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
3 −4 2 0
−9 12 −6 0
−6 8 −4 0

0 0 0 0

;

2.9. EXERCÍCIOS DE SISTEMAS LINEARES 61

(e)


2 6 3 1 4
2 6 3 −2 10
−4 −12 −7 0 −10

6 18 11 0 14

; (f)
 0 1 2 1 1 60 −2 −4 −2 −4 −18

0 1 2 2 3 13

 .
Prob 2.6:Os sistemas abaixo são equivalentes (o segundo está totalmente escalonado): −2 1 2 41 0 01 0 −2 −24 0 0

1 −1 0 −17 1
3

0

 ∼
 1 0 −2 −24 0 00 1 −2 −7 0 0

0 0 0 0 1 0

 .
Dê descrições paramétricas dos conjuntos-solução de ambos. Encontre três soluções distintas

para o primeiro sistema.

Prob 2.7:Resolva os sistemas lineares abaixo, escrevendo o conjunto solução em equações

paramétricas:

(a)

{
2x− y + 2z = 1

−4x+ 2y − 4z = −2 ; (b)


x+ y − 2z = −2
x− y = 0

2x+ y − 3z = −3
;

Prob 2.8:Determine os valores de m para que o sistema

{
2x+ 8y + 2z = 3

4x+m2y +mz = 6
possua:

(a) uma única variável livre; (b) duas variáveis livres.

Prob 2.9:Determine todos os valores possíveis para a, b, c, d ∈ R tais que o sistema
x+ 2y + 3z = a

5y + 6z = b
cz = d
possua: (a) nenhuma solução; (b) infinitas soluções.

Prob 2.10:Considere a parábola y(x) = ax2 + bx + c que passa por (1, 2), (2, 4) e (3, 8).
Determine a, b, c ∈ R.

Prob 2.11:Calcule

 1 0 −1−2 1 3
0 4 −3

 2−1
1


(produto matriz-vetor) de duas formas:

(a) como CL das colunas da matriz (usando como coeficientes as entradas do vetor);

(b) como produtos escalares das linhas da matriz pelo vetor.

Prob 2.12: Seja A =

 1 4 52 5 7
3 6 9


. Note que a terceira coluna é a soma das duas primeiras.

Sem escalonar, encontre um vetor x tal que Ax = 0.

2.9.3 Extras

Ext 2.1:Para cada um dos sistemas abaixo interprete cada equação como uma reta em R2,
faça o gráfico e determine geometricamente o número de soluções:

(a)

{
2x− 3y = −1
−6x+ 9y = 3 ; (b)


2x+ 2y = 6
x− y = 1
x+ 3y = 6
;

Ext 2.2:Para cada um dos itens abaixo, dê um exemplo de um sistema com as características

pedidas ou explique por que tal exemplo não pode existir:

(a) (n

o

equações) = (n

o

variáveis), solução única;

(b) (n

o

equações) = (n

o

variáveis), nenhuma solução;

0

Versão 23.ago.2012 22h

62 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR

(c) (n

o

equações) < (n

o

variáveis), infinitas soluções;

(d) (n

o

equações) > (n

o

variáveis), solução única;

(e) (n

o

equações) > (n

o

variáveis), nenhuma solução;

Ext 2.3:A equação geral do círculo em R2 com centro em (A,B) e raio r é dada por
(x− A)2 + (y −B)2 = r2.
(a) determine a, b, c em função de A,B, r para que a equação do círculo seja escrita como

x2 + ax+ y2 + by + c = 0;
(b) Dados três pontos (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) por onde passa o círculo, escreva o sistema
que determina a, b, c.
(c) Determine a equação do círculo que passa em (−4, 5), (−2, 7) e (4,−3).
Ext 2.4:Determine condições nos parâmetros (δ, β) para que o sistema associado possua
uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução:

(a)

{
δx+ 2y = 0
2x+ δy = 2
; (b)


x+ δy + z = 1

2x− δy + 3z = δ
−x+ 3y = −2
;

(c)


x+ 2y + (δ + 1)z = 2

y + δ2z = δ + 1
x+ (1− δ)z = 0
; (d)


x− y + z = −1
x+ y − z = 1

3x− y + z = −1
x+ y + (β − 1)z = δ
;

(e)

 1 1 3 21 2 4 3
1 3 δ β


; (f)


x+ y − z = 2

y + 5z = 5
x+ 2y + δz = 7
.

Ext 2.5:Encontre os valores de a tais que o sistema linear abaixo tenha solução.
x− y = a

x+ y + z = a
2x+ z = a
;

Ext 2.6: (a) Qual a condição em b1, b2 e b3 para que o sistema abaixo possua solução? 2 −5 8 b12 1 0 b2
1 −4 6 b3


(b) Sem refazer todas as contas, diga se o sistema possui solução com o lado direito

(3, 5, −1).
Ext 2.7: Seja y = β4x

4 + β3x
3 + β2x

2 + β1x + β0 um polinômio que passa por 5 pontos
dados: (a1, b1), (a2, b2), (a3, b3), (a4, b4), e (a5, b5). Escreva a matriz ampliada (conhecida
como matriz de Vandermonde) do sistema que determina as 5 variáveis β4, β3, β2, β1, β0. Note
que os pares (ai, bi) são dados, e serão coeficientes da matriz ampliada.

Ext 2.8:Considere o sistema


x+ 3y = 1
2x+ y = −3

2x+ 2y = 0
. No ensino fundamental um método

de resolução de sistema é resolver uma equação para uma variável e substituir a expressão

nas outras equações. Isto é repetido até ficarmos com somente uma variável. Com isso,

determinamos uma variável e, substituindo nas outras equações, determinamos as outras. Este

método, além de mais longo que a eliminação de Gauss em termos de operações necessárias

induz, frequentemente, ao erro.

(a) Resolva a primeira equação para x e substitua a expressão na segunda equação. De-
termine y;
(b) Novamente resolva a primeira equação para x, mas desta vez substitua a expressão
na terceira equação. Encontre este y;

2.9. EXERCÍCIOS DE SISTEMAS LINEARES 63

(c) Qual é a solução correta para o sistema?

2.9.4 Desafios

Des 2.1: Seja A uma matriz que será escalonada. Determine para cada uma das três ope-
rações elementares uma matriz P tal que PA seja a matriz resultante após a aplicação da
operação elementar;

Dica: Aplique operação elementar na matriz identidade.

Des 2.2:Prove que as operações elementares (de escalonamento de uma matriz) são rever-

síveis, isto é, mostre que se a matriz A é equivalente a B então a matriz B é equivalente a
matriz A.

Des 2.3:Um sistema linear com n equações e n variáveis tem a propriedade que os coeficien-
tes, quando lidos linha por linha, da esquerda para direita, forma uma progressão geométrica.

Prove que o sistema não tem solução única. Determine sua solução.

Des 2.4:Considere um sistema de n equações em n variáveis. Prove a alternativa de
Fredholm:

(a) ou o sistema possui solução única para todo lado direito;

(b) ou o sistema homogêneo associado tem solução não-trivial.

64 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR

Capı´tulo 3
Espac¸o Vetorial

Neste capítulo começa a parte mais abstrata (para muitos alunos, a parte mais difícil) do

curso de Álgebra Linear com a definição de espaços e subespaços vetoriais. O principal

exemplo é o Rn e retas e planos passando pela origem, mas também são exemplos conjuntos
de polinômios e funções. Revisitamos os conceitos apresentados no Capítulo 1 para espaços

vetoriais quaisquer: vetor e operações; combinação linear, espaço gerado, LI/LD. Conceitos

novos apresentados são: base e dimensão de espaço vetorial, núcleo e imagem de matriz.

3.1 Espaço e Subespaço Vetorial

Definição 3.1 (Um Espaço vetorial) consiste de:

• um conjunto não-vazio V , cujos elementos são chamados de vetores;
• um conjunto numérico K = R (ou C ou Q ou outros, mas nesse livro será sempre R),
cujos elementos são chamados de escalares;

• uma soma vetorial: operação que associa a cada dois vetores u,v ∈ V um vetor
u + v ∈ V ;
• uma multiplicação por escalar (produto escalar vetor): operação que associa a
cada vetor u ∈ V e escalar a ∈ K um vetor au ∈ V .
As operações satisfazem os axiomas (detalhados na sequência) da soma vetorial; da multi-

plicação por escalar (produto escalar-vetor); e distributivos.

Denotamos por (V,+, ·) o espaço vetorial sobre K.

Axioma 3.2 (axiomas da soma vetorial)

• comutativa: u + v = v + u para todo u,v ∈ V ;
• associativa: (u + v) + w = u + (v + w) para todo u,v,w ∈ V ;
• elemento neutro da soma: Existe 0 ∈ V tal que u + 0 = u para todo u ∈ V ;
• inverso aditivo: Dado u ∈ V , existe w ∈ V tal que u + w = 0. Denotamos w, o
inverso aditivo de u, por −u.
1

Versão 03.agosto.2012 15h

65

66 CAPÍTULO 3. ESPAÇO VETORIAL

Observação 3.1 (unicidade do elemento neutro e do inverso aditivo) Segue dos

axiomas acima a unicidade do elemento neutro. Suponha que existam 0 e 0˜ elementos
neutros da soma. Como u + 0 = u (porque?), tomando u = 0˜, obtemos que 0˜ + 0 = 0˜.
Por outro lado u + 0˜ = u (porque?). Tomando u = 0, obtemos que 0 + 0˜ = 0. Como a
soma é