 milhão de variáveis.
Surge desta forma, naturalmente, a resolução de sistemas com muitas equações e muitas

variáveis.

2.1. APLICAÇÕES DE SISTEMAS LINEARES 29

25o

15o

30o

20o

20o 25o

15o 20o

10o 15o

a

b

c

d

e

f

Figura 2.1: Placa Aquecida

Exemplo 2.6 Determinar o fluxo de carros em ruas faz parte do planejamento urbano de

uma cidade. Outros fluxos importantes são de água, corrente elétrica, mercadoria, ou bytes

(internet). Nesses sistemas existem vias (ruas, canos, estradas ou fios) que transportam estes

fluxos e que devem ser planejados de forma a suportar as capacidades. Estes problemas são

modelados por sistemas lineares. Consulte livros de álgebra linear ou Wikipedia para detalhes

sobre estes modelos.

Exemplo 2.7 Foram realizadas medições de dados bidimensionais (por exemplo distância

percorrida e consumo de combustível de um automóvel) obtendo-se N pontos (xi, yi) no
plano. Sabendo-se que a relação deve ser linear, qual a equação da reta que melhor aproxima

esta relação?

Precisamos determinar a, b ∈ R tal que a reta y = ax+ b passe o mais perto possível (em
sentido a ser precisado) de todos os pontos (xi, yi), como indicado na Figura 2.2. A resposta
é dada através do chamado método de mínimos quadrados (veja Seção 5.3 da p.143), que

busca solução aproximada (com menor erro) do sistema com 2 variáveis (a, b) e N equações:
ax1 + b = y1
.

.

. =
.

.

.

axN + b = yN .

x

y

Figura 2.2: Reta Aproximada

Exemplo 2.8 O vetor (0, 6, 10) é combinação linear de (1, 2, 3), (2, 1, 1) e (4,−1,−3)?

30 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR

Precisamos saber existem α, β, γ tais que

α(1, 2, 3) + β(2, 1, 1) + γ(4,−1,−3)
= (α, 2α, 3α) + (2β, β, β) + (4γ,−γ,−3γ)
= (α + 2β + 4γ, 2α + β − γ, 3α + β − 3γ)
= (0, 6, 10).


1α +2β +4γ = 0
2α +1β −1γ = 6
3α +1β −3γ = 10

Destes exemplos concluímos que:

• sistemas lineares modelam problemas bem distintos entre si;
• problemas da Álgebra Linear recaem na resolução de sistemas lineares de modo que
as técnicas para resolvê-los nos acompanharão por todo o curso;

• facilmente os sistemas podem ter milhares de variáveis � neste caso a teoria será
fundamental para se entender as soluções que serão geradas por softwares de com-

putação científica.

2.2 Matrizes e Vetores do Rn

Definição 2.1 (matriz) Uma matriz A sobre um conjunto K (neste texto sempre K = R,
mas pode-se ter K = C,Q,Z,N etc.) é um arranjo num retângulo m× n (m linhas e n
colunas) de mn elementos aij ∈ K (i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n):

A =

 a11 · · · a1n..
.

.

.

.

am1 · · · amn

 .
Escrevemos também que A = (aij), onde o número de linhas e colunas fica subentendido
pelo contexto.

Observação 2.2 Para lembrar da convenção que matriz m× n significa m linhas e n
colunas observe que quando