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Disciplina:Álgebra Linear II693 materiais7.563 seguidores
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sistemas
lineares. Após apresentar transformações lineares (TLs), matrizes são vistas como

representações de TLs. Apresentamos TLs (e matrizes) geométricas: projeção, reflexão,

rotação. Relacionamos operações de soma e composição de TLs com operações entre

matrizes. Definimos o produto entre matrizes como consequência da composição de

TLs. Fica claro que o produto de matrizes não é comutativo pois a composição de

função (ainda que seja linear) não é comutativa. A matriz inversa é calculada por

escalonamento.

• No capítulo de produto interno, focamos em projeções e no método de mínimos
quadrados. Apresentamos projeção ortogonal de funções como forma de aproximá-las,

preparando o aluno para métodos numéricos.

ix

• Determinante é apresentado desde o início relacionado com área (volume) com sinal,
para depois ser apresentado algebricamente. Optamos por focar no algoritmo de cál-

culo utilizando operações elementares por ser mais eficiente e ligada diretamente aos

conceitos. Apresentamos a conexão com mudança de variáveis na integração múltipla

e a definição de produto vetorial e misto em R3. Como seção opcional, colocamos uma
discussão de como interpretar o sinal do determinante.

• Autovalores e Autovetores são apresentados em conexão com interpretação geo-
métrica. A teoria de diagonalização de matrizes é aplicada em cálculo de potência de

matrizes e classificação de formas quadráticas, relacionados com o teste da �derivada

segunda� do cálculo diferencial de várias variáveis para determinar se um ponto crítico

é máximo, mínimo ou ponto de sela local.

• Enfatizamos ao longo do texto (capítulos de Sistemas Lineares, Matrizes, Determinante,
Autovalores e Autovetores) a visão moderna de uma matriz por blocos, fundamental

para a computação científica.

• O escalonamento é o algoritmo principal do curso, pois através dele: resolvemos
sistema, determinamos se vetores são linearmente dependentes, determinamos coor-

denadas de vetores, mudamos de base, invertemos matriz, calculamos determinante,

encontramos autovetores, calculamos solução de mínimos quadrados, calculamos proje-

ção ortogonal.

Sobre a Segunda Edição

Além de diversas correções pontuais, as principais modificações foram:

(a) juntar o capítulo de Transformações Lineares e de Matrizes em um único capítulo;

(b) expandir o primeiro capítulo na parte de geometria analítica no plano e espaço por ser

deficiência comum que alunos trazem do ensino médio;

(c) reorganizar o capítulo de Produto Interno e colocá-lo antes do capítulo de Determi-

nante. Focamos no Rn e em aplicações importantes.

x PREFÁCIO

Suma´rio

Sobre os Autores iii

Agradecimentos v

Prefácio vii

1 Introdução à Álgebra Linear 1

1.1 Vetores do Rn e Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Vetores do Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Operações com Vetores em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Representação Geométrica de Vetores e Operações . . . . . . . . . . 3

1.2 Equações Cartesianas e Paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Retas no R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Retas e Planos no R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Combinações Lineares e Espaços Gerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.2 Espaço Gerado por 1 Vetor e Retas em Rn . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.3 Espaço Gerado por 2 Vetores e Planos no Rn . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.4 Espaço Gerado por 3 ou Mais Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4 Exercícios de Introdução à Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.1 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.4 Desafios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Sistema Linear 27

2.1 Aplicações de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Matrizes e Vetores do Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Interpretação de Sistemas em R,R2 e R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.1 Na Reta (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.2 No Plano (R2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.3 No Espaço (R3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Operações Elementares e Sistemas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5 Resolvendo Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.5.1 Escalonamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.5.2 Análise Pós-Escalonamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.5.3 Sistemas com Infinitas Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.6 Produto Matriz-Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.7 Sistemas Homogêneos, Solução Geral e Particular . . . . . . . . . . . . . . 55

xi

xii SUMÁRIO

2.8 Interpretação de Sistemas em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.9 Exercícios de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.9.1 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.9.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.9.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.9.4 Desafios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3 Espaço Vetorial 65

3.1 Espaço e Subespaço Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2 Combinação Linear e Espaço Gerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.3 Dependência e Independência Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.4 Base e Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.5 Polinômios e Funções como Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.5.1 Definição e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.5.2 Combinação Linear e Espaço Gerado . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.5.3 Dependência e Independência Linear, Base . . . . . . . . . . . . . . 79

3.5.4 ?Funções como Vetores: Representação Geométrica . . . . . . . . . 80
3.6 ?Dimensão de Espaço Vetorial: Teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.7 Exercícios de Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.7.1 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.7.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.7.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.7.4 Desafios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4 Transformação Linear e Matriz 91

4.1 Função, Transformação Linear e Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.1.1 Domínio e Imagem de Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.1.2 Transformação Linear e Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.1.3 Transformações Lineares Geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.2 Núcleo e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.2.1 Núcleo e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.2.2 Teorema do Núcleo Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.2.3 Injetividade, Sobrejetividade e Núcleo . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.2.4 Aplicações em Espaços de Funções e Polinômios . . . . . . . . . . . 106

4.3 Composição de Funções e Produto de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . .