livro-ALGLIN
260 pág.

livro-ALGLIN


DisciplinaÁlgebra Linear II915 materiais8.026 seguidores
Pré-visualização50 páginas
é um vetor), pelo Lema 2.22 da p.54 o sistema
Ax = b pode ser rescrito como:
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
u1 · x = b1
u2 · x = b2
.
.
.
.
.
.
um · x = bm
. Cada equação uj · x = bj
(supondo uj 6= 0) representa um hiperplano Hj (translação de um espaço gerado de
dimensão n\u22121 em Rn). O conjunto-solução S do sistema linear é igual a interseção de
todos estes hiperplanos: S =
m\u22c2
j=1
Hj, Esta interpretação é geométrica. Fizemos isto
em R2 e R3 na Seção 2.3 da p.31: Em R2 interseção de retas (hiperplanos em R2); em
R3 interseção de planos (hiperplanos em R3).
58 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR
A intuição geométrica garante que, de forma geral, tanto a interseção de duas retas
no plano quanto a interseção de três planos em R3 é um único ponto. Mas como
visualizar que, de forma geral, a interseção de 4 hiperplanos em R4 é um único ponto?
Para entender sistemas com muitas equações devemos nos libertar desta interpretação
geométrica, que não pode ser experimentada em dimensão maior que 3, em favor da
próxima interpretação.
(b) (combinação linear das colunas \u2192 b \u2208 espaço gerado pelas colunas)
Se A =
\uf8ee\uf8f0 \u2191v1
\u2193
· · ·
\u2191
vn
\u2193
\uf8f9\uf8fb
(cada coluna é um vetor), pela De\ufb01nição 2.19 da p.53 o
sistema Ax = b pode ser rescrito como: Ax = b =
\u2211n
1 xjvj.
O sistema terá solução se o vetor b for combinação linear dos vetores coluna da matriz,
isto é, se b =
\u2211n
1 xjvj para alguns xj \u2208 R, ou seja, se b \u2208 \u3008v1, . . . ,vn\u3009. Pode
existir mais de uma combinação linear, isto é, o sistema pode ter mais de uma solução.
Por outro lado, se b 6\u2208 \u3008v1, . . . ,vn\u3009, então o sistema não possuirá solução. Esta
interpretação é algébrica. É a interpretação mais importante no curso de Álgebra
Linear.
Podemos resumir da seguinte forma:
Sistema b =
\u2211
xjvj? ou b \u2208 \u3008v1, . . . ,vn\u3009?
\u22c2
Hj 6= \u2205?
(interpretação algébrica) (interpretação geométrica)
sem solução não não
com solução única sim (única) sim (1 ponto)
com in\ufb01nitas soluções sim (in\ufb01nitas) sim (in\ufb01nidade de pontos)
2.9 Exercícios de Sistemas Lineares
2.9.1 Exercícios de Fixação
Fix 2.1: Sem fazer contas,
2
determine se os sistemas abaixo possuem uma única, nenhuma
ou in\ufb01nitas soluções.
(a)
{
x+ y = 1
2x+ 2y = 2
; (b)
{
x+ y = 1
2x\u2212 3y = 2 ; (c)
{
x+ y = 1
2x+ 2y = 3
Fix 2.2:Considere as seguintes operações em um sistema linear de quatro equações:
(a) trocar duas equações;
(b) descartar uma equação;
(c) substituir a terceira equação pela soma da primeira com a segunda;
(d) substituir a quarta equação pela sua soma com um múltiplo da segunda;
(e) multiplicar uma equação por \u22121;
(f) multiplicar uma equação por 0.
As operações nunca alteram e as operações podem al-
terar o conjunto-solução do sistema.
1
Versão 23.ago.2012 22h
2
Por \ufffdsem fazer contas\ufffd, queremos dizer, neste e em outros exercícios, \ufffdsem fazer quaisquer contas que
não possam ser feitas mentalmente com facilidade\ufffd
2.9. EXERCÍCIOS DE SISTEMAS LINEARES 59
Fix 2.3:O conjunto-solução do sistema
{
x\u2212 2y = 3
3x+ y = 1
(não resolva o sistema!) não se
altera se acrescentarmos a equação 2x+ 3y = .
Fix 2.4:Considere um triângulo ABC equilátero
(a) um sistema formado pelas três retas que contém os lados de ABC possui
(nenhuma; três; uma única; in\ufb01nitas) solução(ções);
(b) um sistema formado por quaisquer duas destas retas possui (nenhuma; três;
uma única; in\ufb01nitas) solução(ções).
Fix 2.5:Considere o paralelogramo ABCD (não-degenerado: todos os pontos são distintos
entre si) com lados paralelos AB e CD. De\ufb01nimos quatro retas r, s, t, u de modo que: r
passa por A e B, s passa por B e C, t passa por A e C, u passa por A e D. Determine a
solução de cada um dos sistemas abaixo, onde representamos cada equação pela reta que ela
determina:
(a)
{
s
t
; (b)
{
u
s
; (c)
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
r
s
t
; (d)
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
r
t
u
.
Fix 2.6:Um dado comum é um cubo cujas 6 faces apresentam os números de 1 até 6,
distribuídos de forma que faces opostas somam sempre 7 (o 1 é oposto ao 6; o 2 oposto ao
5 e o 3 oposto ao 4). Vamos representar por \ufffdface 1\ufffd a equação do plano que contém a face
com o número 1, por \ufffdface 2\ufffd a equação do plano que contém a face com o número 2, etc.
Determine o número de soluções de cada um dos sistemas abaixo:
(a)
{
face2
face6
; (b)
{
face3
face4
; (c)
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
face1
face3
face5
; (d)
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
face3
face5
face6
; (e)
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
face1
face3
face6
;
Fix 2.7: Sem fazer contas, determine, se possível, a condição em \u3be para que os sistemas
abaixo não possuam solução:
(a)
{ \u2212x+ y = 3
2x\u2212 2y = \u3be ; (b)
{ \u2212x+ y = 3
2x+ y = \u3be
.
Fix 2.8:Determine se é verdadeiro ou falso:
(a) se durante o escalonamento uma linha \ufb01car zerada então o sistema têm in\ufb01nitas
soluções;
(b) um sistema homogêneo possui sempre solução;
(c) um sistema não-homogêneo não pode possuir in\ufb01nitas soluções.
Fix 2.9:Determine se é verdadeiro ou falso:
(a) um sistema com 5 equações e 3 variáveis é sempre sem solução;
(b) um sistema com 3 equações e 5 variáveis possui in\ufb01nitas soluções;
(c) um sistema homogêneo com 3 equações e 5 variáveis possui in\ufb01nitas soluções;
(d) um sistema homogêneo com 5 equações e 9 variáveis possui pelo menos 4 variáveis
livres;
(e) um sistema homogêneo com 9 equações e 9 variáveis possui sempre solução única.
Fix 2.10: Sem fazer contas, discuta a existência e a unicidade de solução dos sistemas abaixo.
No caso de in\ufb01nitas soluções, determine ainda o número de variáveis livres.
(a)
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 4 6 2
0 2 5 2
0 0 3 1
0 0 0 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb; (b)
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 4 6 2
0 2 5 2
0 0 3 1
0 0 0 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb; (c) [ 0 1 0 20 0 1 2
]
.
Fix 2.11:Em R5:
60 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR
(a) o conjunto-solução de um sistema linear pode ser visto como a (união;
interseção) de (retas; planos; hiperplanos);
(b) uma reta é um subespaço de dimensão ;
(c) um plano é um subespaço de dimensão ;
(d) um hiperplano é um subespaço de dimensão .
Fix 2.12:Considere o sistema:
Ax =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u2190 u1 \u2192..
.
\u2190 um \u2192
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
\uf8ee\uf8f0 \u2191x
\u2193
\uf8f9\uf8fb =
\uf8ee\uf8f0 \u2191v1
\u2193
· · ·
\u2191
vn
\u2193
\uf8f9\uf8fb
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 x1..
.
xn
\uf8f9\uf8fa\uf8fb = b.
De\ufb01na Hj = {x \u2208 Rn| uj · x = bj}.
(a) o sistema Ax = b possui solução se, e somente se,
m\u22c2
j=1
Hj (=, 6=) \u2205;
(b) o sistema Ax = b possui solução se, e somente se, b (\u2208, 6\u2208) \u3008v1, . . . ,vn\u3009;
Fix 2.13: Seja S 6= \u2205 a solução geral de um sistema não-homogêneo com V o conjunto-
solução do sistema homogêneo associado. Escolha uma opção. É sempre verdade que:
(A) S = v0 + V com v0 \u2208 V ; (B) S = v0 + V com v0 \u2208 S;
(C) V = v0 + S com v0 \u2208 S; (D) V = v0 + S com v0 \u2208 V ;
2.9.2 Problemas
Prob 2.1:Para cada um dos sistemas abaixo interprete cada equação como uma reta em R2,
faça o grá\ufb01co e determine geometricamente o número de soluções:
(a)
{
x+ y = 3
x\u2212 y = 1 ; (b)
{
3x\u2212 y = 6
\u22126x+ 2y = 6 ;
Prob 2.2: Suponha que um sistema de três variáveis é composto de três equações. Em
R3 cada equação representa um plano. Qual a posição relativa destes três plano quando o
sistema:
(a) não possui solução? (b) possui exatamente uma solução? (c) possui in\ufb01nitas soluções?
Prob 2.3:Para cada um dos itens abaixo, dê um exemplo de um sistema com as características
pedidas ou explique por que tal exemplo não pode existir:
(a) (n
o
equações) = (n
o
variáveis), in\ufb01nitas soluções;
(b) (n
o
equações) < (n
o
variáveis), solução única;
(c) (n
o
equações) < (n
o
variáveis), nenhuma solução;
(d) (n
o
equações) > (n
o
variáveis), in\ufb01nitas soluções;
Prob 2.4:Encontre a forma totalmente escalonada das matrizes abaixo:
(a)
\uf8ee\uf8f0 1 2 3 44 5 6 7
6 7 8 9
\uf8f9\uf8fb
; (b)
\uf8ee\uf8f0 1 3 5 73 5 7 9
5 7 9 1
\uf8f9\uf8fb
.
Prob 2.5:Resolva cada um dos sistemas abaixo:
(a)
\uf8ee\uf8f0 0 1 \u22122 0 00 0 0 1 0
0 0 0 0 1
\uf8f9\uf8fb
; (b)
[
0 1 \u22122 0 0
0 0 0 1 0
]
;
(c)
\uf8ee\uf8f0 1 0 0 \u221210 1 0 3
0 0 1 2
\uf8f9\uf8fb
; (d)