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Disciplina:Álgebra Linear II693 materiais7.563 seguidores
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I

+ Parte II de eliminação de Gauss-Jordan.

Vamos aplicar o algoritmo em detalhes na matriz


2 6 3 1 4
2 6 3 −2 10
−4 −12 −7 0 −10

6 18 11 0 14

 .
Início da Parte I: Vamos escalonar a matriz.

(a) p← 4.
(b) k ← 1.
(c) Início do primeiro laço.

• Considere apenas as linhas l1, l2, l3 e l4 (ou seja, todas as linhas).

• Identifique a coluna não nula mais à esquerda:


2 6 3 1 4
2 6 3 −2 10
−4 −12 −7 0 −10

6 18 11 0 14

 .
• Troque linhas para obter pivô não nulo (como o pivô não é nulo, não precisa fazer
nada).

• Anule as entradas abaixo do pivô 2 , subtraindo de l2, l3, l4 múltiplos de l1. Fazendo

l2 ← l2 − l1, l3 ← l3 + 2l1,l4 ← l4 − 3l1 obtemos:


2 6 3 1 4
0 0 0 −3 6
0 0 −1 2 −2
0 0 2 −3 2

.
• p← 4.
• k ← 2.
(c) Início do segundo laço.

• Considere apenas as linhas 2, 3 e 4 (ignore a primeira):


2 6 3 1 4
0 0 0 −3 6
0 0 −1 2 −2
0 0 2 −3 2

 .

• Identifique a coluna não nula mais à esquerda:


2 6 3 1 4

0 0 0 −3 6
0 0 −1 2 −2
0 0 2 −3 2

.

• Troque linhas para obter pivô não nulo:


2 6 3 1 4

0 0 −1 2 −2
0 0 0 −3 6
0 0 2 −3 2

.

44 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR

• Anule as entradas abaixo do pivô −1, subtraindo de l3 e de l4 múltiplos de l2. Fazendo

l4 ← l4+2l2 (l3 já está com entrada zerada abaixo do pivô) obtemos:


2 6 3 1 4

0 0 −1 2 −2
0 0 0 −3 6
0 0 0 1 −2

.
• p← 4.
• k ← 3.
(c) Início do terceiro laço.

• Considere apenas as linhas 3 e 4 (ignore a primeira e a segunda):


2 6 3 1 4
0 0 −1 2 −2
0 0 0 −3 6
0 0 0 1 −2

.

• Identifique a coluna não nula mais à esquerda.


2 6 3 1 4
0 0 −1 2 −2
0 0 0 −3 6
0 0 0 1 −2


• Troque linhas para obter pivô não nulo (como o pivô não é nulo, não precisa fazer
nada).

• Anule as entradas abaixo do pivô −3, subtraindo de l4 um múltiplo de l3. Fazendo

l4 ← l4 + 1/3l3 obtemos:


2 6 3 1 4
0 0 −1 2 −2
0 0 0 −3 6
0 0 0 0 0

.
• p← 3.
• k ← 4.
(c) Fim do laço pois k ≥ p. Fim da Parte I: matriz já está escalonada.
Início da Parte II: Vamos fazer o escalonamento total da matriz.

(b) Início do primeiro laço. k ← 3.

• Divida l3 pelo seu pivô −3 obtendo:


2 6 3 1 4
0 0 −1 2 −2
0 0 0 1 −2
0 0 0 0 0

.
• Anule as entradas acima do pivô , subtraindo de l1, l2 múltiplos de l3. Faça l1 ← l1− l3

e l2 ← l2 − 2l1 obtendo:


2 6 3 0 6
0 0 −1 0 2
0 0 0 1 −2
0 0 0 0 0

.
(b) Início do segundo laço. k ← 2.

• Divida l2 pelo seu pivô −1 obtendo:


2 6 3 0 6

0 0 1 0 −2
0 0 0 1 −2
0 0 0 0 0

.
• Anule as entradas acima do pivô , subtraindo de l1 múltiplos de l2. Faça l1 ← l1− 3l2

obtendo:


2 6 0 0 12

0 0 1 0 −2
0 0 0 1 −2
0 0 0 0 0

.

2.5. RESOLVENDO SISTEMAS LINEARES 45

(b) Início do terceiro laço. k ← 1.

• Divida l1 pelo seu pivô 2 obtendo:


1 3 0 0 6
0 0 1 0 −2
0 0 0 1 −2
0 0 0 0 0

.
• Anule as entradas acima do pivô 1. Não tem nada a fazer (nenhuma linha está acima
da primeira).

(b) Fim do laço pois k = 1. Fim da Parte II: a matriz está totalmente escalonada.

Observação 2.12 (Software Algébrico) Com auxílio do Software Maxima (que pode

ser obtido livremente na Internet) podemos, entre outras coisas, escalonar matrizes. Este

exemplo pode ser reproduzido no Maxima entrando com a matriz com o comando M:

matrix([2,6,3,1,4], [2,6,3,-2,10], [-4,-12,-7,0,-10],[6,18,11,0,14]) ;

e calculando a forma escalonada com echelon(M);

2.5.2 Análise Pós-Escalonamento

Para analisar o sistema após o escalonamento, introduzimos a seguinte notação para elementos

da matriz:

{
0 − zero; − não-zero;
1 − um; ? − qualquer número. .

Teorema 2.15 (existência e unicidade pela forma totalmente escalonada) Através

da forma totalmente escalonada da matriz aumentada de um sistema determinamos se

ele possui solução e, caso possua, se ela é única. Após o descarte de linhas nulas, se estiver

na:

• 1o forma:


? ? · · · ? ?
.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

? ? · · · ? ?
0 0 · · · 0 1

 � sistema sem solução.

• 2o forma:


1 0 · · · 0 ?
0 1 · · · 0 ?
.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 · · · 1 ?

 � sistema com solução única.
• 3o forma: nenhuma das anteriores � sistema com infinitas soluções.

Prova: 1

o

forma: A última linha do sistema corresponde a equação 0x1+0x2+· · ·+0xn = 1.
Como 0 = 1 não será verdade nunca, o conjunto-solução é vazio.

2

o

forma: O sistema correspondente é


x1 = ?
x2 = ?
.

.

.

.

.

.

xn = ?

. O conjunto-solução é {(?, ?, . . . , ?)}.

3

o

forma: Será provado no Teorema 2.18 da p.48.

Exemplo 2.24 Determine se o sistema é sem solução, com solução única ou com infinitas

soluções:

46 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR

(a)


1 0 0 0 7
0 1 0 0 −4
0 0 1 0 −3
0 0 0 1 13

; (b)
 1 0 00 1 0

0 0 1


; (c)

 1 2 0 0 0 −10 0 1 0 0 3
0 0 0 0 1 2


;

(d)

 1 −3 0 5 00 0 1 2 0
0 0 0 0 1


; (e)

 1 0 0 −20 1 0 0
0 0 1 11


; (f)

[
1 0 0 −2
0 1 2 0

]
.

Solução: (a) solução única; (b) sem solução; (c) infinitas soluções; (d) sem solução; (e)

solução única; (f) infinitas soluções;

Corolário 2.16 (existência e unicidade pela forma escalonada) Através da forma es-

calonada da matriz aumentada de um sistema determinamos se o sistema possui solução e,

caso possua, se ela é única. Após o descarte de linhas nulas, se estiver na:

• 1o forma:


? ? · · · ? ?
.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

? ? · · · ? ?
0 0 · · · 0

 � sistema sem solução.

• 2o forma:


? · · · ? ?

0 · · · ? ?
.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 · · · ?

 � sistema com solução única.
• 3o forma: nenhuma das anteriores � sistema com infinitas soluções.

Prova: 1

o

forma: A última linha do sistema corresponde a equação 0x1 +0x2 + · · ·+0xn =
0 = k 6= 0. Como 0 6= 0 não será verdade nunca, o conjunto-solução é vazio.
2

o

forma: Fazendo a segunda parte do escalonamento obtemos uma matriz como na

segunda forma do Teorema 2.15 da p.45. Segue o resultado.

3

o

forma: Será provado no Teorema 2.18 da p.48.

Exemplo 2.25 Determine se o sistema é sem solução, com solução única ou com infinitas

soluções:

(a)

 13 2 0 −6 330 10−7 2 9 1
0 0 0 3 0


; (b)

 0 −3 0 −1 60 0 0 √pi 9
0 0 0 0 311


;

(c)


2 2 −8 12 0
0 e3 11 1 1

2

0 0 log(3) 2 0
0 0 0 77 −3

; (d)


2 2 −8 12 0
0 −3 11 1 1

2

0 0 −2 2 0
0 0 0 0 0

.
Solução: (a) com infinitas soluções; (b) sem solução; (c) com solução única pois todos os

números 2, e3, log(3), 77 são não-nulos; (d) com infinitas soluções.

Concluímos que não precisamos fazer a forma totalmente escalonada para determinar se

um sistema possui solução e se ela é única: para isto basta a forma escalonada. Mas,

para calcular a solução, recomendamos fortemente que se escalone totalmente a matriz

ao invés de se fazer a substituição para trás na matriz escalonada. A prática mostra que

se reduzem erros numéricos desta forma.

2.5. RESOLVENDO SISTEMAS LINEARES 47

Portanto, use a forma escalonada somente para decidir se o sistema possui solução: não

use-o para calculá-la.

Em resumo, o conjunto-solução de um sistema linear de equações tem sempre:

• ou uma única solução;
• ou nenhuma solução;
• ou infinitas soluções.

Exemplo 2.26 (sistemas não lineares) Num sistema não-linear com 2 equações � que

correspondem a duas curvas no plano (ao invés de 2 retas) � podemos ter, além das opções

acima, um número finito de soluções maior que um.

(a) O sistema

{
y − x2 = 0

y = 4
possui duas soluções: (2, 4) e (−2, 4).
(b) O