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DisciplinaÁlgebra Linear II915 materiais8.026 seguidores
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comutativa, 0\u2dc + 0 = 0\u2dc = 0 + 0\u2dc = 0. Concluímos que 0 = 0\u2dc.
Também segue a unicidade do inverso aditivo. Convidamos o leitor a provar isso. Comece
supondo que w e v são inversos aditivos de u.
Axioma 3.3 (axiomas da multiplicação por escalar (produto escalar-vetor))
Dados vetor u \u2208 V e escalares \u3b1, \u3b2:
\u2022 (\u3b1\u3b2)u = \u3b1(\u3b2u);
\u2022 elemento neutro do produto: 1u = u.
Axioma 3.4 (axiomas distributivos) Dados vetores u,v \u2208 V e escalares \u3b1, \u3b2:
\u2022 \u3b1(u + v) = \u3b1u + \u3b1v;
\u2022 (\u3b1 + \u3b2)u = \u3b1u + \u3b2u.
Exemplo 3.1 O espaço vetorial mais importante é o Rn munido das operações de\ufb01nidas no
Capítulo 1. Num certo sentido (ver Lema 4.50 da p.122), todo espaço vetorial (de dimensão
\ufb01nita) sobre R (escalares) é equivalente ao Rn.
Exemplo 3.2 Outro exemplo é o Cn, o conjunto das n-uplas de números complexos com
operações de\ufb01nidas da forma natural. Veja Observação 7.3 da p.198.
Exemplo 3.3 Veri\ufb01que que V = {a} (conjunto unitário) com operações tendo como resul-
tado sempre a é um espaço vetorial.
Solução: Dados u,v \u2208 V , u = v = a e u + v = a e ku = a para todo escalar k. Note que
o elemento neutro da soma e o inverso aditivo será a. Veri\ufb01que as propriedades! Note que
este espaço é equivalente a W = {0} com 0 + 0 = 0 e k · 0 = 0.
Exemplo 3.4 Considere V = {(x, y) \u2208 R2; x2 + y2 \u2264 1} (o interior de um círculo de raio 1
com centro na origem). Considere em V as operações do R2. Veri\ufb01que se V é espaço vetorial
com estas operações.
Solução: Existe elemento neutro da soma, o vetor (0, 0) \u2208 V , existe inverso aditivo (dado
u \u2208 V,\u2212u \u2208 V ). No entanto, u = (0, 1) \u2208 V mas 2u = (0, 2) 6\u2208 V . Outro problema é que
v = (1, 0) \u2208 V mas u + v = (1, 1) 6\u2208 V (veri\ufb01que!). Assim V não é espaço vetorial.
Exemplo 3.5 Veri\ufb01que que o conjunto das matrizes Mm×n sobre os números reais (De\ufb01-
nição 2.1 da p.30) munido da operação de soma de matrizes e multiplicação de escalar por
matriz da forma usual é um espaço vetorial. Quem é o elemento neutro da soma? Quem é o
inverso aditivo?
3.1. ESPAÇO E SUBESPAÇO VETORIAL 67
Solução: A comutatividade e associatividade da soma de matrizes é decorrente da comutati-
vidade e associatividade da soma de números reais. O elemento neutro é a matriz com todas
entradas iguais a zero, a inversa aditiva de A = (aij) é a matriz \u2212A = (\u2212aij).
Observação 3.2 Identi\ufb01camos (veja p.31) o espaço vetorial Rn comMn×1 pois as ope-
rações são idênticas. De fato vários livros representam vetores do Rn por uma matriz com
uma coluna.
De\ufb01nição 3.5 (subespaço vetorial) Seja (V,+, ·) um espaço vetorial sobre K. Considere
W \u2282 V . Dizemos que W é subespaço vetorial de V se (W,+, ·) um espaço vetorial sobre
K. Note que as operações em W são herdadas das operações em V .
Exemplo 3.6 Todo espaço vetorial V possui pelo menos dois subespaços vetoriais:
(a) V ; (b) {0} (dito subespaço trivial).
Lema 3.6 (caracterização de subespaço) W \u2282 V é subespaço vetorial se:
\u2022 0 \u2208 W ,
\u2022 W é fechado para a soma vetorial, isto é, se dados u,v \u2208 W , u + v \u2208 W , e
\u2022 W é fechado para a multiplicação por escalar, isto é, se dados u \u2208 W,k \u2208 R,
ku \u2208 W .
Prova: Deixamos para o leitor.
Para se entender um conceito é importante, além dos exemplos, ver contra-exemplos. Assim
estude nos exemplos abaixo, porque um conjunto não é subespaço vetorial.
Exemplo 3.7 (retas e planos) Determine condições para que:
(a) uma reta seja um subespaço vetorial de R2.
(b) um plano seja um subespaço vetorial de R3.
Solução: São subespaços vetoriais: retas e planos passando pela origem. Não são subespaços
vetoriais: retas e planos que não passam pela origem. Note que o vetor 0 vai pertencer somente
com esta condição. Veri\ufb01que que caso passem pela origem serão fechados pela soma vetorial
e multiplicação por escalar. Faça uns desenhos.
Exemplo 3.8 Veri\ufb01que se os conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial R2:
(a) A = {v \u2208 R2| v = k(1, 2), k \u2208 R};
(b) B = uma reta que não passa por (0, 0).
(c) C = a união do eixo x com o eixo y (de forma geral, duas retas não coincidentes que
passam pela origem).
(d) Considere D o primeiro e quarto quadrantes do R2.
(e) A parábola E = {(x, x2) x \u2208 R}
Solução: (a) A é subespaço vetorial. De fato:
\u2022 0 \u2208 A (tome k = 0).
\u2022 Dados v1,v2 \u2208 A, existem k1, k2 \u2208 R com vi = ki(1, 2). Logo v1 + v2 = (k1 +
k2)(1, 2) \u2208 A
68 CAPÍTULO 3. ESPAÇO VETORIAL
\u2022 Dado m \u2208 R, mv1 = mk1(1, 2) \u2208 A.
(b) B não é subespaço pois 0 6\u2208 B.
(c) C não é subespaço pois embora 0 \u2208 C e seja fechado para multiplicação por escalar
(porque?), (1, 0), (0, 1) \u2208 C mas (1, 0) + (0, 1) 6\u2208 C (não é fechado para soma de vetores).
(d) D não é subespaço pois embora 0 \u2208 D e seja fechado para multiplicação por escalar
(porque?), (2, 1), (\u22121,\u22122) \u2208 D, (2, 1) + (\u22121,\u22122) = (1,\u22121) 6\u2208 D (porque?).
(e) E não é subespaço pois embora 0 \u2208 E dado (1, 1), (2, 4) \u2208 E, (1, 1) + (2, 4) =
(3, 5) 6\u2208 E (não é fechado para soma).
Exemplo 3.9 Veri\ufb01que se os conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial R3:
(a) A = {(x, y, 0), x, y \u2208 R}. (b) B = {(x, y, 1), x, y \u2208 R}.
Solução: (a) A é subespaço vetorial. De fato:
\u2022 (0, 0, 0) \u2208 A (tome x = y = 0).
\u2022 Sejam (x1, y1, 0), (x2, y2, 0) \u2208 A. Então (x1, y1, 0)+(x2, y2, 0) = (x1+x2, y1+y2, 0) \u2208
A.
\u2022 Sejam (x, y, 0) \u2208 A e \u3b1 \u2208 R. Então \u3b1(x, y, 0) = (\u3b1x, \u3b1y, 0) \u2208 A.
(b) B não é subespaço vetorial. Note que B é a translação do item (a) pelo vetor (0, 0, 1).
De fato:
\u2022 (0, 0, 0) 6\u2208 B.
\u2022 Sejam (x1, y1, 1), (x2, y2, 1) \u2208 B. Então (x1, y1, 1)+(x2, y2, 1) = (x1+x2, y1+y2, 2) 6\u2208
B.
\u2022 Sejam (x, y, 1) \u2208 B e \u3b1 \u2208 R. Então \u3b1(x, y, 1) = (\u3b1x, \u3b1y, \u3b1) 6\u2208 B, se \u3b1 6= 1.
Exemplo 3.10 Veri\ufb01que se os conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial R4:
(a) A = {(2a\u2212 3b, 0, a, b\u2212 a), a, b \u2208 R}. (b) B = \u3008u,v,w\u3009, com u,v,w \u2208 R4.
Solução: (a) A é subespaço vetorial (um plano passando pela origem). De fato:
\u2022 0 \u2208 A (tome a = b = 0).
\u2022 Dados v1,v2 \u2208 A, v1 = (2a1 \u2212 3b1, 0, a1, b1 \u2212 a1), v2 = (2a2 \u2212 3b2, 0, a2, b2 \u2212 a2).
Logo v1 + v2 = (2(a1 +a2)\u2212 3(b1 + b2), 0, a1 +a2, a2 + b2\u2212 (a1 +a2)). Assim de\ufb01nida
a = a1 + a2 e b = b1 + b2 veri\ufb01ca-se que v1 + v2 \u2208 A.
\u2022 Dado \u3b2 \u2208 R, \u3b2v1 = (2\u3b2a1 \u2212 3\u3b2b1, 0, \u3b2a1, \u3b2b1 \u2212 \u3b2a1). De\ufb01nindo a = \u3b2a1 e b = \u3b2b1
veri\ufb01ca-se que v1 \u2208 A.
(b) B é subespaço vetorial. Deixamos para o leitor veri\ufb01car. Reveja a De\ufb01nição 1.12 da
p.15 (espaço gerado).
Exemplo 3.11 Considere o espaço vetorial V e u,w \u2208 V . Veri\ufb01que se é subespaço vetorial
de V :
(a) A = {v \u2208 V | v = \u3b1u, \u3b1 \u2208 R}. (b) B = {v \u2208 V | v = \u3b1u + w, \u3b1 \u2208 R}.
Solução: (a) A é subespaço vetorial (é uma reta paralela a v passando pela origem). De
fato:
3.1. ESPAÇO E SUBESPAÇO VETORIAL 69
\u2022 0 \u2208 A (tome \u3b1 = 0).
\u2022 Dados v1,v2 \u2208 A, v1 = \u3b11u, v2 = \u3b12u. Logo v1 + v2 = (\u3b11 + \u3b12)u \u2208 A.
\u2022 Dado \u3b2 \u2208 R, \u3b2v1 = (\u3b2\u3b11)u1 \u2208 A.
(b) 0 \u2208 B se, e somente se, existe \u3b10 \u2208 R tal que \u3b10u + w = 0, ou seja, w = \u2212\u3b10u,
ou seja se w é múltiplo de u. Neste caso \u3b1u + w = \u3b1u \u2212 \u3b10u = (\u3b1 \u2212 \u3b10)u. Assim todos
os vetores são múltiplos de u e A = B é um subespaço vetorial. Caso contrário (se w não é
múltiplo de v), como 0 6\u2208 B, B não é subespaço vetorial.
Exemplo 3.12 (espaço vetorial e matrizes) Considere a matriz A =
\uf8ee\uf8f0 \u2191v1
\u2193
· · ·
\u2191
vn
\u2193
\uf8f9\uf8fb
.
Determine se é subespaço vetorial:
(a) V = {x \u2208 Rn| Ax = 0} \u2282 Rn, o conjunto-solução do sistema linear homogêneo
Ax = 0;
(b) W = {x \u2208 Rn| Ax = b} \u2282 Rn, com b 6= 0, o conjunto-solução do sistema linear
não-homogêneo Ax = b;
(c) Z = {y \u2208 Rm| y = Ax; x \u2208 Rn} \u2282 Rm.
Solução: (a) V é subespaço vetorial do Rn. De fato é claro que 0 \u2208 V pois é 0 é solução
do sistema homogêneo. Além disso, pela linearidade do produto matriz-vetor (Lema 2.20 da
p.54), se u e v são soluções de um sistema homogêneo então u + v e ku também são para
todo k \u2208 R.
(b) W não é subespaço vetorial pois é claro que 0 6\u2208 W (porque?)
(c) Pelas interpretações do produto matriz-vetor (veja página 53), y = Ax =
n\u2211
i=1
xivi.
Logo Z =
{
n\u2211
i=1
xivi| xi \u2208 R
}
, que é igual ao espaço gerado pelas colunas da matriz, isto é,
Z = \u3008v1,v2, .