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sistema representado na Figura 2.8 possui 5 soluções.

Figura 2.8: Sistema Não-linear

2.5.3 Sistemas com Infinitas Soluções

Definição 2.17 (variável dependente e independente (ou livre)) Considere a matriz

aumentada, totalmente escalonada, de um sistema linear. A cada coluna, exceto a última,

da matriz corresponde uma variável do sistema linear. Chamamos de variável dependente

aquela associada a coluna com pivô. Chamamos de variável independente ou variável

livre

1

aquelas que não são dependentes.

Observação 2.13 É utilizado como sinônimo de variável dependente o termo variável

líder pois estão associadas a pivôs (líderes).

Dentro da prova do próximo Teorema apresentamos o algoritmo de solução de um sistema

linear. Sugerimos a leitura do Exemplo 2.27 da p.49 antes (e depois também!) de se dedicar

ao entendimento do próximo teorema.

1

O número de variáveis livres (e de variáveis dependentes) é uma propriedade do sistema de equações; a

lista das variáveis livres dependente de como foi escalonada a matriz ampliada. Não vamos provar este fato.

48 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR

Teorema 2.18 (Algoritmo para determinar conjunto-solução) O conjunto-solução S
(quando não-vazio) de um sistema linear é sempre a translação de um espaço gerado. Mais

precisamente, existe q ∈ N e v0 ∈ Rn e um conjunto LI de vetores do Rn: {v1, . . . ,vq} tais
que

S = {v0 + t1v1 + · · ·+ tqvq, vi ∈ Rn, ti ∈ R},
ou, em termos de espaço gerado,

S = v0 + 〈v1, . . . ,vq〉 .

Prova: Escalone totalmente a matriz aumentada do sistema.

Se a solução for única tome q = 0 e v0 a solução única.

Se tiver infinitas soluções tome q igual ao número de variáveis livres e siga o seguinte
algoritmo:

Algoritmo de Solução de Sistemas com Infinitas Soluções:

(a) Após o escalonamento total do sistema, atribua a cada variável livre, um parâme-

tro, denotado por t1, t2, . . . , tq, que pode assumir qualquer valor.

(b) Considere o sistema nas variáveis livres obtido após eliminar linhas nulas e passe os

parâmetros para o lado direito do sistema. Este será da forma


1 0 · · · 0 ?
0 1 · · · 0 ?
.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 · · · 1 ?

,
onde cada ? é da forma ? + t1 ? + · · · + tq? (constante mais combinação linear
dos parâmetros t1, . . . , tq). Assim o sistema possui solução única em função dos
parâmetros t1, t2, . . . , tq.

(c) Cada entrada do vetor solução x é igual a um dos parâmetros, caso seja variável
livre, ou igual a constante mais combinação linear dos parâmetros t1, . . . , tq, caso
seja variável dependente. Logo x = v0 + t1v1 + · · ·+ tqvq para vi ∈ Rn.

Deixamos para o leitor provar que os vetores obtidos na parametrização são LIs pois a

matriz está na forma totalmente escalonada e o pivô é o único elemento não nulo da coluna.

Observação 2.14 Resolver um sistema linear pelo método de eliminação de Gauss sig-

nifica obter esta parametrização do conjunto-solução S de forma explícita: determinar
quantos parâmetros q são necessários e quais são os vetores v0,v1,v2, . . . ,vq.
Podemos classificar geometricamente S de acordo com o valor de q: ponto (q = 0
parâmetros), reta (q = 1 parâmetro), plano (q = 2 parâmetros), etc.
Alguns livros chamam o número de variáveis livres, que é igual ao número de parâ-

metros, de grau de liberdade ou grau de indeterminação do sistema linear.

2.5. RESOLVENDO SISTEMAS LINEARES 49

Observação 2.15 Após o escalonamento total de um sistema obtemos uma matriz com

n+1 colunas (correspondendo ao total de n variáveis) e p linhas não-nulas, correspondendo
ao número de pivôs ou de equações efetivas (as equações 0 = 0 não são efetivas, pois
podem ser eliminadas sem modificar o conjunto-solução) ou variáveis dependentes após o

escalonamento.

Em resumo temos que:

n = no total de variáveis,
p = no de equações efetivas = no de linhas não-nulas = no de pivôs = no de variáveis
dependentes,

n− p = q = no de variáveis livres ou independentes = no de parâmetros.

Exemplo 2.27 Determine o conjunto solução do sistema: 1 −3 0 5 0 40 0 1 2 0 0
0 0 0 0 1 −2

 .
Solução: Como as colunas com pivô são 1, 3, 5, são 3 variáveis dependentes: x1, x3, x5. São
2 variáveis livres: x2 e x4. Introduzindo parâmetros r e s (mais conveniente que t1 e t2) e
atribuindo-os as variáveis livres obtemos que x2 = r e x4 = s.

O sistema pode ser reescrito como:


1x1 = 4 + 3r − 5s

1x3 = −2s
1x5 = −2
.

Agora este é um sistema em 3 variáveis: x1, x3 e x5 da forma:

 1 0 0 4 + 3r − 5s0 1 0 −2s
0 0 1 −2


Sabemos resolver esse sistema, que está no 1

◦
caso do Teorema 2.15 da p.45. Ele possui

solução única:

(x1, x3, x5) = (4 + 3r − 5s, −2s, −2). Como x2 = r e x4 = s, obtemos que
(x1, x2, x3, x4, x5) = (4 + 3r − 5s, r, −2s, s, −2) ou ainda:

{(4, 0, 0, 0,−2) + r(3, 1, 0, 0, 0) + s(−5, 0,−2, 1, 0) | r, s ∈ R}.
Na linguagem de espaço gerado, o conjunto-solução é o plano

(4, 0, 0, 0,−2) + 〈(3, 1, 0, 0, 0), (−5, 0,−2, 1, 0)〉 .
Neste exemplo o sistema possui um total de 5 variáveis e, por possuir 3 equações relacio-
nando-as, ficou com somente 5− 3 = 2 variáveis livres para assumir qualquer valor. A essas
duas variáveis (x2 e x4) foram atribuídos os dois parâmetros r, s e, utilizando as 3 equações
remanescentes do sistema foram obtidas soluções em função destes parâmetros.

Observação 2.16 Para o mesmo número total de variáveis, quanto maior o número de

linhas não-nulas (equações efetivas) no sistema escalonado menor o número de variáveis

livres.

Zerar uma linha reduz o número efetivo de equações do sistema. Isto significa que a

equação era combinação linear das outras, sendo, portanto, redundante para a resolução

do sistema.

Observação 2.17 (Software Algébrico) Com auxílio do Software Maxima pode-se re-

solver sistemas com linsolve([x-3*y+5*w=4, z+2*w=0, a=-2], [x,y,z,w,a]);

50 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR

Exemplo 2.28 Resolva o sistema:
0 1 2 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 3 4
0 0 0 0 1 0 0 −1
0 0 0 0 0 1 3 2

 .
Solução: Como as colunas com pivô são 2, 4, 5, 6, são 4 variáveis dependentes: x2, x4, x5, x6.
São 3 variáveis livres: x1, x3, x7. Introduzindo parâmetros r, s, t (mais conveniente que t1, t2
e t3) e atribuindo-os as variáveis livres obtemos que x1 = r, x3 = s, x7 = t. Das equações
obtemos que x2 = −2x3 + x7 = −2s+ t, x4 = 4− 3x7 = 4− 3t, x5 = −1, x6 = 2− 3x7 =
2 − 3t. Portanto (x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7) = (r, −2s + t, s, 4 − 3t, −1, 2 − 3t, t), ou
ainda, o conjunto-solução é

{(0, 0, 0, 4,−1, 2, 0) + r(1, 0, 0, 0, 0, 0, 0) + s(0,−2, 1, 0, 0, 0, 0) + t(0, 1, 0,−3, 0,−3, 1)},

com r, s, t ∈ R. Na linguagem do Capítulo 1, o conjunto-solução é

(0, 0, 0, 4,−1, 2, 0) + 〈(1, 0, 0, 0, 0, 0, 0), (0,−2, 1, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0,−3, 0,−3, 1)〉 .

Exemplo 2.29 Considere o sistema[
0 1 3 0 −7
0 0 0 1 4

]
.

(a) Determine o conjunto solução; (b) Determine soluções particulares.

Solução: (a) Como as colunas com pivô são 2, 4, são 2 variáveis dependentes: x2, x4. São
2 variáveis livres: x1, x3.
Introduzindo parâmetros r, s e atribuindo-os as variáveis livres obtemos que x1 = r e

x3 = s. Das equações obtemos que x2 = −7 − 3x3 = −7 − 3s e x4 = 4. Portanto
(x1, x2, x3, x4) = (r, −7 − 3s, s, 4), ou ainda, o conjunto-solução é {(0,−7, 0, 4) +
r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r, s ∈ R}. Na linguagem do Capítulo 1, o conjunto-solução
é o plano (0,−7, 0, 4) + 〈(1, 0, 0, 0), (0,−3, 1, 0)〉.
(b) Obtemos soluções particulares fazendo variar os parâmetros r, s. Por exemplo, to-
mando r = 0 e s = 0, obtemos a solução (0,−7, 0, 4) + 0(1, 0, 0, 0) + 0(0,−3, 1, 0) =
(0,−7, 0, 4). Obtemos outra solução tomando r = 3 e s = −2: (0,−7, 0, 4) + 3(1, 0, 0, 0)−
2(0,−3, 1, 0) = (3,−1,−2, 4). Podemos obter infinitas soluções pois para cada escolha de
valores para os parâmetros r e s, uma nova solução é gerada.

Exemplo 2.30 Considere os planos Π1 = {(1,−2, 1) + s(1, 1,