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DisciplinaÁlgebra Linear II915 materiais8.026 seguidores
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. . ,vn\u3009. Logo Z é subespaço vetorial. Z será de\ufb01nido (veja de\ufb01nição abaixo)
como imagem da matriz A.
Estes exemplos apresentam dois subespaços associados a uma matriz que são muito
importantes para a teoria:
De\ufb01nição 3.7 (núcleo e imagem de matriz) Dada uma matriz A, chamamos de núcleo
da matriz A, denotado por Nuc(A), o subespaço-solução do sistema homogêneo Ax = 0 e
de imagem da matriz, denotado por Im(A), o subespaço vetorial gerado pelas colunas da
matriz A.
Como se comportam subespaços vetoriais com relação as operações de união e interseção
de conjuntos?
Exemplo 3.13 Considere H e K dois planos em R3 passando pela origem com H 6= K.
Determine se são subespaços vetoriais de R3:
(a) H \u2229K. (b) H \u222aK.
Solução: (a) A interseção é pois será uma reta passando pela origem.
(b) Não será pois embora 0 pertença a união, a soma de vetores não-nulos, um de cada
plano, não pertencerá a nenhum dos dois.
70 CAPÍTULO 3. ESPAÇO VETORIAL
Exemplo 3.14 ConsidereH eK subespaços vetoriais de V . Determine seH\u2229K é subespaço
vetorial de V .
Solução: A interseção será subespaço pois 0 pertence aos dois, e portanto a interseção. Além
disso dado u,v \u2208 H \u2229K, u + v \u2208 H (pois H é subespaço) e \u2208 K (pois K é subespaço).
Logo u+v \u2208 H\u2229K. De forma análoga a interseção é fechada para multiplicação por escalar.
De\ufb01nição 3.8 (soma de subespaços) De\ufb01nimos a soma de subespaços vetoriais H
e K por
H +K = {h + k | h \u2208 H,k \u2208 K}.
Exemplo 3.15 Dados H e K subespaços vetoriais de V , mostre que H + K é subespaço
vetorial.
Solução: Tomando h = k = 0, h + k = 0 \u2208 H + K. Se u,v \u2208 H + K, u = h1 + k1 e
v = h2 + k2 com hi \u2208 H e ki \u2208 K com i = 1, 2. Assim u + v = (h1 + h2) + (k1 + k2).
Como h1 + h2 \u2208 H e k1 + k2 \u2208 K, a soma pertence a H + K. De forma análoga prova-se
que é fechado para multiplicação por escalar.
Exemplo 3.16 Considere os vetores não-nulos u e v em R3 não-colineares, um plano \u3a0
passando pela origem que não contém estes vetores e um vetor não-nulo w \u2208 \u3a0. Determine
(geometricamente) a soma de:
(a) \u3008u\u3009+ \u3008v\u3009; (b) \u3008u\u3009+ \u3008w\u3009; (c) \u3008u\u3009+ \u3a0; (d) \u3008w\u3009+ \u3a0; (e) \u3008u\u3009+ \u3008u\u3009;
Solução: (a) \u3008u,v\u3009. (b) \u3008u,w\u3009, que é diferente de \u3a0. (c) R3 pois u 6\u2208 \u3a0. (d) \u3a0 pois
w \u2208 \u3a0. (e) \u3008u\u3009.
3.2 Combinação Linear e Espaço Gerado
Recomendo que inicialmente o leitor reveja com cuidado os conceitos de combinação linear
(De\ufb01nição 1.11 da p.14) e espaço gerado (De\ufb01nição 1.12 da p.15) ambas do Capítulo 1 no
contexto do espaço vetorial Rn. Reveja os exemplos. As mesmas de\ufb01nições valem para todo
espaço vetorial.
Exemplo 3.17 Determine se (2, 1, 7) é combinação linear de (1, 2, 3), (4, 5, 6) e (7, 8, 7).
Solução: Temos que veri\ufb01car se existem \u3b1, \u3b2, \u3b3 \u2208 R tais que \u3b1(1, 2, 3) + \u3b2(4, 5, 6) +
\u3b3(7, 8, 7) = ((\u3b1 + 4\u3b2 + 7\u3b3), (2\u3b1 + 5\u3b2 + 8\u3b3), (3\u3b1 + 6\u3b2 + 7\u3b3)) = (2, 1, 7).
Precisamos resolver o sistema:
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
1\u3b1 +4\u3b2 +7\u3b3 = 2
2\u3b1 +5\u3b2 +8\u3b3 = 1
3\u3b1 +6\u3b2 +7\u3b3 = 7
.
Escalonando,
\uf8ee\uf8f0 1 4 7 22 5 8 1
3 6 7 7
\uf8f9\uf8fb\u223c
\uf8ee\uf8f0 1 4 7 20 \u22123 \u22126 \u22123
0 0 \u22122 7
\uf8f9\uf8fb\u223c
\uf8ee\uf8f0 1 0 0 \u22125.50 1 0 8
0 0 1 \u22123.5
\uf8f9\uf8fb
.
Como o sistema possui solução (poderiam ser in\ufb01nitas soluções, mas é única), obtemos
que é combinação linear e que \u3b1 = \u22125.5, \u3b2 = 8, \u3b3 = \u22123.5.
O exemplo anterior mostra a conexão entre combinações lineares e sistemas. Para saber se
um vetor é combinação linear de outros vetores (ou não) precisamos resolver um sistema
linear.
3.3. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 71
Lema 3.9 (conjunto gerado é subespaço) H = \u3008v1,v2, . . . ,vp\u3009 é um subespaço veto-
rial.
Prova: Dados u,v \u2208 H, u =
p\u2211
i=1
uivi, w =
p\u2211
i=1
wivi. Então tomando ui = 0 concluímos
que 0 \u2208 H. A soma u + w =
p\u2211
i=1
(ui + wi)vi \u2208 H. Finalmente, dado \u3b1 \u2208 R, \u3b1u =
p\u2211
i=1
(\u3b1ui)vi \u2208 H.
Exemplo 3.18 Mostre que: \u3008(1, 1, 0), (0, 1, 0)\u3009 6= R2.
Solução: Observe que (0, 0, 1) não pertence ao espaço gerado pois deveríamos ter (0, 0, 1) =
a(1, 1, 0) + b(0, 1, 0) que gera um sistema impossível (1 = 0!).
Exemplo 3.19 Considere V o plano 3x\u2212 2y+ z = 0 e W o plano x\u2212 3y\u2212 2z = 0 em R3.
Determine o conjunto gerador de V \u2229W .
Solução: Como os vetores (x, y, z) pertencem a interseção devem satisfazer as duas equa-
ções. Basta resolver o sistema
{
3x\u2212 2y + z = 0
x\u2212 3y \u2212 2z = 0 . Obtemos (x, y, z) = t(\u22121,\u22121, 1). Logo
V \u2229W = \u3008(\u22121,\u22121, 1)\u3009.
3.3 Dependência e Independência Linear
Recomendo que inicialmente o leitor estude com cuidado o Lema 1.14 da p.16 que caracteriza
quando um vetor é redundante numa lista de vetores e a de\ufb01nição de vetores LIs e LDs
(De\ufb01nição 1.15 da p.17), ambas do Capítulo 1 no contexto do espaço vetorial Rn. Reveja os
exemplos. As mesmas de\ufb01nições valem para espaço vetoriais quaisquer.
Apresentamos convenções (pouco interessantes) sobre o conjunto vazio.
Convenção 3.10 (conjunto vazio) Convencionamos que:
(a) \u3008\u2205\u3009 = {0}, isto é, o espaço gerado por um conjunto vazio de vetores é o subespaço
trivial {0}.
(b) O conjunto vazio é LI.
Observação 3.3 (Matrizes e Vetores LIs) Considere os vetores v1,v2, . . . ,vn em
Rm. Pela De\ufb01nição 1.15 da p.17 eles serão Linearmente Independentes (LIs) se, e
somente se,
n\u2211
i=1
xivi = 0 implicar que x = (x1, . . . , xn) = 0. Assim de\ufb01nindo
A =
\uf8ee\uf8f0 \u2191v1
\u2193
· · ·
\u2191
vn
\u2193
\uf8f9\uf8fb
, serão LIs se, e somente se, o conjunto solução do sistema ho-
mogêneo Ax = 0 for trivial, isto é, igual a {0}. Portanto para veri\ufb01car se vetores em Rm
são LIs devemos resolver um sistema linear.
72 CAPÍTULO 3. ESPAÇO VETORIAL
Exemplo 3.20 Determine se são LIs ou LDs:
(a) (1, 2, 3), (4, 5, 6) e (7, 8, 7). (b) (1, 2, 3), (4, 5, 6) e (7, 8, 9).
Solução: (a) Temos que veri\ufb01car se existem \u3b1, \u3b2, \u3b3 \u2208 R não-nulos tais que \u3b1(1, 2, 3) +
\u3b2(4, 5, 6) + \u3b3(7, 8, 7) = ((\u3b1 + 4\u3b2 + 7\u3b3), (2\u3b1 + 5\u3b2 + 8\u3b3), (3\u3b1 + 6\u3b2 + 7\u3b3)) = (0, 0, 0).
Existe solução não-trivial para o sistema:
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
1\u3b1 +4\u3b2 +7\u3b3 = 0
2\u3b1 +5\u3b2 +8\u3b3 = 0
3\u3b1 +6\u3b2 +7\u3b3 = 0
?
Escalonando parcialmente,
\uf8ee\uf8f0 1 4 7 02 5 8 0
3 6 7 0
\uf8f9\uf8fb \u223c
\uf8ee\uf8f0 1 4 7 00 \u22123 \u22126 0
0 0 \u22122 0
\uf8f9\uf8fb
.
Concluímos que o sistema possui somente solução trivial. Portanto são LIs.
(b) Temos que veri\ufb01car se existem \u3b1, \u3b2, \u3b3 \u2208 R não-nulos tais que \u3b1(1, 2, 3) + \u3b2(4, 5, 6) +
\u3b3(7, 8, 9) = ((\u3b1 + 4\u3b2 + 7\u3b3), (2\u3b1 + 5\u3b2 + 8\u3b3), (3\u3b1 + 6\u3b2 + 9\u3b3)) = (0, 0, 0).
Precisamos resolver o sistema:
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
1\u3b1 +4\u3b2 +7\u3b3 = 0
2\u3b1 +5\u3b2 +8\u3b3 = 0
3\u3b1 +6\u3b2 +9\u3b3 = 0
.
Escalonando,
\uf8ee\uf8f0 1 4 7 02 5 8 0
3 6 9 0
\uf8f9\uf8fb \u223c
\uf8ee\uf8f0 1 4 7 00 \u22123 \u22126 0
0 0 0 0
\uf8f9\uf8fb .
Concluímos que o sistema possui in\ufb01nitas soluções. Portanto existe solução não-trivial do
sistema e portanto são LDs.
Observação 3.4 Para determinar se é LI ou LD basta escalonar matriz com vetores em
cada coluna (veja os dois exemplos anteriores novamente). Não precisa ser forma total-
mente escalonada. Isto segue do Corolário 2.16 da p.46, pois precisamos saber somente se
o sistema homogêneo possui solução única ou in\ufb01nitas soluções, não precisamos calcular
a solução.
Surpreendentemente (ver Lema 3.15 da p.74), também podemos determinar se é LI ou LD
escalonando matriz com vetores em cada linha, que de forma geral é um método mais
e\ufb01ciente pois linhas (vetores neste caso) será menor que o número de colunas (dimensão
do espaço ambiente).
3.4 Base e Dimensão
Considere os vetores do R2 e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1). Dado v = (v1, v2) \u2208 R2 qualquer, a
única forma de escrever v como combinação linear de e1 e e2 é se v = (v1, v2) = a1(1, 0) +
a2(0, 1) = (a1, a2), ou seja, se ai = vi para i = 1, 2. Concluímos que v se escreve como
combinação linear única de e1 e e2. Por contraste, dados w1 = (1, 1) e w2 = (\u22121,\u22121) o
vetor v = (3, 3) pode ser escrito como (entre in\ufb01nitas outras possibilidades): v = 3w1+0w2,
v = 0w1 \u2212 3w2, v = 4w1 + 1w2, v = 2w1 \u2212 1w2, . . . , etc. Isto motiva a de\ufb01nição abaixo.
De\ufb01nição 3.11 (base) Um conjunto ordenado
1 S é base se todo vetor se expressa de
forma única como combinação linear dos elementos de S.
1
Ao invés de conjunto ordenado, o termo mais correto seria uma n-upla de vetores ou uma lista.