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Disciplina:Álgebra Linear II705 materiais7.713 seguidores
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é uma reta.

2.3.3 No Espaço (R3)

Nesta seção convidamos o leitor a verificar cada interpretação representando os planos com

folhas de papel, as mãos, paredes e chão da sala, etc. Isto é muito importante para

desenvolver a intuição para o que se segue. Ajuda também representar o plano x = y em R3
como a reta x = y em R2 e colocar o eixo z saindo do papel.

A equação ax+ by + cz = d representa um plano em R3. Assim determinar a solução de
um sistema com 2 equações corresponde, geometricamente, a determinar a interseção de 2

planos. As possibilidades são:

(a) 2 planos (não-paralelos e não coincidentes) se interceptando numa reta: infinitas

soluções, conjunto-solução é uma reta;

(b) 2 planos paralelos não-coincidentes: sem solução, conjunto-solução é vazio.

(c) 2 planos coincidentes: infinitas soluções, conjunto-solução é um plano.

Vamos ver, de forma sistemática, todas interpretações geométricas de um sistema com 3

equações em R3. Partindo de 2 planos Π1 e Π2 não-paralelos e não-coincidentes, considere a
reta r = Π1 ∩ Π2 (interseção dos planos):
(a) terceiro plano não é paralelo à reta r: solução única, conjunto-solução é um ponto;

(b) terceiro plano é paralelo não coincidente à reta r: sem solução, conjunto-solução é
vazio. Neste caso os 3 planos formam um prisma triangular (tente visualizar isto!);

(c) terceiro plano contém a reta r: infinitas soluções, conjunto-solução é a reta r;

Partindo de 2 planos paralelos não-coincidentes:

(d) independente da posição do terceiro plano: sem solução, conjunto-solução é vazio.

Partindo de 2 planos coincidentes Π1 = Π2:

(e) terceiro plano intercepta Π1 mas não é coincidente: infinitas soluções, conjunto-
solução é uma reta;

(f) terceiro plano é coincidente a Π1: infinitas soluções, conjunto-solução é um plano.

Esta análise pode ser feita para 4 equações também. Na Seção 2.8 da p.56 apresentamos

a interpretação geométrica de sistemas em Rn com qualquer número de variáveis. Note que
no R3 o conjunto-solução pode ser infinito de 2 formas: um plano ou uma reta.

36 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR

2.4 Operações Elementares e Sistemas Equivalentes

Definição 2.3 (matriz de coeficientes, matriz aumentada e lado direito)

Considere o sistema, com m equações em n variáveis:
a11x1 +a12x2 · · · +a1nxn = b1
a21x1 +a22x2 · · · +a2nxn = b2
.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

am1x1 +am2x2 · · · +amnxn = bm
Definimos como matriz de coeficientes, matriz aumentada (ou ampliada) e o lado direito do

sistema acima as matrizes indicadas na figura abaixo.

matriz aumentada ou ampliada︷ ︸︸ ︷
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

m1 am2 · · · amn︸ ︷︷ ︸
matriz de coeficientes

b1
b2
.

.

.

bm


︸ ︷︷ ︸
lado direito

Note que a matriz de coeficientes possuim linhas e n colunas que correspondem asm equações
em n variáveis do sistema.

Observação 2.6 É comum o abuso de linguagem �considere o sistema A�, onde A é a
matriz aumentada do sistema a ser considerado.

Quando a matriz de coeficientes possui algumas formas particulares, o sistema se torna

extremamente fácil de ser resolvido. O primeiro caso é quando a matriz de coeficientes é

diagonal: a solução do sistema é imediata.

Definição 2.4 (matriz diagonal) A é diagonal se aij = 0 para todo i 6= j.

Exemplo 2.13 São matrizes diagonais:

 −10 0 00 3 0
0 0 −5

 ,
 1 00 3

0 0

 ,


3 0 0 0
0 −5 0 0
0 0 0 0
0 0 0 −3
0 0 0 0

 .

Exemplo 2.14 Resolva o sistema

 3 0 0 50 −2 0 4
0 0 1 −2


.

Solução: A matriz ampliada corresponde ao sistema:


3x1 = 5
−2x2 = 4
x3 = −2

. É fácil ver que o

conjunto-solução é

{(
5

3
,−2,−2

)}
.

2.4. OPERAÇÕES ELEMENTARES E SISTEMAS EQUIVALENTES 37

Outro caso fácil é quando matriz de coeficientes é triangular.

Definição 2.5 (matriz triangular superior) A é triangular superior se aij = 0 para
todo i > j.

Exemplo 2.15 É triangular superior:

 −1 1 70 3 2
0 0 −1

 ,
 5 20 3

0 0

 ,
 3 12 0 −30 −5 3 0

0 0 5 −1

 .
Observação 2.7 Existe definição similar de matriz triangular inferior, cuja definição

deixamos para o leitor.

Quando a matriz é triangular superior a solução é calculada através da substitui-

ção para trás. Começando-se da última equação, onde se determina a última variável,

determina-se cada variável, sucessivamente, de trás para frente.

Exemplo 2.16 Resolva o sistema

 3 1 3 20 −2 1 −5
0 0 2 −2

 .

Solução: A matriz ampliada corresponde ao sistema:


3x1 +x2 +3x3 = 2

−2x2 +x3 = −5
2x3 = −2

. Fa-

zendo a Substituição para trás, calculamos primeiro x3 da última equação. Substituímos
seu valor na segunda equação e obtemos x2. Finalmente, substituindo x1 e x2 na primeira
equação, calculamos x1:

2x3 = −2 ⇒ x3 = −1
−2x2 +(−1) = −5 ⇒ x2 = 2

3x1 +(2) +3(−1) = 2 ⇒ x1 = 1
.

Definição 2.6 (sistemas equivalentes) Dois sistemas (nas mesmas variáveis) são equi-

valentes se têm o mesmo conjunto-solução.

Exemplo 2.17 Os dois sistemas da Figura 2.7 são equivalentes, embora com número de

equações distintas, pois possuem o mesmo conjunto-solução {(1, 1)}.

A estratégia para Solução de Sistemas Lineares é transformar um sistema qualquer num

sistema equivalente (mesmo conjunto-solução) �fácil�:

• na forma escalonada (�tipo� triangular superior, ver Definição 2.10 da p.41) ou
• na forma totalmente escalonada (�tipo� diagonal, ver Definição 2.12 da p.42).

Para isto precisamos ver como gerar sistemas equivalentes utilizando as operações ele-

mentares, que são efetuadas na matriz aumentada de um sistema. Estas operações podem

ser vistas também como operações nas equações do sistema, embora quando efetuamos os

cálculos fazemos as operações diretamente na matriz aumentada.

38 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR

[
1 1 2
1 −1 0

]  1 2 31 −1 0
3 1 4



(2, 0)

(0, 2)

(1, 1)

(3, 0)

(
0,

3

2

)
(1, 1)

(
4

3
, 0

)

Figura 2.7: Sistemas equivalentes

Definição 2.7 (operações elementares) São operações elementares numa matriz (li
é a i-ésima linha):
(a) trocar a ordem das linhas: (denotado li ↔ lj):

.

.

.

li
.

.

.

lj
.

.

.

 ∼


.

.

.

lj
.

.

.

li
.

.

.


(b) multiplicar uma linha por k 6= 0: (denotado li ← kli):
.

.

.

li
.

.

.

 ∼

.

.

.

kli
.

.

.


(c) substituir linha por sua soma com múltiplo de outra (denotado lj ← lj + kli):

.

.

.

li
.

.

.

lj
.

.

.

 ∼


.

.

.

li
.

.

.

lj + kli
.

.

.


(d) descartar ou acrescentar linhas só de zeros:

l1
.

.

.

0 0 · · · 0 0
.

.

.

 ∼
 l1...
.

.

.



Definição 2.8 (matriz equivalente) Uma matriz A é equivalente a B se pode ser obtida
por meio de uma sequencia de operações elementares. Denotamos A ∼ B.

2.4. OPERAÇÕES ELEMENTARES E SISTEMAS EQUIVALENTES 39

Lema 2.9 (sistemas e matrizes equivalentes) Sejam A e B matrizes aumentadas de
dois sistemas (nas mesmas variáveis). Se as matrizes são equivalentes (A ∼ B), então os
sistemas correspondentes são equivalentes (possuem mesmo conjunto-solução).

Prova: Cada uma das operações elementares efetuadas na matriz aumentada de um sistema

corresponde a uma operação nas equações desse sistema que não altera o conjunto-solução:

(a) trocar a ordem das linhas: trocar ordem das equações em um sistema não altera o

conjunto-solução.

(b) multiplicar uma linha por um escalar não-nulo: substituir a equação A = B por
kA = kB. Isto não altera o sistema pois se A = B então kA = kB (isto é verdade mesmo
se k = 0). Por outro lado se kA = kB, como k 6= 0, multiplicamos os dois lados por k−1 e