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Disciplina:Álgebra Linear II693 materiais7.563 seguidores
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é um vetor), pelo Lema 2.22 da p.54 o sistema

Ax = b pode ser rescrito como:


u1 · x = b1
u2 · x = b2
.

.

.

.

.

.

um · x = bm
. Cada equação uj · x = bj

(supondo uj 6= 0) representa um hiperplano Hj (translação de um espaço gerado de
dimensão n−1 em Rn). O conjunto-solução S do sistema linear é igual a interseção de
todos estes hiperplanos: S =

m⋂
j=1

Hj, Esta interpretação é geométrica. Fizemos isto

em R2 e R3 na Seção 2.3 da p.31: Em R2 interseção de retas (hiperplanos em R2); em
R3 interseção de planos (hiperplanos em R3).

58 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR

A intuição geométrica garante que, de forma geral, tanto a interseção de duas retas

no plano quanto a interseção de três planos em R3 é um único ponto. Mas como
visualizar que, de forma geral, a interseção de 4 hiperplanos em R4 é um único ponto?
Para entender sistemas com muitas equações devemos nos libertar desta interpretação

geométrica, que não pode ser experimentada em dimensão maior que 3, em favor da
próxima interpretação.

(b) (combinação linear das colunas → b ∈ espaço gerado pelas colunas)

Se A =

 ↑v1
↓
· · ·

↑
vn
↓


(cada coluna é um vetor), pela Definição 2.19 da p.53 o

sistema Ax = b pode ser rescrito como: Ax = b =
∑n

1 xjvj.

O sistema terá solução se o vetor b for combinação linear dos vetores coluna da matriz,
isto é, se b =

∑n
1 xjvj para alguns xj ∈ R, ou seja, se b ∈ 〈v1, . . . ,vn〉. Pode
existir mais de uma combinação linear, isto é, o sistema pode ter mais de uma solução.

Por outro lado, se b 6∈ 〈v1, . . . ,vn〉, então o sistema não possuirá solução. Esta
interpretação é algébrica. É a interpretação mais importante no curso de Álgebra

Linear.

Podemos resumir da seguinte forma:

Sistema b =
∑
xjvj? ou b ∈ 〈v1, . . . ,vn〉?

⋂
Hj 6= ∅?
(interpretação algébrica) (interpretação geométrica)

sem solução não não

com solução única sim (única) sim (1 ponto)

com infinitas soluções sim (infinitas) sim (infinidade de pontos)

2.9 Exercícios de Sistemas Lineares

2.9.1 Exercícios de Fixação

Fix 2.1: Sem fazer contas,

2

determine se os sistemas abaixo possuem uma única, nenhuma

ou infinitas soluções.

(a)

{
x+ y = 1

2x+ 2y = 2
; (b)

{
x+ y = 1

2x− 3y = 2 ; (c)
{

x+ y = 1
2x+ 2y = 3

Fix 2.2:Considere as seguintes operações em um sistema linear de quatro equações:

(a) trocar duas equações;

(b) descartar uma equação;

(c) substituir a terceira equação pela soma da primeira com a segunda;

(d) substituir a quarta equação pela sua soma com um múltiplo da segunda;

(e) multiplicar uma equação por −1;
(f) multiplicar uma equação por 0.
As operações nunca alteram e as operações podem al-

terar o conjunto-solução do sistema.

1

Versão 23.ago.2012 22h

2

Por �sem fazer contas�, queremos dizer, neste e em outros exercícios, �sem fazer quaisquer contas que

não possam ser feitas mentalmente com facilidade�

2.9. EXERCÍCIOS DE SISTEMAS LINEARES 59

Fix 2.3:O conjunto-solução do sistema

{
x− 2y = 3
3x+ y = 1
(não resolva o sistema!) não se

altera se acrescentarmos a equação 2x+ 3y = .

Fix 2.4:Considere um triângulo ABC equilátero

(a) um sistema formado pelas três retas que contém os lados de ABC possui
(nenhuma; três; uma única; infinitas) solução(ções);

(b) um sistema formado por quaisquer duas destas retas possui (nenhuma; três;

uma única; infinitas) solução(ções).

Fix 2.5:Considere o paralelogramo ABCD (não-degenerado: todos os pontos são distintos
entre si) com lados paralelos AB e CD. Definimos quatro retas r, s, t, u de modo que: r
passa por A e B, s passa por B e C, t passa por A e C, u passa por A e D. Determine a
solução de cada um dos sistemas abaixo, onde representamos cada equação pela reta que ela

determina:

(a)

{
s
t
; (b)

{
u
s
; (c)


r
s
t
; (d)


r
t
u
.

Fix 2.6:Um dado comum é um cubo cujas 6 faces apresentam os números de 1 até 6,
distribuídos de forma que faces opostas somam sempre 7 (o 1 é oposto ao 6; o 2 oposto ao

5 e o 3 oposto ao 4). Vamos representar por �face 1� a equação do plano que contém a face

com o número 1, por �face 2� a equação do plano que contém a face com o número 2, etc.

Determine o número de soluções de cada um dos sistemas abaixo:

(a)

{
face2
face6
; (b)

{
face3
face4
; (c)


face1
face3
face5
; (d)


face3
face5
face6
; (e)


face1
face3
face6
;

Fix 2.7: Sem fazer contas, determine, se possível, a condição em ξ para que os sistemas
abaixo não possuam solução:

(a)

{ −x+ y = 3
2x− 2y = ξ ; (b)

{ −x+ y = 3
2x+ y = ξ
.

Fix 2.8:Determine se é verdadeiro ou falso:

(a) se durante o escalonamento uma linha ficar zerada então o sistema têm infinitas

soluções;

(b) um sistema homogêneo possui sempre solução;

(c) um sistema não-homogêneo não pode possuir infinitas soluções.

Fix 2.9:Determine se é verdadeiro ou falso:

(a) um sistema com 5 equações e 3 variáveis é sempre sem solução;

(b) um sistema com 3 equações e 5 variáveis possui infinitas soluções;

(c) um sistema homogêneo com 3 equações e 5 variáveis possui infinitas soluções;

(d) um sistema homogêneo com 5 equações e 9 variáveis possui pelo menos 4 variáveis

livres;

(e) um sistema homogêneo com 9 equações e 9 variáveis possui sempre solução única.

Fix 2.10: Sem fazer contas, discuta a existência e a unicidade de solução dos sistemas abaixo.

No caso de infinitas soluções, determine ainda o número de variáveis livres.

(a)


1 4 6 2
0 2 5 2
0 0 3 1
0 0 0 0

; (b)


1 4 6 2
0 2 5 2
0 0 3 1
0 0 0 1

; (c) [ 0 1 0 20 0 1 2
]
.

Fix 2.11:Em R5:

60 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR

(a) o conjunto-solução de um sistema linear pode ser visto como a (união;

interseção) de (retas; planos; hiperplanos);

(b) uma reta é um subespaço de dimensão ;

(c) um plano é um subespaço de dimensão ;

(d) um hiperplano é um subespaço de dimensão .

Fix 2.12:Considere o sistema:

Ax =

 ← u1 →..
.

← um →


 ↑x
↓

 =
 ↑v1
↓
· · ·

↑
vn
↓


 x1..
.

xn

 = b.
Defina Hj = {x ∈ Rn| uj · x = bj}.
(a) o sistema Ax = b possui solução se, e somente se,

m⋂
j=1

Hj (=, 6=) ∅;

(b) o sistema Ax = b possui solução se, e somente se, b (∈, 6∈) 〈v1, . . . ,vn〉;
Fix 2.13: Seja S 6= ∅ a solução geral de um sistema não-homogêneo com V o conjunto-
solução do sistema homogêneo associado. Escolha uma opção. É sempre verdade que:

(A) S = v0 + V com v0 ∈ V ; (B) S = v0 + V com v0 ∈ S;
(C) V = v0 + S com v0 ∈ S; (D) V = v0 + S com v0 ∈ V ;

2.9.2 Problemas

Prob 2.1:Para cada um dos sistemas abaixo interprete cada equação como uma reta em R2,
faça o gráfico e determine geometricamente o número de soluções:

(a)

{
x+ y = 3
x− y = 1 ; (b)

{
3x− y = 6

−6x+ 2y = 6 ;
Prob 2.2: Suponha que um sistema de três variáveis é composto de três equações. Em

R3 cada equação representa um plano. Qual a posição relativa destes três plano quando o
sistema:

(a) não possui solução? (b) possui exatamente uma solução? (c) possui infinitas soluções?

Prob 2.3:Para cada um dos itens abaixo, dê um exemplo de um sistema com as características

pedidas ou explique por que tal exemplo não pode existir:

(a) (n

o

equações) = (n

o

variáveis), infinitas soluções;

(b) (n

o

equações) < (n

o

variáveis), solução única;

(c) (n

o

equações) < (n

o

variáveis), nenhuma solução;

(d) (n

o

equações) > (n

o

variáveis), infinitas soluções;

Prob 2.4:Encontre a forma totalmente escalonada das matrizes abaixo:

(a)

 1 2 3 44 5 6 7
6 7 8 9


; (b)

 1 3 5 73 5 7 9
5 7 9 1


.

Prob 2.5:Resolva cada um dos sistemas abaixo:

(a)

 0 1 −2 0 00 0 0 1 0
0 0 0 0 1


; (b)

[
0 1 −2 0 0
0 0 0 1 0

]
;

(c)

 1 0 0 −10 1 0 3
0 0 1 2


; (d)