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DisciplinaÁlgebra Linear II915 materiais8.018 seguidores
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sistemas
lineares. Após apresentar transformações lineares (TLs), matrizes são vistas como
representações de TLs. Apresentamos TLs (e matrizes) geométricas: projeção, re\ufb02exão,
rotação. Relacionamos operações de soma e composição de TLs com operações entre
matrizes. De\ufb01nimos o produto entre matrizes como consequência da composição de
TLs. Fica claro que o produto de matrizes não é comutativo pois a composição de
função (ainda que seja linear) não é comutativa. A matriz inversa é calculada por
escalonamento.
\u2022 No capítulo de produto interno, focamos em projeções e no método de mínimos
quadrados. Apresentamos projeção ortogonal de funções como forma de aproximá-las,
preparando o aluno para métodos numéricos.
ix
\u2022 Determinante é apresentado desde o início relacionado com área (volume) com sinal,
para depois ser apresentado algebricamente. Optamos por focar no algoritmo de cál-
culo utilizando operações elementares por ser mais e\ufb01ciente e ligada diretamente aos
conceitos. Apresentamos a conexão com mudança de variáveis na integração múltipla
e a de\ufb01nição de produto vetorial e misto em R3. Como seção opcional, colocamos uma
discussão de como interpretar o sinal do determinante.
\u2022 Autovalores e Autovetores são apresentados em conexão com interpretação geo-
métrica. A teoria de diagonalização de matrizes é aplicada em cálculo de potência de
matrizes e classi\ufb01cação de formas quadráticas, relacionados com o teste da \ufffdderivada
segunda\ufffd do cálculo diferencial de várias variáveis para determinar se um ponto crítico
é máximo, mínimo ou ponto de sela local.
\u2022 Enfatizamos ao longo do texto (capítulos de Sistemas Lineares, Matrizes, Determinante,
Autovalores e Autovetores) a visão moderna de uma matriz por blocos, fundamental
para a computação cientí\ufb01ca.
\u2022 O escalonamento é o algoritmo principal do curso, pois através dele: resolvemos
sistema, determinamos se vetores são linearmente dependentes, determinamos coor-
denadas de vetores, mudamos de base, invertemos matriz, calculamos determinante,
encontramos autovetores, calculamos solução de mínimos quadrados, calculamos proje-
ção ortogonal.
Sobre a Segunda Edição
Além de diversas correções pontuais, as principais modi\ufb01cações foram:
(a) juntar o capítulo de Transformações Lineares e de Matrizes em um único capítulo;
(b) expandir o primeiro capítulo na parte de geometria analítica no plano e espaço por ser
de\ufb01ciência comum que alunos trazem do ensino médio;
(c) reorganizar o capítulo de Produto Interno e colocá-lo antes do capítulo de Determi-
nante. Focamos no Rn e em aplicações importantes.
x PREFÁCIO
Suma´rio
Sobre os Autores iii
Agradecimentos v
Prefácio vii
1 Introdução à Álgebra Linear 1
1.1 Vetores do Rn e Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Vetores do Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Operações com Vetores em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Representação Geométrica de Vetores e Operações . . . . . . . . . . 3
1.2 Equações Cartesianas e Paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Retas no R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Retas e Planos no R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Combinações Lineares e Espaços Gerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 De\ufb01nições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Espaço Gerado por 1 Vetor e Retas em Rn . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.3 Espaço Gerado por 2 Vetores e Planos no Rn . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.4 Espaço Gerado por 3 ou Mais Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Exercícios de Introdução à Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.1 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.4 Desa\ufb01os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Sistema Linear 27
2.1 Aplicações de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Matrizes e Vetores do Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Interpretação de Sistemas em R,R2 e R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.1 Na Reta (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.2 No Plano (R2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.3 No Espaço (R3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Operações Elementares e Sistemas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5 Resolvendo Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5.1 Escalonamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5.2 Análise Pós-Escalonamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5.3 Sistemas com In\ufb01nitas Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.6 Produto Matriz-Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.7 Sistemas Homogêneos, Solução Geral e Particular . . . . . . . . . . . . . . 55
xi
xii SUMÁRIO
2.8 Interpretação de Sistemas em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.9 Exercícios de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.9.1 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.9.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.9.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.9.4 Desa\ufb01os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3 Espaço Vetorial 65
3.1 Espaço e Subespaço Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 Combinação Linear e Espaço Gerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3 Dependência e Independência Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4 Base e Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.5 Polinômios e Funções como Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.5.1 De\ufb01nição e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.5.2 Combinação Linear e Espaço Gerado . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.5.3 Dependência e Independência Linear, Base . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5.4 ?Funções como Vetores: Representação Geométrica . . . . . . . . . 80
3.6 ?Dimensão de Espaço Vetorial: Teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.7 Exercícios de Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.7.1 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.7.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.7.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.7.4 Desa\ufb01os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4 Transformação Linear e Matriz 91
4.1 Função, Transformação Linear e Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.1.1 Domínio e Imagem de Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.1.2 Transformação Linear e Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.1.3 Transformações Lineares Geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2 Núcleo e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2.1 Núcleo e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2.2 Teorema do Núcleo Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2.3 Injetividade, Sobrejetividade e Núcleo . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2.4 Aplicações em Espaços de Funções e Polinômios . . . . . . . . . . . 106
4.3 Composição de Funções e Produto de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . .