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. . ,vn〉. Logo Z é subespaço vetorial. Z será definido (veja definição abaixo)
como imagem da matriz A.
Estes exemplos apresentam dois subespaços associados a uma matriz que são muito

importantes para a teoria:

Definição 3.7 (núcleo e imagem de matriz) Dada uma matriz A, chamamos de núcleo
da matriz A, denotado por Nuc(A), o subespaço-solução do sistema homogêneo Ax = 0 e
de imagem da matriz, denotado por Im(A), o subespaço vetorial gerado pelas colunas da
matriz A.

Como se comportam subespaços vetoriais com relação as operações de união e interseção

de conjuntos?

Exemplo 3.13 Considere H e K dois planos em R3 passando pela origem com H 6= K.
Determine se são subespaços vetoriais de R3:
(a) H ∩K. (b) H ∪K.
Solução: (a) A interseção é pois será uma reta passando pela origem.

(b) Não será pois embora 0 pertença a união, a soma de vetores não-nulos, um de cada
plano, não pertencerá a nenhum dos dois.

70 CAPÍTULO 3. ESPAÇO VETORIAL

Exemplo 3.14 ConsidereH eK subespaços vetoriais de V . Determine seH∩K é subespaço
vetorial de V .

Solução: A interseção será subespaço pois 0 pertence aos dois, e portanto a interseção. Além
disso dado u,v ∈ H ∩K, u + v ∈ H (pois H é subespaço) e ∈ K (pois K é subespaço).
Logo u+v ∈ H∩K. De forma análoga a interseção é fechada para multiplicação por escalar.

Definição 3.8 (soma de subespaços) Definimos a soma de subespaços vetoriais H
e K por

H +K = {h + k | h ∈ H,k ∈ K}.
Exemplo 3.15 Dados H e K subespaços vetoriais de V , mostre que H + K é subespaço
vetorial.

Solução: Tomando h = k = 0, h + k = 0 ∈ H + K. Se u,v ∈ H + K, u = h1 + k1 e
v = h2 + k2 com hi ∈ H e ki ∈ K com i = 1, 2. Assim u + v = (h1 + h2) + (k1 + k2).
Como h1 + h2 ∈ H e k1 + k2 ∈ K, a soma pertence a H + K. De forma análoga prova-se
que é fechado para multiplicação por escalar.

Exemplo 3.16 Considere os vetores não-nulos u e v em R3 não-colineares, um plano Π
passando pela origem que não contém estes vetores e um vetor não-nulo w ∈ Π. Determine
(geometricamente) a soma de:

(a) 〈u〉+ 〈v〉; (b) 〈u〉+ 〈w〉; (c) 〈u〉+ Π; (d) 〈w〉+ Π; (e) 〈u〉+ 〈u〉;
Solução: (a) 〈u,v〉. (b) 〈u,w〉, que é diferente de Π. (c) R3 pois u 6∈ Π. (d) Π pois
w ∈ Π. (e) 〈u〉.

3.2 Combinação Linear e Espaço Gerado

Recomendo que inicialmente o leitor reveja com cuidado os conceitos de combinação linear

(Definição 1.11 da p.14) e espaço gerado (Definição 1.12 da p.15) ambas do Capítulo 1 no

contexto do espaço vetorial Rn. Reveja os exemplos. As mesmas definições valem para todo
espaço vetorial.

Exemplo 3.17 Determine se (2, 1, 7) é combinação linear de (1, 2, 3), (4, 5, 6) e (7, 8, 7).

Solução: Temos que verificar se existem α, β, γ ∈ R tais que α(1, 2, 3) + β(4, 5, 6) +
γ(7, 8, 7) = ((α + 4β + 7γ), (2α + 5β + 8γ), (3α + 6β + 7γ)) = (2, 1, 7).

Precisamos resolver o sistema:


1α +4β +7γ = 2
2α +5β +8γ = 1
3α +6β +7γ = 7
.

Escalonando,

 1 4 7 22 5 8 1
3 6 7 7

∼
 1 4 7 20 −3 −6 −3

0 0 −2 7

∼
 1 0 0 −5.50 1 0 8

0 0 1 −3.5


.

Como o sistema possui solução (poderiam ser infinitas soluções, mas é única), obtemos

que é combinação linear e que α = −5.5, β = 8, γ = −3.5.
O exemplo anterior mostra a conexão entre combinações lineares e sistemas. Para saber se

um vetor é combinação linear de outros vetores (ou não) precisamos resolver um sistema

linear.

3.3. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 71

Lema 3.9 (conjunto gerado é subespaço) H = 〈v1,v2, . . . ,vp〉 é um subespaço veto-
rial.

Prova: Dados u,v ∈ H, u =
p∑
i=1

uivi, w =

p∑
i=1

wivi. Então tomando ui = 0 concluímos

que 0 ∈ H. A soma u + w =
p∑
i=1

(ui + wi)vi ∈ H. Finalmente, dado α ∈ R, αu =
p∑
i=1

(αui)vi ∈ H.

Exemplo 3.18 Mostre que: 〈(1, 1, 0), (0, 1, 0)〉 6= R2.

Solução: Observe que (0, 0, 1) não pertence ao espaço gerado pois deveríamos ter (0, 0, 1) =
a(1, 1, 0) + b(0, 1, 0) que gera um sistema impossível (1 = 0!).

Exemplo 3.19 Considere V o plano 3x− 2y+ z = 0 e W o plano x− 3y− 2z = 0 em R3.
Determine o conjunto gerador de V ∩W .

Solução: Como os vetores (x, y, z) pertencem a interseção devem satisfazer as duas equa-

ções. Basta resolver o sistema

{
3x− 2y + z = 0
x− 3y − 2z = 0 . Obtemos (x, y, z) = t(−1,−1, 1). Logo

V ∩W = 〈(−1,−1, 1)〉.

3.3 Dependência e Independência Linear

Recomendo que inicialmente o leitor estude com cuidado o Lema 1.14 da p.16 que caracteriza

quando um vetor é redundante numa lista de vetores e a definição de vetores LIs e LDs

(Definição 1.15 da p.17), ambas do Capítulo 1 no contexto do espaço vetorial Rn. Reveja os
exemplos. As mesmas definições valem para espaço vetoriais quaisquer.

Apresentamos convenções (pouco interessantes) sobre o conjunto vazio.

Convenção 3.10 (conjunto vazio) Convencionamos que:

(a) 〈∅〉 = {0}, isto é, o espaço gerado por um conjunto vazio de vetores é o subespaço
trivial {0}.
(b) O conjunto vazio é LI.

Observação 3.3 (Matrizes e Vetores LIs) Considere os vetores v1,v2, . . . ,vn em
Rm. Pela Definição 1.15 da p.17 eles serão Linearmente Independentes (LIs) se, e

somente se,

n∑
i=1

xivi = 0 implicar que x = (x1, . . . , xn) = 0. Assim definindo

A =

 ↑v1
↓
· · ·

↑
vn
↓


, serão LIs se, e somente se, o conjunto solução do sistema ho-

mogêneo Ax = 0 for trivial, isto é, igual a {0}. Portanto para verificar se vetores em Rm
são LIs devemos resolver um sistema linear.

72 CAPÍTULO 3. ESPAÇO VETORIAL

Exemplo 3.20 Determine se são LIs ou LDs:

(a) (1, 2, 3), (4, 5, 6) e (7, 8, 7). (b) (1, 2, 3), (4, 5, 6) e (7, 8, 9).

Solução: (a) Temos que verificar se existem α, β, γ ∈ R não-nulos tais que α(1, 2, 3) +
β(4, 5, 6) + γ(7, 8, 7) = ((α + 4β + 7γ), (2α + 5β + 8γ), (3α + 6β + 7γ)) = (0, 0, 0).

Existe solução não-trivial para o sistema:


1α +4β +7γ = 0
2α +5β +8γ = 0
3α +6β +7γ = 0
?

Escalonando parcialmente,

 1 4 7 02 5 8 0
3 6 7 0

 ∼
 1 4 7 00 −3 −6 0

0 0 −2 0


.

Concluímos que o sistema possui somente solução trivial. Portanto são LIs.

(b) Temos que verificar se existem α, β, γ ∈ R não-nulos tais que α(1, 2, 3) + β(4, 5, 6) +
γ(7, 8, 9) = ((α + 4β + 7γ), (2α + 5β + 8γ), (3α + 6β + 9γ)) = (0, 0, 0).

Precisamos resolver o sistema:


1α +4β +7γ = 0
2α +5β +8γ = 0
3α +6β +9γ = 0
.

Escalonando,

 1 4 7 02 5 8 0
3 6 9 0

 ∼
 1 4 7 00 −3 −6 0

0 0 0 0

 .
Concluímos que o sistema possui infinitas soluções. Portanto existe solução não-trivial do

sistema e portanto são LDs.

Observação 3.4 Para determinar se é LI ou LD basta escalonar matriz com vetores em

cada coluna (veja os dois exemplos anteriores novamente). Não precisa ser forma total-

mente escalonada. Isto segue do Corolário 2.16 da p.46, pois precisamos saber somente se

o sistema homogêneo possui solução única ou infinitas soluções, não precisamos calcular

a solução.

Surpreendentemente (ver Lema 3.15 da p.74), também podemos determinar se é LI ou LD

escalonando matriz com vetores em cada linha, que de forma geral é um método mais

eficiente pois linhas (vetores neste caso) será menor que o número de colunas (dimensão

do espaço ambiente).

3.4 Base e Dimensão

Considere os vetores do R2 e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1). Dado v = (v1, v2) ∈ R2 qualquer, a
única forma de escrever v como combinação linear de e1 e e2 é se v = (v1, v2) = a1(1, 0) +
a2(0, 1) = (a1, a2), ou seja, se ai = vi para i = 1, 2. Concluímos que v se escreve como
combinação linear única de e1 e e2. Por contraste, dados w1 = (1, 1) e w2 = (−1,−1) o
vetor v = (3, 3) pode ser escrito como (entre infinitas outras possibilidades): v = 3w1+0w2,
v = 0w1 − 3w2, v = 4w1 + 1w2, v = 2w1 − 1w2, . . . , etc. Isto motiva a definição abaixo.

Definição 3.11 (base) Um conjunto ordenado

1 S é base se todo vetor se expressa de
forma única como combinação linear dos elementos de S.

1

Ao invés de conjunto ordenado, o termo mais correto seria uma n-upla de vetores ou uma lista.