livro-ALGLIN
260 pág.

livro-ALGLIN

Disciplina:Álgebra Linear II693 materiais7.563 seguidores
Pré-visualização50 páginas
obtemos que A = B. Portanto não alteramos o conjunto-solução.
(c) substituir linha por sua soma com múltiplo de outra: substituir as equações (correspon-

dentes a linhas i e j)

{
A = B
C = D
por

{
A = B

C + kA = D + kB
. Se C = D, como A = B,

kA = kB para qualquer k (mesmo k = 0). Somando esta equação nos dois lados de C = D
obtemos que C + kA = D + kB. Por outro lado, suponha que C + kA = D + kB. Como
A = B, kA = kB para qualquer k. Logo subtraindo kA dos dois lados de C+kA = D+kB,
obtemos C = D + kB − kA = D.
(d) descartar (ou acrescentar) linhas só de zeros: eliminar (ou acrescentar) a uma equação

sempre verdadeira (0 = 0), que não altera o conjunto-solução.

Observação 2.8 Dessas operações podemos deduzir outras como por exemplo: �se duas

linhas são iguais, uma delas pode ser descartada�. Isto porque o sistema

{
B = C
B = C

equivale a

{
B = C

B −B = C − C tomando k = −1 na operação (c). Portanto obtemos

o sistema

{
B = C
0 = 0
. Pela operação (d) este é equivalente a

{
B = C .

Deve-se tomar cuidado pois nem toda operação gera sistemas equivalentes. No próximo

exemplo ilustramos um erro que não é comum mas serve para ajudar a entender o exemplo

depois desse.

Exemplo 2.18 Embora possamos substituir uma linha pela soma dela com outra, não po-

demos fazer isto simultaneamente com duas linhas pois senão transformaríamos o sistema{
A = B
C = D
em

{
A+ C = B +D
A+ C = B +D
. Mas este sistema é equivalente a{

A+ C = B +D pela observação anterior.

Vamos ver num caso particular. Considere

{
x+ y = 3

2x− y = 0 cujo conjunto-solução é

{(1, 2)}. Somando as duas linhas simultaneamente obtemos
{

3x = 3
3x = 3
cujo conjunto-

solução é {(x, y) = (1, t); t ∈ R}.
Note que isto é diferente de substituir a primeira linha pela soma dela com a segunda

obtendo

{
3x = 3

2x− y = 0 e depois substituir a segunda linha pela soma dela com a primeira

obtendo

{
3x = 3

5x− y = 3 . Note que preservamos o conjunto-solução {(1, 2)}.

40 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR

O erro apresentado no exemplo anterior dificilmente é cometido. No próximo exemplo

apresentamos um erro que ocorre com certa frequência com alunos que não aplicam uma

operação elementar de cada vez. Ocorre quando substituímos sem ter um algoritmo.

Exemplo 2.19 Considere o sistema


x+ y + z = 3

y + z = 2
x+ y = 2
cuja solução única é x = y = z =

1. Na forma matricial ele corresponde a

 1 1 1 30 1 1 2
1 1 0 2

 . Vamos fazer simultaneamente
l1 ← l1 − l2 , l2 ← l2 − l3 , l3 ← l3 − l1, obtendo

 1 0 0 1−1 0 1 0
0 0 −1 −1

 . Isto corresponde
ao sistema


x = 1

−x+ z = 0
−z = −1
cuja solução é x = z = 1 e y pode assumir qualquer valor.

Portanto o conjunto-solução é {(x, y, z) = (1, t, 1) = (1, 0, 1) + t(0, 1, 0), t ∈ R}. Na
linguagem do Capítulo 1, o conjunto-solução é a reta (1, 0, 1) + 〈(0, 1, 0)〉. Note que o
conjunto-solução foi modificado.

Observação 2.9 O último exemplo mostra a importância de sermos extremamente

cuidadosos quando aplicamos as operações elementares, aplicando uma de cada vez.

Antes de apresentar um algoritmo (Eliminação de Gauss p.42) para resolver sistemas li-

neares, vamos apresentar, através de um exemplo, a transformação de um sistema linear

qualquer, utilizando somente as operações elementares, num sistema equivalente di-

agonal, que pode ser facilmente resolvido.

Exemplo 2.20 Considere o sistema

 −1 −2 −4 20 −7 11 −25
3 13 4 16

 . Fazendo l3 ← l3 + 3l1, cal-
culamos

3 13 4 16
+ 3× ( −1 −2 −4 2 ) =

3 13 4 16
+ −3 −6 −12 6

0 7 −8 22
e obtemos −1 −2 −4 20 −7 11 −25

0 7 −8 22

 . Fazendo l3 ← l3 + l2 calculamos 0 −7 11 −25+ 0 7 −8 22
0 0 3 −3
e

obtemos

 −1 −2 −4 20 −7 11 −25
0 0 3 −3

 . Fazendo l3 ← 1
3
l3, obtemos

 −1 −2 −4 20 −7 11 −25
0 0 1 −1

 .
Para fazer l1 ← l1 + 4l3 calculamos

−1 −2 −4 2
+ 0 0 4 −4

−1 −2 0 −2
. Para fazer l2 ← l2 −

11l3 calculamos
0 −7 11 −25

+ 0 0 −11 11
0 −7 0 −14

. Obtemos então

 −1 −2 0 −20 −7 0 −14
0 0 1 −1

 . Fa-
zendo l2 ← −1

7
l2, obtemos

 −1 −2 0 −20 1 0 2
0 0 1 −1

 . Fazendo l1 ← l1 + 2l2 calculamos

2.5. RESOLVENDO SISTEMAS LINEARES 41

−1 −2 0 −2
+ 0 2 0 4

−1 0 0 2
e obtemos

 −1 0 0 20 1 0 2
0 0 1 −1

 . Finalmente fazendo l1 ← −l1
obtemos o

 1 0 0 −20 1 0 2
0 0 1 −1

 .
Agora o sistema é diagonal e pode ser facilmente resolvido:


x1 = −2
x2 = 2
x3 = −1

. Portanto

o conjunto-solução é {(−2, 2,−1)}.

2.5 Resolvendo Sistemas Lineares

O plano de ação para a solução de sistemas lineares é:

• definir o que é a forma escalonada e forma totalmente escalonada de uma
matriz;

• apresentar o algoritmo de eliminação de Gauss que transforma uma matriz
qualquer para forma escalonada ou totalmente escalonada. Também chamado de

escalonamento.

• resolver um sistema cuja matriz aumentada está na forma (totalmente) escalonada.

2.5.1 Escalonamento

Definição 2.10 (forma escalonada) Diz-se que uma matriz está (na forma) escalonada

(�tipo� triangular superior) se:

• o número de zeros no início de cada linha aumenta estritamente de uma linha
para outra exceto se a linha é toda nula.

• as linhas nulas, caso existam, são as últimas da matriz.

Exemplo 2.21 Determine se estão na forma escalonada:

(a)

 4 −7 0 −14 43 0 4 0 −1
0 0 0 −13 6


; (b)

 4 −7 0 −14 40 0 4 0 −1
0 0 0 −13 6


;

(c)


3 7 0 7 1
0 1 4 2 4
0 0 0 0 −1
0 0 0 0 0

; (d)


4 −7 0 −14 4
0 0 4 0 −1
0 0 0 0 0
0 0 0 −13 6

.
Solução: (a) não; (b) sim; (c) sim; (d) não.

Definição 2.11 (pivô) São denominados pivôs os primeiros elementos não nulos de cada

linha (não nula) de uma matriz escalonada.

42 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR

Observação 2.10 (pivôs são de colunas distintas) Pela definição o número de pivôs

é igual ao número de linhas não nulas. Como o número de zeros aumenta estritamente

numa matriz escalonada, os pivôs ocupam colunas distintas. Assim o número de pivôs é

menor ou igual ao número de colunas. Temos portanto que:

número linhas não nulas = número de pivôs ≤ número de colunas

Exemplo 2.22 Na matriz abaixo são pivôs (indicados em negrito) 4,5,−13. 4 −7 0 −14 40 0 5 0 −1
0 0 0 −13 6


Definição 2.12 (forma totalmente escalonada) Uma matriz escalonada está total-

mente escalonada ou escalonada reduzida (�tipo� diagonal) se os seus pivôs:

• são todos 1's e
• são os únicos elementos não-nulos de suas colunas.

Exemplo 2.23 Determine se estão na forma totalmente escalonada:

(a)

 1 3 2 0 40 0 1 0 −1
0 0 0 1 6


; (b)

 1 0 −1 0 00 1 2 0 0
0 0 0 0 1


;

(c)

 1 −2 0 0 40 0 1 0 −1
0 0 0 2 6


; (d)

 1 −7 0 0 40 0 1 0 −1
0 0 0 1 6


.

Solução: (a) não; (b) sim; (c) não; (d) sim.

Vamos descrever o algoritmo de Eliminação de Gauss, também chamado de escalo-

namento. Através dele, dada uma matriz A qualquer obtemos uma matriz B (totalmente)
escalonada equivalente a A. Ele é dividido em duas partes.

Definição 2.13 (Eliminação de Gauss Parte I: Forma Escalonada)

(a) p← (no de linhas não nulas).
(b) k ← 1.
(c) Enquanto k < p, repita:

• Considere apenas as linhas lk, lk+1, . . . , lp.
• Identifique a coluna não nula mais à esquerda.
• Troque linhas para obter pivô não nulo.
• Anule entradas abaixo do pivô subtraindo de lk+1, . . . , lp múltiplos de lk.
• p← (no de linhas não nulas).
• k ← k + 1.

2.5. RESOLVENDO SISTEMAS LINEARES 43

Definição 2.14 (Eliminação de Gauss Parte II: Forma Totalmente Escalonada)

(a) Execute a Parte I do algoritmo.

(b) Repita, para k = p, p− 1, . . . , 1:
• Divida lk pelo seu pivô, tornando-o 1.
• Se k > 1 anule entradas acima do pivô subtraindo de l1, . . . , lk−1 múltiplos de lk.

Observação 2.11 Alguns livros chamam a Parte I de eliminação de Gauss e a Parte