livro-ALGLIN
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Disciplina:Álgebra Linear II693 materiais7.563 seguidores
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1) + t(−1, 1, 0)| s, t ∈ R} e
Π2 = {(3, 2, 1) + s(2, 1, 1) + t(1, 1, 2)| s, t ∈ R}. Determine Π1 ∩ Π2.

Solução: Queremos saber se existem s, t, u, v ∈ R (note que trocamos os parâmetros do
segundo plano) tais que (1,−2, 1) + s(1, 1, 1) + t(−1, 1, 0) = (3, 2, 1) +u(2, 1, 1) + v(1, 1, 2),
ou seja, s(1, 1, 1) + t(−1, 1, 0) + u(−2,−1,−1) + v(−1,−1,−2) = (2, 4, 0), ou seja,
Precisamos resolver o sistema (3 equações, 4 variáveis): 1 −1 −2 −11 1 −1 −1

1 0 −1 −2



s
t
u
v

 =
 24

0

 .

2.5. RESOLVENDO SISTEMAS LINEARES 51

Assim precisamos escalonar a matriz

 1 −1 −2 −1 21 1 −1 −1 4
1 0 −1 −2 0


. Escalonando totalmente

(verifique!) obtemos

 1 0 0 −4 −60 1 0 1 4
0 0 1 −2 −6


. Assim tomando v como parâmetro livre, ob-

temos que (s, t, u, v) = (4v − 6, 4 − v, 2v − 6, v). Em termos de pontos do plano, como
Π1 = (1,−2, 1) + s(1, 1, 1) + t(−1, 1, 0), a interseção é a reta
{(1,−2, 1) + (4v − 6)(1, 1, 1) + (4− v)(−1, 1, 0)| v ∈ R}. Outra possibilidade é utilizar a
equação de Π2 = (3, 2, 1) + u(2, 1, 1) + v(1, 1, 2) e dar como solução
{(3, 2, 1) + (2v − 6)(2, 1, 1) + v(1, 1, 2)| v ∈ R}. Pode-se verificar que nos dois casos chega-
mos na mesma resposta: {(−9,−4,−5) + v(5, 3, 4)| v ∈ R}.
Exemplo 2.31 Seja Π1 = (−1, 0,−2, 1)+〈(1, 3, 4, 1), (2,−1, 2, 1)〉. Determine a interseção
de Π1 com
(a) Π2 = 〈(2, 1, 1, 2)〉.
(b) Π3 = (1, 0, 2, 1) + 〈(−1,−1,−1,−1), (0, 3, 1, 1), (−1, 0, 1, 2)〉
(c) Π4 o conjunto dos pontos (x, y, z, w) ∈ R4 tais que

{
x− 2y + w = 0

2x− y + z + w = 0 (Π4 é o
conjunto-solução deste sistema).

Solução: Em eqs paramétricas Π1 = (−1, 0,−2, 1)+s(1, 3, 4, 1)+t(2,−1, 2, 1) com s, t ∈ R.
(a) Como Π2 = u(2, 1, 1, 2) (note que usamos parâmetro u, distinto de s, t!), queremos
saber se existem s, t, u ∈ R tais que (−1, 0,−2, 1)+s(1, 3, 4, 1)+t(2,−1, 2, 1) = u(2, 1, 1, 2).
Precisamos (faça as contas!) resolver o sistema (4 equações, 3 variáveis)

1 2 −2
3 −1 −1
4 2 −1
1 1 −2


 st
u

 =


1
0
2
−1

 .
Escalonando (verifique!) vamos concluir que o sistema não possui solução. Concluímos

que a interseção é vazia: Π1 ∩ Π2 = ∅.
(b) Como Π3 = (1, 0, 2, 1)+u(−1,−1,−1,−1)+v(0, 3, 1, 1)+x(−1, 0, 1, 2) (novamente
utilizamos parâmetros distintos dos utilizados na parametrização de Π1), precisamos resolver
(verifique!) o sistema (4 equações, 5 variáveis)

1 2 1 0 1
3 −1 1 −3 0
4 2 1 −1 −1
1 1 1 −1 −2



s
t
u
v
x

 =


2
0
4
0

 .
Resolvendo (utilizamos linsolve no Maxima) obtemos que conjunto solução é uma reta.

Parametrizando a reta por k ∈ R, s = 2− 4k, t = 11k− 2, u = 4− 19k, v = 4− 14k, x = k.
Substituindo na equação paramétrica de Π1 (poderíamos substituir também na de Π3 e
obteríamos o mesmo resultado � verifique!) obtemos que a interseção é

(−1, 0,−2, 1)+(2−4k)(1, 3, 4, 1)+(11k−2)(2,−1, 2, 1) = (−3, 8, 2, 1)+k(18, −23, 6, 7)
para k ∈ R. Assim Π1 ∩ Π3 = (−3, 8, 2, 1) + 〈(18, −23, 6, 7)〉.
(c) Como x = −1 + s+ 2t, y = 3s− t, z = −2 + 4s+ 2t, w = 1 + s+ t, e (verifique!)

0 = x−2y+w = −4s+ 5t e 0 = 2x−y+ z+w = −3 + 4s+ 8t, devemos resolver o sistema{ −4s+ 5t = 0
−3 + 4s+ 8t = 0 . Resolvendo obtemos a solução s0 =

15

52
e t0 =

3

13
. Assim a

interseção de Π1 com Π4 é o ponto (x, y, z, w) ∈ R4 com x = −1 + s0 + 2t0, y = 3s0 − t0,

52 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR

z = −2 + 4s0 + 2t0, w = 1 + s0 + t0.

Exemplo 2.32 Seja Y o conjunto dos pontos (x, y, z, w, k) ∈ R5 tais que
{
x− w + k = 2
x− y + z = 1
e Z o conjunto dos pontos (x, y, z, w, k) ∈ R5 tais que

{
w − k = 0
x+ z = 0
. Determine Y ∩ Z.

Solução: Pontos na interseção vão satisfazer os dois sistemas simultanemante. Assim

temos que resolver o sistema


x− w + k = 2
x− y + z = 1

w − k = 0
x+ z = 0

. Escalonando obtemos que a solução é a

reta (x, y, z, w, k) = (2,−1,−2, 0, 0) + t(0, 0, 0, 1, 1) para t ∈ R.
Logo Y ∩ Z = (2,−1,−2, 0, 0) + 〈(0, 0, 0, 1, 1)〉.

Exemplo 2.33 Determine se é ponto, reta ou plano o conjunto solução de cada um dos

sistemas abaixo, dados por sua matriz aumentada já escalonada:

(a)

 1 2 3 4 4 20 0 1 2 1 −1
0 0 0 1 2 1


(b)

 1 3 2 −1 20 0 7 0 −1
0 0 0 5 9


(c)


2 3 −2 4 2
0 5 2 1 0
0 0 2 −3 −1
0 0 0 2 0


(b)

Solução: (a) 5 variáveis e 3 equações: é um plano (5−3 = 2). (b) 4 variáveis e 3 equações:
é uma reta (4− 3 = 1). (c) 4 variáveis e 4 equações: é um ponto (4− 4 = 0).

Exemplo 2.34 Determine um sistema linear cujo conjunto solução seja igual:

(a) a (1, 0, 2, 1) + 〈(2,−1, 2, 1), (1, 3, 4, 1)〉.
(b) ao plano que passa por (1,−1, 0, 2), (2, 0, 1, 0) e (2, 1, 2, 3).
(c) à reta que passa por (1, 2, 1, 2, 2) e (2, 1, 3, 4,−1).

Solução: (a) Temos que (x, y, z, w) = (1, 0, 2, 1) + s(2,−1, 2, 1) + t(1, 3, 4, 1). Assim
x = 1 + 2s + t e y = −s + 3t. Resolvendo (para s, t) obtemos que 7s = −y + 3x − 3 e
7t = 2y + x− 1. Como z = 2 + 2s + 4t e w = 1 + s + t, substituindo s, t como função de
x, y obtemos o sistema

{
z = 2 + 2(−y + 3x− 3)/7 + 4(2y + x− 1)/7

w = 1 + (−y + 3x− 3 + 2y + x− 1)/7
(b) O plano é (porque?) (1,−1, 0, 2) + 〈(1, 1, 1,−2), (1, 2, 2, 1)〉. Logo (x, y, z, w) =

(1,−1, 0, 2) + s(1, 1, 1,−2) + t(1, 2, 2, 1) .
Assim x = 1 + s + t e y = −1 + s + 2t. Resolvendo (para s, t) obtemos que (com Maxima:
linsolve([x=1+s+t, y=-1+s+2*t],[s,t]);) s = −y + 2x − 3,t = y − x + 2. Como
z = s + 2t e w = 2 − 2s + t, substituindo s, t como função de x, y obtemos o sistema{

z = −y + 2x− 3 + 2(y − x+ 2)
w = 2− 2(−y + 2x− 3) + y − x+ 2
(c) A reta é (porque?) (1, 2, 1, 2, 2) + 〈(1,−1, 2, 2,−3)〉.
Logo (x, y, z, w, k) = (1, 2, 1, 2, 2) + t(1,−1, 2, 2,−3). Assim x = 1 + t. Logo t = x − 1.

Substituindo nas outras equações vamos obter o sistema


y = 2− 1(x− 1)
z = 1 + 2(x− 1)
w = 2 + 2(x− 1)
k = 2− 3(x− 1)
.

2.6. PRODUTO MATRIZ-VETOR 53

2.6 Produto Matriz-Vetor

Podemos ver uma matriz como um conjunto de vetores dispostos em colunas ou linhas.

Assim, dado A ∈ Mm×n, pensando em colunas, A é composto de n vetores-coluna, cada
vetor vi ∈ Rm:

A =

 ↑v1
↓
· · ·

↑
vn
↓

 .
Pensando em linhas, A é composto de m vetores-linha, cada vetor ui ∈ Rn:

A =

 ← u1 →..
.

← um →

 .
Esta visão de matrizes é muito importante, entre outras razões, pois as operações de soma

e produto de matrizes, incluindo o produto matriz-vetor, são mais fáceis (e naturais) de serem

definidas utilizando este ponto de vista. Vamos utilizar bastante no livro este ponto de vista.

Ela é generalizada pela visão de matriz em blocos apresentada na Seção 4.6 da p.118.

Definição 2.19 (produto matriz-vetor) Seja A =

 ↑v1
↓
· · ·

↑
vn
↓

 ∈ Mm×n e x =
x1
x2
.

.

.

xn

 ∈ Rn. Definimos Ax ∈ Rm, o produto da matriz A pelo vetor x, por

Ax =
n∑
i=1

xivi.

Portanto o produto matriz-vetor é a combinação linear das colunas da matriz com coefi-

cientes dados pelas entradas do vetor.

Mais explicitamente, se A =


a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

am1 am2 · · · amn

 então

Ax =
n∑
i=1

xivi = x1


a11
a21
.

.

.

am1


︸ ︷︷ ︸

v1

+x2


a12
a22
.

.

.

am2


︸ ︷︷ ︸

v2

+ · · ·+ xn


a1n
a2n
.

.

.

amn


︸ ︷︷ ︸

vn

.

Assim

Ax =


a11 x1 + a12 x2 · · · + a1n xn
a21 x1 + a22 x2 · · · + a2n xn
.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

am1 x1 + am2 x2 · · · + amn xn

 .

54 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR

Isto pode ser representado pelo esquema:

Ax =

 ↑v1
↓
· · ·

↑
vn
↓


 x1..
.

xn

 =
  ··

·

 = n∑
j=1

xjvj.

Lema 2.20 (linearidade do produto matriz-vetor) Dados uma matriz A, vetores u,v ∈
Rn e escalar k, A(u + kv) = Au + kAv.

Prova: Basta escrever as entradas dos vetores u,v