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I
+ Parte II de eliminação de Gauss-Jordan.
Vamos aplicar o algoritmo em detalhes na matriz
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2 6 3 1 4
2 6 3 \u22122 10
\u22124 \u221212 \u22127 0 \u221210
6 18 11 0 14
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
Início da Parte I: Vamos escalonar a matriz.
(a) p\u2190 4.
(b) k \u2190 1.
(c) Início do primeiro laço.
\u2022 Considere apenas as linhas l1, l2, l3 e l4 (ou seja, todas as linhas).
\u2022 Identi\ufb01que a coluna não nula mais à esquerda:
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2 6 3 1 4
2 6 3 \u22122 10
\u22124 \u221212 \u22127 0 \u221210
6 18 11 0 14
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
\u2022 Troque linhas para obter pivô não nulo (como o pivô não é nulo, não precisa fazer
nada).
\u2022 Anule as entradas abaixo do pivô 2 , subtraindo de l2, l3, l4 múltiplos de l1. Fazendo
l2 \u2190 l2 \u2212 l1, l3 \u2190 l3 + 2l1,l4 \u2190 l4 \u2212 3l1 obtemos:
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2 6 3 1 4
0 0 0 \u22123 6
0 0 \u22121 2 \u22122
0 0 2 \u22123 2
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb.
\u2022 p\u2190 4.
\u2022 k \u2190 2.
(c) Início do segundo laço.
\u2022 Considere apenas as linhas 2, 3 e 4 (ignore a primeira):
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2 6 3 1 4
0 0 0 \u22123 6
0 0 \u22121 2 \u22122
0 0 2 \u22123 2
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
\u2022 Identi\ufb01que a coluna não nula mais à esquerda:
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2 6 3 1 4
0 0 0 \u22123 6
0 0 \u22121 2 \u22122
0 0 2 \u22123 2
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb.
\u2022 Troque linhas para obter pivô não nulo:
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2 6 3 1 4
0 0 \u22121 2 \u22122
0 0 0 \u22123 6
0 0 2 \u22123 2
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb.
44 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR
\u2022 Anule as entradas abaixo do pivô \u22121, subtraindo de l3 e de l4 múltiplos de l2. Fazendo
l4 \u2190 l4+2l2 (l3 já está com entrada zerada abaixo do pivô) obtemos:
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2 6 3 1 4
0 0 \u22121 2 \u22122
0 0 0 \u22123 6
0 0 0 1 \u22122
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb.
\u2022 p\u2190 4.
\u2022 k \u2190 3.
(c) Início do terceiro laço.
\u2022 Considere apenas as linhas 3 e 4 (ignore a primeira e a segunda):
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2 6 3 1 4
0 0 \u22121 2 \u22122
0 0 0 \u22123 6
0 0 0 1 \u22122
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb.
\u2022 Identi\ufb01que a coluna não nula mais à esquerda.
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2 6 3 1 4
0 0 \u22121 2 \u22122
0 0 0 \u22123 6
0 0 0 1 \u22122
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\u2022 Troque linhas para obter pivô não nulo (como o pivô não é nulo, não precisa fazer
nada).
\u2022 Anule as entradas abaixo do pivô \u22123, subtraindo de l4 um múltiplo de l3. Fazendo
l4 \u2190 l4 + 1/3l3 obtemos:
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2 6 3 1 4
0 0 \u22121 2 \u22122
0 0 0 \u22123 6
0 0 0 0 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb.
\u2022 p\u2190 3.
\u2022 k \u2190 4.
(c) Fim do laço pois k \u2265 p. Fim da Parte I: matriz já está escalonada.
Início da Parte II: Vamos fazer o escalonamento total da matriz.
(b) Início do primeiro laço. k \u2190 3.
\u2022 Divida l3 pelo seu pivô \u22123 obtendo:
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2 6 3 1 4
0 0 \u22121 2 \u22122
0 0 0 1 \u22122
0 0 0 0 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb.
\u2022 Anule as entradas acima do pivô , subtraindo de l1, l2 múltiplos de l3. Faça l1 \u2190 l1\u2212 l3
e l2 \u2190 l2 \u2212 2l1 obtendo:
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2 6 3 0 6
0 0 \u22121 0 2
0 0 0 1 \u22122
0 0 0 0 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb.
(b) Início do segundo laço. k \u2190 2.
\u2022 Divida l2 pelo seu pivô \u22121 obtendo:
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2 6 3 0 6
0 0 1 0 \u22122
0 0 0 1 \u22122
0 0 0 0 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb.
\u2022 Anule as entradas acima do pivô , subtraindo de l1 múltiplos de l2. Faça l1 \u2190 l1\u2212 3l2
obtendo:
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2 6 0 0 12
0 0 1 0 \u22122
0 0 0 1 \u22122
0 0 0 0 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb.
2.5. RESOLVENDO SISTEMAS LINEARES 45
(b) Início do terceiro laço. k \u2190 1.
\u2022 Divida l1 pelo seu pivô 2 obtendo:
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 3 0 0 6
0 0 1 0 \u22122
0 0 0 1 \u22122
0 0 0 0 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb.
\u2022 Anule as entradas acima do pivô 1. Não tem nada a fazer (nenhuma linha está acima
da primeira).
(b) Fim do laço pois k = 1. Fim da Parte II: a matriz está totalmente escalonada.
Observação 2.12 (Software Algébrico) Com auxílio do Software Maxima (que pode
ser obtido livremente na Internet) podemos, entre outras coisas, escalonar matrizes. Este
exemplo pode ser reproduzido no Maxima entrando com a matriz com o comando M:
matrix([2,6,3,1,4], [2,6,3,-2,10], [-4,-12,-7,0,-10],[6,18,11,0,14]) ;
e calculando a forma escalonada com echelon(M);
2.5.2 Análise Pós-Escalonamento
Para analisar o sistema após o escalonamento, introduzimos a seguinte notação para elementos
da matriz:
{
0 \u2212 zero; \u2212 não-zero;
1 \u2212 um; ? \u2212 qualquer número. .
Teorema 2.15 (existência e unicidade pela forma totalmente escalonada) Através
da forma totalmente escalonada da matriz aumentada de um sistema determinamos se
ele possui solução e, caso possua, se ela é única. Após o descarte de linhas nulas, se estiver
na:
\u2022 1o forma:
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
? ? · · · ? ?
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
? ? · · · ? ?
0 0 · · · 0 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb \ufffd sistema sem solução.
\u2022 2o forma:
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 0 · · · 0 ?
0 1 · · · 0 ?
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 · · · 1 ?
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb \ufffd sistema com solução única.
\u2022 3o forma: nenhuma das anteriores \ufffd sistema com in\ufb01nitas soluções.
Prova: 1
o
forma: A última linha do sistema corresponde a equação 0x1+0x2+· · ·+0xn = 1.
Como 0 = 1 não será verdade nunca, o conjunto-solução é vazio.
2
o
forma: O sistema correspondente é
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
x1 = ?
x2 = ?
.
.
.
.
.
.
xn = ?
. O conjunto-solução é {(?, ?, . . . , ?)}.
3
o
forma: Será provado no Teorema 2.18 da p.48.
Exemplo 2.24 Determine se o sistema é sem solução, com solução única ou com in\ufb01nitas
soluções:
46 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR
(a)
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 0 0 0 7
0 1 0 0 \u22124
0 0 1 0 \u22123
0 0 0 1 13
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb; (b)
\uf8ee\uf8f0 1 0 00 1 0
0 0 1
\uf8f9\uf8fb
; (c)
\uf8ee\uf8f0 1 2 0 0 0 \u221210 0 1 0 0 3
0 0 0 0 1 2
\uf8f9\uf8fb
;
(d)
\uf8ee\uf8f0 1 \u22123 0 5 00 0 1 2 0
0 0 0 0 1
\uf8f9\uf8fb
; (e)
\uf8ee\uf8f0 1 0 0 \u221220 1 0 0
0 0 1 11
\uf8f9\uf8fb
; (f)
[
1 0 0 \u22122
0 1 2 0
]
.
Solução: (a) solução única; (b) sem solução; (c) in\ufb01nitas soluções; (d) sem solução; (e)
solução única; (f) in\ufb01nitas soluções;
Corolário 2.16 (existência e unicidade pela forma escalonada) Através da forma es-
calonada da matriz aumentada de um sistema determinamos se o sistema possui solução e,
caso possua, se ela é única. Após o descarte de linhas nulas, se estiver na:
\u2022 1o forma:
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
? ? · · · ? ?
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
? ? · · · ? ?
0 0 · · · 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb \ufffd sistema sem solução.
\u2022 2o forma:
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
? · · · ? ?
0 · · · ? ?
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 · · · ?
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb \ufffd sistema com solução única.
\u2022 3o forma: nenhuma das anteriores \ufffd sistema com in\ufb01nitas soluções.
Prova: 1
o
forma: A última linha do sistema corresponde a equação 0x1 +0x2 + · · ·+0xn =
0 = k 6= 0. Como 0 6= 0 não será verdade nunca, o conjunto-solução é vazio.
2
o
forma: Fazendo a segunda parte do escalonamento obtemos uma matriz como na
segunda forma do Teorema 2.15 da p.45. Segue o resultado.
3
o
forma: Será provado no Teorema 2.18 da p.48.
Exemplo 2.25 Determine se o sistema é sem solução, com solução única ou com in\ufb01nitas
soluções:
(a)
\uf8ee\uf8f0 13 2 0 \u22126 330 10\u22127 2 9 1
0 0 0 3 0
\uf8f9\uf8fb
; (b)
\uf8ee\uf8f0 0 \u22123 0 \u22121 60 0 0 \u221api 9
0 0 0 0 311
\uf8f9\uf8fb
;
(c)
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2 2 \u22128 12 0
0 e3 11 1 1
2
0 0 log(3) 2 0
0 0 0 77 \u22123
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb; (d)
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2 2 \u22128 12 0
0 \u22123 11 1 1
2
0 0 \u22122 2 0
0 0 0 0 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb.
Solução: (a) com in\ufb01nitas soluções; (b) sem solução; (c) com solução única pois todos os
números 2, e3, log(3), 77 são não-nulos; (d) com in\ufb01nitas soluções.
Concluímos que não precisamos fazer a forma totalmente escalonada para determinar se
um sistema possui solução e se ela é única: para isto basta a forma escalonada. Mas,
para calcular a solução, recomendamos fortemente que se escalone totalmente a matriz
ao invés de se fazer a substituição para trás na matriz escalonada. A prática mostra que
se reduzem erros numéricos desta forma.
2.5. RESOLVENDO SISTEMAS LINEARES 47
Portanto, use a forma escalonada somente para decidir se o sistema possui solução: não
use-o para calculá-la.
Em resumo, o conjunto-solução de um sistema linear de equações tem sempre:
\u2022 ou uma única solução;
\u2022 ou nenhuma solução;
\u2022 ou in\ufb01nitas soluções.
Exemplo 2.26 (sistemas não lineares) Num sistema não-linear com 2 equações \ufffd que
correspondem a duas curvas no plano (ao invés de 2 retas) \ufffd podemos ter, além das opções
acima, um número \ufb01nito de soluções maior que um.
(a) O sistema
{
y \u2212 x2 = 0
y = 4
possui duas soluções: (2, 4) e (\u22122, 4).
(b) O