livro-ALGLIN
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Disciplina:Álgebra Linear II693 materiais7.563 seguidores
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e aplicar a definição do produto matriz-
vetor como combinação linear das colunas da matriz. Deixamos detalhes para o leitor.

Vamos recordar o produto escalar entre dois vetores. Retomaremos este assunto bem mais

adiante no texto (veja Definição 5.1 da p.137).

Definição 2.21 (produto escalar ou interno) Dados dois vetores u = (u1, . . . , un),v =
(v1, . . . , vn) ∈ Rn denotamos o produto escalar (ou produto interno) entre eles por u ·v,
um número definido por

u · v =
n∑
i=1

uivi.

Se u · v = 0 dizemos que u e v são perpendiculares entre si.

Exemplo 2.35 Sejam u = (1,−2,−3, 4, 5),v = (−1, 2,−1, 3, 0) ∈ R5. Então

u · v = (1)(−1) + (−2)(2) + (−3)(−1) + (4)(3) + (5)(0) = (−1) + (−4) + (3) + (12) = 10.

Lema 2.22 (interpretação do produto matriz-vetor) Seja A =

 ← u1 →..
.

← um →

 ∈
Mm×n e x ∈ Rn. Então

Ax =

 u1 · x..
.

um · x

 .
Portanto cada entrada do produto matriz-vetor é o produto escalar entre cada linha da

matriz e x.

Prova: Basta explicitar em termos de coeficientes (aij) da matriz e do vetor w = (wi). Ver
Exemplo 4.4 da p.93. Deixamos detalhes para o leitor.

Isto pode ser representado pelo esquema:

Ax =

 ← u1 →..
.

← um →


 ↑x
↓

 =
   =

 u1 · x..
.

um · x

 =
 b1..
.

bm

 = b.

2.7. SISTEMAS HOMOGÊNEOS, SOLUÇÃO GERAL E PARTICULAR 55

2.7 Sistemas Homogêneos, Solução Geral e Particular

Definição 2.23 (Sistema homogêneo) é um sistema cujo lado direito é todo igual a zero:
a11x1 +a12x2 · · · +a1nxn = 0
a21x1 +a22x2 · · · +a2nxn = 0
.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

am1x1 +am2x2 · · · +amnxn = 0
.

Definição 2.24 (solução trivial) O vetor nulo (0, 0, . . . , 0) é sempre solução do sistema
homogêneo. Esta solução é chamada solução trivial.

Num sistema homogêneo o lado direito de zeros é preservado por operações elementares: ? · · · ? 0..
.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

? · · · ? 0

 ∼
 ? · · · ? 0..
.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

? · · · ? 0

 .
Por isso a forma escalonada de um sistema homogêneo não possui linha da forma[

0 · · · 0 ]. Isto implica que um sistema homogêneo sempre possui solução. Mais
ainda, num sistema homogêneo com n variáveis, o número de pivôs p (equações efetivas)
após o escalonamento determina se a solução é única:

(a) p = n ⇒ solução única (apenas a trivial);
(b) p < n ⇒ infinitas soluções, (n− p) variáveis livres.

Definição 2.25 (solução geral e particular) Considere o sistema Ax = b.
Chamamos de solução geral seu conjunto-solução S.
Chamamos de solução particular um elemento v0 ∈ S qualquer.
Chamamos de solução do sistema homogêneo associado o conjunto-solução do sis-

tema Ax = 0.

Definição 2.26 (núcleo) Dada uma matriz A chamamos de núcleo de A, denotado por
Nuc(A), o conjunto-solução do sistema Ax = 0.

Exemplo 2.36 Vamos ver a relação entre soluções de um sistema não-homogêneo e do

sistema homogêneo associado. Considere o sistema não-homogêneo:[
0 1 3 0 −7
0 0 0 1 4

]
.

Este sistema foi resolvido no Exemplo 2.29 da p.50 e o conjunto-solução é

{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r, s ∈ R}. Na linguagem do Capítulo 1, o
conjunto-solução é o plano

(0,−7, 0, 4) + 〈(1, 0, 0, 0), (0,−3, 1, 0)〉 .

Considere o sistema homogêneo associado:[
0 1 3 0 0
0 0 0 1 0

]
.

56 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR

Resolvendo-o de forma análoga, obtemos o conjunto-solução

{r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r, s ∈ R}. Na linguagem do Capítulo 1, o conjunto-solução é
o plano

〈(1, 0, 0, 0), (0,−3, 1, 0)〉 .
Note que o conjunto-solução do sistema não-homogêneo e do homogêneo associado dife-

rem somente pelo vetor (0,−7, 0, 4), que é uma solução particular (dentre as infinitas soluções)
do sistema não-homogêneo.

Teorema 2.27 (solução geral de sistema) Seja S o conjunto-solução (solução geral) do
sistema não-homogêneo e V o conjunto-solução do sistema homogêneo associado. Se S 6= ∅,
então existe uma solução particular (do sistema não-homogêneo) v0 ∈ S e S = v0 + V .

Prova: Seja S 6= ∅ a solução geral do sistema não-homogêneo Ax = b e v0 ∈ S solução
particular qualquer do sistema não-homogêneo. Seja V o conjunto-solução do sistema homo-
gêneo associado Ax = 0. Queremos provar que S = v0 + V . Para isto basta provar que
v0 + V ⊂ S e que S ⊂ v0 + V .
Vamos provar que v0 + V ⊂ S. Dado v ∈ V qualquer, queremos provar que v0 + v ∈ S,
ou seja, que A(v0 + v) = b. De fato, pelo Lema 2.20 da p.54 (linearidade do produto matriz
vetor) A(v0 + v) = Av0 + Av = b + 0 = b.
Vamos provar que S ⊂ w0+V . Dado w ∈ S qualquer, queremos provar que w ∈ v0+V .
Novamente pelo Lema 2.20 da p.54 A(w− v0) = Aw−Av0 = b− b = 0. Concluímos que
w − v0 ∈ V e portanto w ∈ v0 + V .
A solução geral (se não-vazia) do sistema Ax = b é da forma v0 + V , soma de uma
solução particular com uma solução do sistema homogêneo associado Ax = 0.
Assim são equivalentes:

(a) o sistema possui solução única (igual a v0);
(b) o sistema homogêneo associado possui solução única (a trivial);

(c) Nuc(A) = 0.

2.8 Interpretação de Sistemas em Rn

Para interpretar precisamos da definição de hiperplano, que generaliza retas no R2 e planos
no R3.

Definição 2.28 (hiperplano) Um hiperplano em Rn é a translação de um espaço gerado
de dimensão n− 1.

Exemplo 2.37 São hiperplanos:

(a) Uma reta em R2 (translação de um espaço gerado de dimensão 2− 1 = 1);
(b) Um plano em R3 (translação de um espaço gerado de dimensão 3− 1 = 2);
(c) Em R4 a translação de um espaço gerado de dimensão 4− 1 = 3 é um hiperplano.

Lema 2.29 (geometria da equação do hiperplano) Dado u 6= 0, o conjunto-solução
H da equação u · x = b ∈ R é um hiperplano.
Mais precisamente, se V é o conjunto dos vetores perpendiculares a u então existe v0 ∈ H
tal que H = v0 + V .

2.8. INTERPRETAÇÃO DE SISTEMAS EM RN 57

Prova: Como 0 6= u = (a1, . . . , an) ∈ Rn, um dos ak 6= 0. Logo é solução particular da
equação v0 = (x1, . . . , xn) com xk =

b
ak
e xj = 0 para j 6= k. Considere V o conjunto-
solução do sistema homogêneo associado u · y = 0. Note que V é o conjunto dos vetores
perpendiculares a u. Como este é um sistema escalonado com 1 equação não-nula e n
variáveis, são q = n−1 variáveis livres. Pelo Teorema 2.18 da p.48 V é gerado por q = n−1
vetores LIs, ou seja, tem dimensão n − 1. Pelo Teorema 2.27 da p.56, H = v0 + V , a
translação de um espaço gerado de dimensão n− 1.

Exemplo 2.38 Mostre que {(x, y, z, w, u) ∈ R5| x− 2y + 3z + w − u = 4} é um hiperplano.

Solução: Podemos escrever que x = 2y−3z−w+u+4. Introduzindo quatro parâmetros t1 =
y, t2 = z, t3 = w e t4 = u, obtemos que x = 2t1−3t2−t3+t4+4. Portanto (x, y, z, w, u) =
(4, 0, 0, 0, 0) + t1(2, 1, 0, 0, 0) + t2(−3, 0, 1, 0, 0) + t3(−1, 0, 0, 1, 0) + t4(1, 0, 0, 0, 1). Trata-se
da translação de um espaço gerado de dimensão 4 em R5, isto é, um hiperplano em R5.
Vamos relacionar a operação de produto matriz-vetor com sistemas lineares. Considere o

sistema 
a11 x1 + a12 x2 · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 · · · + a2n xn = b2
.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

am1 x1 + am2 x2 · · · + amn xn = bm
.

Definimos x =

 x1..
.

xn

, b =
 b1..
.

bm

 e a matriz A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

am1 am2 · · · amn

. Sabemos
da Definição 2.19 da p.53 do produto matriz-vetor que podemos escrever este sistema como

Ax = b.

As duas interpretações do produto matriz-vetor (combinação linear de colunas e produto

escalar com linhas) implicarão em duas interpretações para o conjunto-solução do sistema

linear (interseção de hiperplanos e b ∈ espaço gerado pelas colunas):

(a) (produto escalar com linhas → interseção de hiperplanos)

Se A =

 ← u1 →..
.

← um →

 (cada linha