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obtemos que A = B. Portanto não alteramos o conjunto-solução.
(c) substituir linha por sua soma com múltiplo de outra: substituir as equações (correspon-
dentes a linhas i e j)
{
A = B
C = D
por
{
A = B
C + kA = D + kB
. Se C = D, como A = B,
kA = kB para qualquer k (mesmo k = 0). Somando esta equação nos dois lados de C = D
obtemos que C + kA = D + kB. Por outro lado, suponha que C + kA = D + kB. Como
A = B, kA = kB para qualquer k. Logo subtraindo kA dos dois lados de C+kA = D+kB,
obtemos C = D + kB \u2212 kA = D.
(d) descartar (ou acrescentar) linhas só de zeros: eliminar (ou acrescentar) a uma equação
sempre verdadeira (0 = 0), que não altera o conjunto-solução.
Observação 2.8 Dessas operações podemos deduzir outras como por exemplo: \ufffdse duas
linhas são iguais, uma delas pode ser descartada\ufffd. Isto porque o sistema
{
B = C
B = C
equivale a
{
B = C
B \u2212B = C \u2212 C tomando k = \u22121 na operação (c). Portanto obtemos
o sistema
{
B = C
0 = 0
. Pela operação (d) este é equivalente a
{
B = C .
Deve-se tomar cuidado pois nem toda operação gera sistemas equivalentes. No próximo
exemplo ilustramos um erro que não é comum mas serve para ajudar a entender o exemplo
depois desse.
Exemplo 2.18 Embora possamos substituir uma linha pela soma dela com outra, não po-
demos fazer isto simultaneamente com duas linhas pois senão transformaríamos o sistema{
A = B
C = D
em
{
A+ C = B +D
A+ C = B +D
. Mas este sistema é equivalente a{
A+ C = B +D pela observação anterior.
Vamos ver num caso particular. Considere
{
x+ y = 3
2x\u2212 y = 0 cujo conjunto-solução é
{(1, 2)}. Somando as duas linhas simultaneamente obtemos
{
3x = 3
3x = 3
cujo conjunto-
solução é {(x, y) = (1, t); t \u2208 R}.
Note que isto é diferente de substituir a primeira linha pela soma dela com a segunda
obtendo
{
3x = 3
2x\u2212 y = 0 e depois substituir a segunda linha pela soma dela com a primeira
obtendo
{
3x = 3
5x\u2212 y = 3 . Note que preservamos o conjunto-solução {(1, 2)}.
40 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR
O erro apresentado no exemplo anterior di\ufb01cilmente é cometido. No próximo exemplo
apresentamos um erro que ocorre com certa frequência com alunos que não aplicam uma
operação elementar de cada vez. Ocorre quando substituímos sem ter um algoritmo.
Exemplo 2.19 Considere o sistema
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x+ y + z = 3
y + z = 2
x+ y = 2
cuja solução única é x = y = z =
1. Na forma matricial ele corresponde a
\uf8ee\uf8f0 1 1 1 30 1 1 2
1 1 0 2
\uf8f9\uf8fb . Vamos fazer simultaneamente
l1 \u2190 l1 \u2212 l2 , l2 \u2190 l2 \u2212 l3 , l3 \u2190 l3 \u2212 l1, obtendo
\uf8ee\uf8f0 1 0 0 1\u22121 0 1 0
0 0 \u22121 \u22121
\uf8f9\uf8fb . Isto corresponde
ao sistema
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x = 1
\u2212x+ z = 0
\u2212z = \u22121
cuja solução é x = z = 1 e y pode assumir qualquer valor.
Portanto o conjunto-solução é {(x, y, z) = (1, t, 1) = (1, 0, 1) + t(0, 1, 0), t \u2208 R}. Na
linguagem do Capítulo 1, o conjunto-solução é a reta (1, 0, 1) + \u3008(0, 1, 0)\u3009. Note que o
conjunto-solução foi modi\ufb01cado.
Observação 2.9 O último exemplo mostra a importância de sermos extremamente
cuidadosos quando aplicamos as operações elementares, aplicando uma de cada vez.
Antes de apresentar um algoritmo (Eliminação de Gauss p.42) para resolver sistemas li-
neares, vamos apresentar, através de um exemplo, a transformação de um sistema linear
qualquer, utilizando somente as operações elementares, num sistema equivalente di-
agonal, que pode ser facilmente resolvido.
Exemplo 2.20 Considere o sistema
\uf8ee\uf8f0 \u22121 \u22122 \u22124 20 \u22127 11 \u221225
3 13 4 16
\uf8f9\uf8fb . Fazendo l3 \u2190 l3 + 3l1, cal-
culamos
3 13 4 16
+ 3× ( \u22121 \u22122 \u22124 2 ) =
3 13 4 16
+ \u22123 \u22126 \u221212 6
0 7 \u22128 22
e obtemos\uf8ee\uf8f0 \u22121 \u22122 \u22124 20 \u22127 11 \u221225
0 7 \u22128 22
\uf8f9\uf8fb . Fazendo l3 \u2190 l3 + l2 calculamos 0 \u22127 11 \u221225+ 0 7 \u22128 22
0 0 3 \u22123
e
obtemos
\uf8ee\uf8f0 \u22121 \u22122 \u22124 20 \u22127 11 \u221225
0 0 3 \u22123
\uf8f9\uf8fb . Fazendo l3 \u2190 1
3
l3, obtemos
\uf8ee\uf8f0 \u22121 \u22122 \u22124 20 \u22127 11 \u221225
0 0 1 \u22121
\uf8f9\uf8fb .
Para fazer l1 \u2190 l1 + 4l3 calculamos
\u22121 \u22122 \u22124 2
+ 0 0 4 \u22124
\u22121 \u22122 0 \u22122
. Para fazer l2 \u2190 l2 \u2212
11l3 calculamos
0 \u22127 11 \u221225
+ 0 0 \u221211 11
0 \u22127 0 \u221214
. Obtemos então
\uf8ee\uf8f0 \u22121 \u22122 0 \u221220 \u22127 0 \u221214
0 0 1 \u22121
\uf8f9\uf8fb . Fa-
zendo l2 \u2190 \u22121
7
l2, obtemos
\uf8ee\uf8f0 \u22121 \u22122 0 \u221220 1 0 2
0 0 1 \u22121
\uf8f9\uf8fb . Fazendo l1 \u2190 l1 + 2l2 calculamos
2.5. RESOLVENDO SISTEMAS LINEARES 41
\u22121 \u22122 0 \u22122
+ 0 2 0 4
\u22121 0 0 2
e obtemos
\uf8ee\uf8f0 \u22121 0 0 20 1 0 2
0 0 1 \u22121
\uf8f9\uf8fb . Finalmente fazendo l1 \u2190 \u2212l1
obtemos o
\uf8ee\uf8f0 1 0 0 \u221220 1 0 2
0 0 1 \u22121
\uf8f9\uf8fb .
Agora o sistema é diagonal e pode ser facilmente resolvido:
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x1 = \u22122
x2 = 2
x3 = \u22121
. Portanto
o conjunto-solução é {(\u22122, 2,\u22121)}.
2.5 Resolvendo Sistemas Lineares
O plano de ação para a solução de sistemas lineares é:
\u2022 de\ufb01nir o que é a forma escalonada e forma totalmente escalonada de uma
matriz;
\u2022 apresentar o algoritmo de eliminação de Gauss que transforma uma matriz
qualquer para forma escalonada ou totalmente escalonada. Também chamado de
escalonamento.
\u2022 resolver um sistema cuja matriz aumentada está na forma (totalmente) escalonada.
2.5.1 Escalonamento
De\ufb01nição 2.10 (forma escalonada) Diz-se que uma matriz está (na forma) escalonada
(\ufffdtipo\ufffd triangular superior) se:
\u2022 o número de zeros no início de cada linha aumenta estritamente de uma linha
para outra exceto se a linha é toda nula.
\u2022 as linhas nulas, caso existam, são as últimas da matriz.
Exemplo 2.21 Determine se estão na forma escalonada:
(a)
\uf8ee\uf8f0 4 \u22127 0 \u221214 43 0 4 0 \u22121
0 0 0 \u221213 6
\uf8f9\uf8fb
; (b)
\uf8ee\uf8f0 4 \u22127 0 \u221214 40 0 4 0 \u22121
0 0 0 \u221213 6
\uf8f9\uf8fb
;
(c)
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
3 7 0 7 1
0 1 4 2 4
0 0 0 0 \u22121
0 0 0 0 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb; (d)
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
4 \u22127 0 \u221214 4
0 0 4 0 \u22121
0 0 0 0 0
0 0 0 \u221213 6
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb.
Solução: (a) não; (b) sim; (c) sim; (d) não.
De\ufb01nição 2.11 (pivô) São denominados pivôs os primeiros elementos não nulos de cada
linha (não nula) de uma matriz escalonada.
42 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR
Observação 2.10 (pivôs são de colunas distintas) Pela de\ufb01nição o número de pivôs
é igual ao número de linhas não nulas. Como o número de zeros aumenta estritamente
numa matriz escalonada, os pivôs ocupam colunas distintas. Assim o número de pivôs é
menor ou igual ao número de colunas. Temos portanto que:
número linhas não nulas = número de pivôs \u2264 número de colunas
Exemplo 2.22 Na matriz abaixo são pivôs (indicados em negrito) 4,5,\u221213.\uf8ee\uf8f0 4 \u22127 0 \u221214 40 0 5 0 \u22121
0 0 0 \u221213 6
\uf8f9\uf8fb
De\ufb01nição 2.12 (forma totalmente escalonada) Uma matriz escalonada está total-
mente escalonada ou escalonada reduzida (\ufffdtipo\ufffd diagonal) se os seus pivôs:
\u2022 são todos 1's e
\u2022 são os únicos elementos não-nulos de suas colunas.
Exemplo 2.23 Determine se estão na forma totalmente escalonada:
(a)
\uf8ee\uf8f0 1 3 2 0 40 0 1 0 \u22121
0 0 0 1 6
\uf8f9\uf8fb
; (b)
\uf8ee\uf8f0 1 0 \u22121 0 00 1 2 0 0
0 0 0 0 1
\uf8f9\uf8fb
;
(c)
\uf8ee\uf8f0 1 \u22122 0 0 40 0 1 0 \u22121
0 0 0 2 6
\uf8f9\uf8fb
; (d)
\uf8ee\uf8f0 1 \u22127 0 0 40 0 1 0 \u22121
0 0 0 1 6
\uf8f9\uf8fb
.
Solução: (a) não; (b) sim; (c) não; (d) sim.
Vamos descrever o algoritmo de Eliminação de Gauss, também chamado de escalo-
namento. Através dele, dada uma matriz A qualquer obtemos uma matriz B (totalmente)
escalonada equivalente a A. Ele é dividido em duas partes.
De\ufb01nição 2.13 (Eliminação de Gauss Parte I: Forma Escalonada)
(a) p\u2190 (no de linhas não nulas).
(b) k \u2190 1.
(c) Enquanto k < p, repita:
\u2022 Considere apenas as linhas lk, lk+1, . . . , lp.
\u2022 Identi\ufb01que a coluna não nula mais à esquerda.
\u2022 Troque linhas para obter pivô não nulo.
\u2022 Anule entradas abaixo do pivô subtraindo de lk+1, . . . , lp múltiplos de lk.
\u2022 p\u2190 (no de linhas não nulas).
\u2022 k \u2190 k + 1.
2.5. RESOLVENDO SISTEMAS LINEARES 43
De\ufb01nição 2.14 (Eliminação de Gauss Parte II: Forma Totalmente Escalonada)
(a) Execute a Parte I do algoritmo.
(b) Repita, para k = p, p\u2212 1, . . . , 1:
\u2022 Divida lk pelo seu pivô, tornando-o 1.
\u2022 Se k > 1 anule entradas acima do pivô subtraindo de l1, . . . , lk\u22121 múltiplos de lk.
Observação 2.11 Alguns livros chamam a Parte I de eliminação de Gauss e a Parte