livro-ALGLIN
260 pág.

livro-ALGLIN


DisciplinaÁlgebra Linear II915 materiais8.021 seguidores
Pré-visualização50 páginas
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
3 \u22124 2 0
\u22129 12 \u22126 0
\u22126 8 \u22124 0
0 0 0 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb;
2.9. EXERCÍCIOS DE SISTEMAS LINEARES 61
(e)
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2 6 3 1 4
2 6 3 \u22122 10
\u22124 \u221212 \u22127 0 \u221210
6 18 11 0 14
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb; (f)
\uf8ee\uf8f0 0 1 2 1 1 60 \u22122 \u22124 \u22122 \u22124 \u221218
0 1 2 2 3 13
\uf8f9\uf8fb .
Prob 2.6:Os sistemas abaixo são equivalentes (o segundo está totalmente escalonado):\uf8ee\uf8f0 \u22122 1 2 41 0 01 0 \u22122 \u221224 0 0
1 \u22121 0 \u221217 1
3
0
\uf8f9\uf8fb \u223c
\uf8ee\uf8f0 1 0 \u22122 \u221224 0 00 1 \u22122 \u22127 0 0
0 0 0 0 1 0
\uf8f9\uf8fb .
Dê descrições paramétricas dos conjuntos-solução de ambos. Encontre três soluções distintas
para o primeiro sistema.
Prob 2.7:Resolva os sistemas lineares abaixo, escrevendo o conjunto solução em equações
paramétricas:
(a)
{
2x\u2212 y + 2z = 1
\u22124x+ 2y \u2212 4z = \u22122 ; (b)
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x+ y \u2212 2z = \u22122
x\u2212 y = 0
2x+ y \u2212 3z = \u22123
;
Prob 2.8:Determine os valores de m para que o sistema
{
2x+ 8y + 2z = 3
4x+m2y +mz = 6
possua:
(a) uma única variável livre; (b) duas variáveis livres.
Prob 2.9:Determine todos os valores possíveis para a, b, c, d \u2208 R tais que o sistema\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x+ 2y + 3z = a
5y + 6z = b
cz = d
possua: (a) nenhuma solução; (b) in\ufb01nitas soluções.
Prob 2.10:Considere a parábola y(x) = ax2 + bx + c que passa por (1, 2), (2, 4) e (3, 8).
Determine a, b, c \u2208 R.
Prob 2.11:Calcule
\uf8ee\uf8f0 1 0 \u22121\u22122 1 3
0 4 \u22123
\uf8f9\uf8fb\uf8ee\uf8f0 2\u22121
1
\uf8f9\uf8fb
(produto matriz-vetor) de duas formas:
(a) como CL das colunas da matriz (usando como coe\ufb01cientes as entradas do vetor);
(b) como produtos escalares das linhas da matriz pelo vetor.
Prob 2.12: Seja A =
\uf8ee\uf8f0 1 4 52 5 7
3 6 9
\uf8f9\uf8fb
. Note que a terceira coluna é a soma das duas primeiras.
Sem escalonar, encontre um vetor x tal que Ax = 0.
2.9.3 Extras
Ext 2.1:Para cada um dos sistemas abaixo interprete cada equação como uma reta em R2,
faça o grá\ufb01co e determine geometricamente o número de soluções:
(a)
{
2x\u2212 3y = \u22121
\u22126x+ 9y = 3 ; (b)
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
2x+ 2y = 6
x\u2212 y = 1
x+ 3y = 6
;
Ext 2.2:Para cada um dos itens abaixo, dê um exemplo de um sistema com as características
pedidas ou explique por que tal exemplo não pode existir:
(a) (n
o
equações) = (n
o
variáveis), solução única;
(b) (n
o
equações) = (n
o
variáveis), nenhuma solução;
0
Versão 23.ago.2012 22h
62 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR
(c) (n
o
equações) < (n
o
variáveis), in\ufb01nitas soluções;
(d) (n
o
equações) > (n
o
variáveis), solução única;
(e) (n
o
equações) > (n
o
variáveis), nenhuma solução;
Ext 2.3:A equação geral do círculo em R2 com centro em (A,B) e raio r é dada por
(x\u2212 A)2 + (y \u2212B)2 = r2.
(a) determine a, b, c em função de A,B, r para que a equação do círculo seja escrita como
x2 + ax+ y2 + by + c = 0;
(b) Dados três pontos (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) por onde passa o círculo, escreva o sistema
que determina a, b, c.
(c) Determine a equação do círculo que passa em (\u22124, 5), (\u22122, 7) e (4,\u22123).
Ext 2.4:Determine condições nos parâmetros (\u3b4, \u3b2) para que o sistema associado possua
uma única solução, in\ufb01nitas soluções ou nenhuma solução:
(a)
{
\u3b4x+ 2y = 0
2x+ \u3b4y = 2
; (b)
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x+ \u3b4y + z = 1
2x\u2212 \u3b4y + 3z = \u3b4
\u2212x+ 3y = \u22122
;
(c)
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x+ 2y + (\u3b4 + 1)z = 2
y + \u3b42z = \u3b4 + 1
x+ (1\u2212 \u3b4)z = 0
; (d)
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f3
x\u2212 y + z = \u22121
x+ y \u2212 z = 1
3x\u2212 y + z = \u22121
x+ y + (\u3b2 \u2212 1)z = \u3b4
;
(e)
\uf8eb\uf8ed 1 1 3 21 2 4 3
1 3 \u3b4 \u3b2
\uf8f6\uf8f8
; (f)
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x+ y \u2212 z = 2
y + 5z = 5
x+ 2y + \u3b4z = 7
.
Ext 2.5:Encontre os valores de a tais que o sistema linear abaixo tenha solução.\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x\u2212 y = a
x+ y + z = a
2x+ z = a
;
Ext 2.6: (a) Qual a condição em b1, b2 e b3 para que o sistema abaixo possua solução?\uf8ee\uf8f0 2 \u22125 8 b12 1 0 b2
1 \u22124 6 b3
\uf8f9\uf8fb
(b) Sem refazer todas as contas, diga se o sistema possui solução com o lado direito
(3, 5, \u22121).
Ext 2.7: Seja y = \u3b24x
4 + \u3b23x
3 + \u3b22x
2 + \u3b21x + \u3b20 um polinômio que passa por 5 pontos
dados: (a1, b1), (a2, b2), (a3, b3), (a4, b4), e (a5, b5). Escreva a matriz ampliada (conhecida
como matriz de Vandermonde) do sistema que determina as 5 variáveis \u3b24, \u3b23, \u3b22, \u3b21, \u3b20. Note
que os pares (ai, bi) são dados, e serão coe\ufb01cientes da matriz ampliada.
Ext 2.8:Considere o sistema
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x+ 3y = 1
2x+ y = \u22123
2x+ 2y = 0
. No ensino fundamental um método
de resolução de sistema é resolver uma equação para uma variável e substituir a expressão
nas outras equações. Isto é repetido até \ufb01carmos com somente uma variável. Com isso,
determinamos uma variável e, substituindo nas outras equações, determinamos as outras. Este
método, além de mais longo que a eliminação de Gauss em termos de operações necessárias
induz, frequentemente, ao erro.
(a) Resolva a primeira equação para x e substitua a expressão na segunda equação. De-
termine y;
(b) Novamente resolva a primeira equação para x, mas desta vez substitua a expressão
na terceira equação. Encontre este y;
2.9. EXERCÍCIOS DE SISTEMAS LINEARES 63
(c) Qual é a solução correta para o sistema?
2.9.4 Desa\ufb01os
Des 2.1: Seja A uma matriz que será escalonada. Determine para cada uma das três ope-
rações elementares uma matriz P tal que PA seja a matriz resultante após a aplicação da
operação elementar;
Dica: Aplique operação elementar na matriz identidade.
Des 2.2:Prove que as operações elementares (de escalonamento de uma matriz) são rever-
síveis, isto é, mostre que se a matriz A é equivalente a B então a matriz B é equivalente a
matriz A.
Des 2.3:Um sistema linear com n equações e n variáveis tem a propriedade que os coe\ufb01cien-
tes, quando lidos linha por linha, da esquerda para direita, forma uma progressão geométrica.
Prove que o sistema não tem solução única. Determine sua solução.
Des 2.4:Considere um sistema de n equações em n variáveis. Prove a alternativa de
Fredholm:
(a) ou o sistema possui solução única para todo lado direito;
(b) ou o sistema homogêneo associado tem solução não-trivial.
64 CAPÍTULO 2. SISTEMA LINEAR
Cap\u131´tulo 3
Espac¸o Vetorial
Neste capítulo começa a parte mais abstrata (para muitos alunos, a parte mais difícil) do
curso de Álgebra Linear com a de\ufb01nição de espaços e subespaços vetoriais. O principal
exemplo é o Rn e retas e planos passando pela origem, mas também são exemplos conjuntos
de polinômios e funções. Revisitamos os conceitos apresentados no Capítulo 1 para espaços
vetoriais quaisquer: vetor e operações; combinação linear, espaço gerado, LI/LD. Conceitos
novos apresentados são: base e dimensão de espaço vetorial, núcleo e imagem de matriz.
3.1 Espaço e Subespaço Vetorial
De\ufb01nição 3.1 (Um Espaço vetorial) consiste de:
\u2022 um conjunto não-vazio V , cujos elementos são chamados de vetores;
\u2022 um conjunto numérico K = R (ou C ou Q ou outros, mas nesse livro será sempre R),
cujos elementos são chamados de escalares;
\u2022 uma soma vetorial: operação que associa a cada dois vetores u,v \u2208 V um vetor
u + v \u2208 V ;
\u2022 uma multiplicação por escalar (produto escalar vetor): operação que associa a
cada vetor u \u2208 V e escalar a \u2208 K um vetor au \u2208 V .
As operações satisfazem os axiomas (detalhados na sequência) da soma vetorial; da multi-
plicação por escalar (produto escalar-vetor); e distributivos.
Denotamos por (V,+, ·) o espaço vetorial sobre K.
Axioma 3.2 (axiomas da soma vetorial)
\u2022 comutativa: u + v = v + u para todo u,v \u2208 V ;
\u2022 associativa: (u + v) + w = u + (v + w) para todo u,v,w \u2208 V ;
\u2022 elemento neutro da soma: Existe 0 \u2208 V tal que u + 0 = u para todo u \u2208 V ;
\u2022 inverso aditivo: Dado u \u2208 V , existe w \u2208 V tal que u + w = 0. Denotamos w, o
inverso aditivo de u, por \u2212u.
1
Versão 03.agosto.2012 15h
65
66 CAPÍTULO 3. ESPAÇO VETORIAL
Observação 3.1 (unicidade do elemento neutro e do inverso aditivo) Segue dos
axiomas acima a unicidade do elemento neutro. Suponha que existam 0 e 0\u2dc elementos
neutros da soma. Como u + 0 = u (porque?), tomando u = 0\u2dc, obtemos que 0\u2dc + 0 = 0\u2dc.
Por outro lado u + 0\u2dc = u (porque?). Tomando u = 0, obtemos que 0 + 0\u2dc = 0. Como a
soma é