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Disciplina:Álgebra Linear II693 materiais7.563 seguidores
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comutativa, 0˜ + 0 = 0˜ = 0 + 0˜ = 0. Concluímos que 0 = 0˜.
Também segue a unicidade do inverso aditivo. Convidamos o leitor a provar isso. Comece

supondo que w e v são inversos aditivos de u.

Axioma 3.3 (axiomas da multiplicação por escalar (produto escalar-vetor))

Dados vetor u ∈ V e escalares α, β:
• (αβ)u = α(βu);
• elemento neutro do produto: 1u = u.

Axioma 3.4 (axiomas distributivos) Dados vetores u,v ∈ V e escalares α, β:
• α(u + v) = αu + αv;
• (α + β)u = αu + βu.

Exemplo 3.1 O espaço vetorial mais importante é o Rn munido das operações definidas no
Capítulo 1. Num certo sentido (ver Lema 4.50 da p.122), todo espaço vetorial (de dimensão

finita) sobre R (escalares) é equivalente ao Rn.

Exemplo 3.2 Outro exemplo é o Cn, o conjunto das n-uplas de números complexos com
operações definidas da forma natural. Veja Observação 7.3 da p.198.

Exemplo 3.3 Verifique que V = {a} (conjunto unitário) com operações tendo como resul-
tado sempre a é um espaço vetorial.

Solução: Dados u,v ∈ V , u = v = a e u + v = a e ku = a para todo escalar k. Note que
o elemento neutro da soma e o inverso aditivo será a. Verifique as propriedades! Note que
este espaço é equivalente a W = {0} com 0 + 0 = 0 e k · 0 = 0.

Exemplo 3.4 Considere V = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 ≤ 1} (o interior de um círculo de raio 1
com centro na origem). Considere em V as operações do R2. Verifique se V é espaço vetorial
com estas operações.

Solução: Existe elemento neutro da soma, o vetor (0, 0) ∈ V , existe inverso aditivo (dado
u ∈ V,−u ∈ V ). No entanto, u = (0, 1) ∈ V mas 2u = (0, 2) 6∈ V . Outro problema é que
v = (1, 0) ∈ V mas u + v = (1, 1) 6∈ V (verifique!). Assim V não é espaço vetorial.

Exemplo 3.5 Verifique que o conjunto das matrizes Mm×n sobre os números reais (Defi-
nição 2.1 da p.30) munido da operação de soma de matrizes e multiplicação de escalar por

matriz da forma usual é um espaço vetorial. Quem é o elemento neutro da soma? Quem é o

inverso aditivo?

3.1. ESPAÇO E SUBESPAÇO VETORIAL 67

Solução: A comutatividade e associatividade da soma de matrizes é decorrente da comutati-

vidade e associatividade da soma de números reais. O elemento neutro é a matriz com todas

entradas iguais a zero, a inversa aditiva de A = (aij) é a matriz −A = (−aij).
Observação 3.2 Identificamos (veja p.31) o espaço vetorial Rn comMn×1 pois as ope-
rações são idênticas. De fato vários livros representam vetores do Rn por uma matriz com
uma coluna.

Definição 3.5 (subespaço vetorial) Seja (V,+, ·) um espaço vetorial sobre K. Considere
W ⊂ V . Dizemos que W é subespaço vetorial de V se (W,+, ·) um espaço vetorial sobre
K. Note que as operações em W são herdadas das operações em V .

Exemplo 3.6 Todo espaço vetorial V possui pelo menos dois subespaços vetoriais:
(a) V ; (b) {0} (dito subespaço trivial).

Lema 3.6 (caracterização de subespaço) W ⊂ V é subespaço vetorial se:
• 0 ∈ W ,
• W é fechado para a soma vetorial, isto é, se dados u,v ∈ W , u + v ∈ W , e
• W é fechado para a multiplicação por escalar, isto é, se dados u ∈ W,k ∈ R,
ku ∈ W .
Prova: Deixamos para o leitor.

Para se entender um conceito é importante, além dos exemplos, ver contra-exemplos. Assim

estude nos exemplos abaixo, porque um conjunto não é subespaço vetorial.

Exemplo 3.7 (retas e planos) Determine condições para que:

(a) uma reta seja um subespaço vetorial de R2.
(b) um plano seja um subespaço vetorial de R3.

Solução: São subespaços vetoriais: retas e planos passando pela origem. Não são subespaços

vetoriais: retas e planos que não passam pela origem. Note que o vetor 0 vai pertencer somente
com esta condição. Verifique que caso passem pela origem serão fechados pela soma vetorial

e multiplicação por escalar. Faça uns desenhos.

Exemplo 3.8 Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial R2:
(a) A = {v ∈ R2| v = k(1, 2), k ∈ R};
(b) B = uma reta que não passa por (0, 0).
(c) C = a união do eixo x com o eixo y (de forma geral, duas retas não coincidentes que
passam pela origem).

(d) Considere D o primeiro e quarto quadrantes do R2.
(e) A parábola E = {(x, x2) x ∈ R}
Solução: (a) A é subespaço vetorial. De fato:

• 0 ∈ A (tome k = 0).
• Dados v1,v2 ∈ A, existem k1, k2 ∈ R com vi = ki(1, 2). Logo v1 + v2 = (k1 +
k2)(1, 2) ∈ A

68 CAPÍTULO 3. ESPAÇO VETORIAL

• Dado m ∈ R, mv1 = mk1(1, 2) ∈ A.
(b) B não é subespaço pois 0 6∈ B.
(c) C não é subespaço pois embora 0 ∈ C e seja fechado para multiplicação por escalar
(porque?), (1, 0), (0, 1) ∈ C mas (1, 0) + (0, 1) 6∈ C (não é fechado para soma de vetores).
(d) D não é subespaço pois embora 0 ∈ D e seja fechado para multiplicação por escalar
(porque?), (2, 1), (−1,−2) ∈ D, (2, 1) + (−1,−2) = (1,−1) 6∈ D (porque?).
(e) E não é subespaço pois embora 0 ∈ E dado (1, 1), (2, 4) ∈ E, (1, 1) + (2, 4) =

(3, 5) 6∈ E (não é fechado para soma).
Exemplo 3.9 Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial R3:
(a) A = {(x, y, 0), x, y ∈ R}. (b) B = {(x, y, 1), x, y ∈ R}.
Solução: (a) A é subespaço vetorial. De fato:

• (0, 0, 0) ∈ A (tome x = y = 0).
• Sejam (x1, y1, 0), (x2, y2, 0) ∈ A. Então (x1, y1, 0)+(x2, y2, 0) = (x1+x2, y1+y2, 0) ∈
A.

• Sejam (x, y, 0) ∈ A e α ∈ R. Então α(x, y, 0) = (αx, αy, 0) ∈ A.
(b) B não é subespaço vetorial. Note que B é a translação do item (a) pelo vetor (0, 0, 1).
De fato:

• (0, 0, 0) 6∈ B.
• Sejam (x1, y1, 1), (x2, y2, 1) ∈ B. Então (x1, y1, 1)+(x2, y2, 1) = (x1+x2, y1+y2, 2) 6∈
B.

• Sejam (x, y, 1) ∈ B e α ∈ R. Então α(x, y, 1) = (αx, αy, α) 6∈ B, se α 6= 1.
Exemplo 3.10 Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial R4:
(a) A = {(2a− 3b, 0, a, b− a), a, b ∈ R}. (b) B = 〈u,v,w〉, com u,v,w ∈ R4.
Solução: (a) A é subespaço vetorial (um plano passando pela origem). De fato:

• 0 ∈ A (tome a = b = 0).
• Dados v1,v2 ∈ A, v1 = (2a1 − 3b1, 0, a1, b1 − a1), v2 = (2a2 − 3b2, 0, a2, b2 − a2).
Logo v1 + v2 = (2(a1 +a2)− 3(b1 + b2), 0, a1 +a2, a2 + b2− (a1 +a2)). Assim definida
a = a1 + a2 e b = b1 + b2 verifica-se que v1 + v2 ∈ A.
• Dado β ∈ R, βv1 = (2βa1 − 3βb1, 0, βa1, βb1 − βa1). Definindo a = βa1 e b = βb1
verifica-se que v1 ∈ A.
(b) B é subespaço vetorial. Deixamos para o leitor verificar. Reveja a Definição 1.12 da
p.15 (espaço gerado).

Exemplo 3.11 Considere o espaço vetorial V e u,w ∈ V . Verifique se é subespaço vetorial
de V :
(a) A = {v ∈ V | v = αu, α ∈ R}. (b) B = {v ∈ V | v = αu + w, α ∈ R}.
Solução: (a) A é subespaço vetorial (é uma reta paralela a v passando pela origem). De
fato:

3.1. ESPAÇO E SUBESPAÇO VETORIAL 69

• 0 ∈ A (tome α = 0).
• Dados v1,v2 ∈ A, v1 = α1u, v2 = α2u. Logo v1 + v2 = (α1 + α2)u ∈ A.
• Dado β ∈ R, βv1 = (βα1)u1 ∈ A.
(b) 0 ∈ B se, e somente se, existe α0 ∈ R tal que α0u + w = 0, ou seja, w = −α0u,
ou seja se w é múltiplo de u. Neste caso αu + w = αu − α0u = (α − α0)u. Assim todos
os vetores são múltiplos de u e A = B é um subespaço vetorial. Caso contrário (se w não é
múltiplo de v), como 0 6∈ B, B não é subespaço vetorial.

Exemplo 3.12 (espaço vetorial e matrizes) Considere a matriz A =

 ↑v1
↓
· · ·

↑
vn
↓


.

Determine se é subespaço vetorial:

(a) V = {x ∈ Rn| Ax = 0} ⊂ Rn, o conjunto-solução do sistema linear homogêneo
Ax = 0;
(b) W = {x ∈ Rn| Ax = b} ⊂ Rn, com b 6= 0, o conjunto-solução do sistema linear
não-homogêneo Ax = b;
(c) Z = {y ∈ Rm| y = Ax; x ∈ Rn} ⊂ Rm.
Solução: (a) V é subespaço vetorial do Rn. De fato é claro que 0 ∈ V pois é 0 é solução
do sistema homogêneo. Além disso, pela linearidade do produto matriz-vetor (Lema 2.20 da

p.54), se u e v são soluções de um sistema homogêneo então u + v e ku também são para
todo k ∈ R.
(b) W não é subespaço vetorial pois é claro que 0 6∈ W (porque?)
(c) Pelas interpretações do produto matriz-vetor (veja página 53), y = Ax =

n∑
i=1

xivi.

Logo Z =

{
n∑
i=1

xivi| xi ∈ R
}
, que é igual ao espaço gerado pelas colunas da matriz, isto é,

Z = 〈v1,v2, .