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Disciplina:Álgebra Linear II693 materiais7.563 seguidores
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conjunto não importa ordem nem termos repetidos; numa n-upla (ou lista) podemos ter termos repetidos e

3.4. BASE E DIMENSÃO 73

Exemplo 3.21 Determine se o conjunto ordenado:

(a) {(0,−1), (1, 0), (0, 1)} é base do R2;
(b) α = {(1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)} é base do R4;
(c) β = {(1, 1, . . . , 1), (0, 1, . . . , 1), . . . , (0, . . . , 0, 1)} é base do Rn.

Solução: (a) Não é base pois dado (a, b) ∈ R2, (a, b) = a(1, 0) + (b + λ)(0, 1) + λ(0,−1)
para qualquer λ ∈ R. Ou seja, todo vetor do R2 pode ser expresso porém de diversas formas
distintas. Por exemplo (3, 2) = 3(1, 0) + 2(0, 1) + 0(0,−1) = 3(1, 0) + 1(0, 1)− 1(0,−1).
(b) Dado v = (v1, v2, v3, v4) ∈ R4, queremos escrever v = (v1, v2, v3, v4) = a1(1, 1, 1, 1)+

a2(0, 1, 1, 1)+a3(0, 0, 1, 1)+a4(0, 0, 0, 1), combinação linear do conjunto ordenado α. Vamos
obter o sistema: 

a1 = v1
a1 + a2 = v2

a1 + a2 + a3 = v3
a1 + a2 + a3 + a4 = v4

Este sistema é triangular superior e pode ser facilmente resolvido. Possui solução única:

a1 = v1, a2 = v2− v1, a3 = v3− v2, a4 = v4− v3. Como a solução é única (sistema triangular
superior), α é base.
(c) Denotando β = {b1,b2, . . . ,bn}, dado um vetor v = (v1, . . . , vn) ∈ Rn, v =∑
αibi = (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3, . . .) se, e somente se,

α1 = v1
α1 + α2 = v2
α1 + α2 + α3 = v3
.

.

.

⇐⇒


α1 = v1
α2 = v2 − α1 = v2 − v1
α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2
.

.

.

.

Como o sistema possui solução única (triangular superior), β é base.
Vamos generalizar os comentários que fizemos antes da Definição 3.11. Uma nota-

ção muito utilizada é definir os seguintes vetores de Rn: e1 = (1, 0, 0, . . . , 0, 0), e2 =
(0, 1, 0, . . . , 0, 0),. . . , en = (0, 0, 0, . . . , 0, 1). Dado um vetor v ∈ Rn, v = (v1, . . . , vn) =
n∑
i=1

αiei = (α1, α2, . . . , αn) se, e somente se, αi = vi para todo i = 1, . . . , n. Concluí-

mos que todo vetor do Rn pode ser expresso como combinação linear única dos vetores
e1, e2, . . . , en, formando uma base do Rn.

Definição 3.12 (base canônica) O conjunto ordenado ε = {e1, e2, . . . , en} é chamado de
base canônica do Rn.

Na prática, o Lema abaixo é utilizado para garantir que um conjunto ordenado é base.

Lema 3.13 (caracterização de base) O conjunto ordenado β = {v1,v2, . . . ,vn} de ele-
mentos do espaço vetorial V é base do subespaço vetorial H ⊂ V se, e só se:
(a) β gera H, isto é, H = 〈v1,v2, . . . ,vn〉;
(b) β é LI.

a ordem importa. Assim, embora os conjuntos {(1, 1), (1, 1)} e {(1, 1)} sejam idênticos, considerados como
conjuntos ordenados são distintos pois um possui 1 elemento e outro 2 elementos. Além disso um é LI o

outro é LD. Neste texto, e em muitos textos de álgebra linear, quando se diz que um conjunto é base está

subentendido que trata-se de um conjunto ordenado.

74 CAPÍTULO 3. ESPAÇO VETORIAL

Prova: Se: Seja β base de H. Da definição de base, segue que β gera H. Da unicidade
de representação de 0, segue que β é LI.
Só se: Seja β LI e gerador de H. Todo vetor v ∈ H pode ser escrito como CL dos vetores
de β. Vamos mostrar que esta representação é única. Suponha v =

n∑
i=0

αivi =
n∑
i=0

ξivi.

Então,

n∑
i=0

(αi − ξi)vi = 0. Como β é LI, αi − ξi = 0 para i = 0, . . . , n. Portanto αi = ξi
para i = 0, . . . , n e a representação de v é única.

Observação 3.5 Pelo Lema 3.13, para que um conjunto seja base ele deve ser:

(a) grande o suficiente para gerar todos os vetores;

(b) pequeno o suficiente para ser LI.

Exemplo 3.22 Verifique se é base do R2:
(a) {(1, 0), (1, 1), (0, 1)}; (b) {(1, 0), (1, 1)}.
Solução: (a) Gera o R2 pois dado (a, b) ∈ R2, (a, b) = a(1, 0) + 0(1, 1) + b(0, 1), mas não
é base de R2 pois não é conjunto LI: (1, 1) = (1, 0) + (0, 1). Assim, por exemplo, (1, 1) NÃO
se expressa de forma única: (1, 1) = 1(1, 0) + 0(1, 1) + 1(0, 1) = 0(1, 0) + 1(1, 1) + 0(0, 1).
(b) Gera o R2 pois dado (a, b) ∈ R2, (a, b) = a(1, 0) + (b− a)(1, 1). São LIs (um não é
múltiplo do outro). Logo é base do R2.

Definição 3.14 (dimensão) A dimensão de um (sub)espaço vetorial é o número de veto-

res em (qualquer) uma de suas bases, caso seja finito, ou é dito de dimensão infinita.

Note que o mesmo (sub)espaço vetorial pode ser gerado por diversos conjuntos ordenados

de vetores. Para que esta definição faça sentido temos que provar que o número de vetores

será sempre o mesmo independente da base. Remetemos o leitor para Seção 3.6 da p.82

para a demonstração deste importante (e clássico) resultado.

Provamos no Corolário 3.29 da p.84 que em um espaço de dimensão n, dado β =
{v1,v2, . . . ,vp} (um conjunto ordenado de vetores com p elementos), se:
• p > n, então β não é LI (e não é base);
• p < n, então β não é gerador (e não é base); e
• p = n, então β é gerador se e só se é LI, se e só se é base.
Dado um espaço gerado por uma lista de vetores do Rn como extrair uma base?

Como operações elementares não alteram o espaço gerado, isto pode ser feito escalonando

uma matriz que tem estes vetores como linhas.

Lema 3.15 (escalonamento e espaço gerado) Seja A =

 ← u1 →· · · · · ·
← um →


e B = ← v1 →· · · · · ·

← vk →


matrizes equivalentes, isto é, B é obtida através de operações elementares

aplicadas em A. Então os espaços gerados 〈u1,u2, . . . ,um〉 e 〈v1,v2, . . . ,vk〉 são iguais.
Além disso, seB estiver escalonada (não precisa ser totalmente escalonada) e após descarte
das linhas nulas então {v1,v2, . . . ,vk} é LI.

3.5. POLINÔMIOS E FUNÇÕES COMO VETORES 75

Prova: Basta verificar que cada uma das operações elementares preserva o espaço gerado:

(a) Trocar a ordem das linhas claramente não altera;

(b) Multiplicar uma linha por um escalar não-nulo. Vamos provar quando o espaço é

gerado por um único vetor. Suponha k 6= 0, vamos mostrar que 〈v〉 = 〈kv〉. De fato, seja
w = av ∈ 〈v〉. Então w = a/k(kv) ∈ 〈kv〉. Por outro lado, se w = bv ∈ 〈kv〉. Então
w = bk(v) ∈ 〈v〉.
(c) Substituir linha por sua soma com múltiplo de outra. Podemos verificar no caso de

espaço gerado por dois vetores: Vamos provar que 〈u,v〉 = 〈u + av,v〉. Seja w = cu+dv ∈
〈u,v〉. Entãow = c(u+av)+(d−ac)v ∈ 〈u + av,v〉. Por outro lado sew = c(u+av)+dv,
então, w = cu + (ac+ d)v ∈ 〈u + av,v〉.
(d) Descartar linhas só de zeros preserva pois 0 é sempre um vetor LD.
Se a matriz B estiver escalonada, então qualquer combinação linear de {v1,v2, . . . ,vk}
resultará num sistema tipo triangular inferior (similar a forma escalonada, que é tipo triangular

superior), cuja única solução é a trivial.

Exemplo 3.23 Determine uma base para o espaço gerado por

W = 〈(1, 2, 1,−1), (2, 1, 0, 2), (3, 3, 1, 1), (4, 5, 2, 0)〉 .

Solução: Seja A =


1 2 1 −1
2 1 0 2
3 3 1 1
4 5 2 0

. Escalonando obtemos B = [ 1 2 1 −10 1 2/3 −4/3
]
(duas linhas foram descartados por conter somente zeros). Assim

W = 〈(1, 2, 1,−1), (0, 1, 2/3,−4/3)〉. É claro que formam base pois a matriz está escalonada.

Observação 3.6 (Software Algébrico) Vamos cacular com o Maxima este exem-

plo. Entramos a matriz onde cada coluna é um vetor que gera W :
M: matrix( [1,2,1,-1], [2,1,0,2], [3,3,1,1], [4,5,2,0]);. Calculamos o es-

paço gerado pelas colunas com o comando columnspace(M).

3.5 Polinômios e Funções como Vetores

Espaços vetoriais de funções são utilizados (entre inúmeras aplicações) para se entender:

(a) como aproximar uma função utilizando polinômios;

(b) métodos numéricos que aproximam derivada ou integral;

(c) espaços de soluções de equações diferenciais.

3.5.1 Definição e Exemplos

Definição 3.16 (espaço vetorial de polinômios de grau máximo n) Seja
Pn = {a0 + a1x+ · · ·+ anxn; ai ∈ R} o conjunto dos polinômios com coeficientes
em R de grau até n. Definimos em Pn as operações:
(a) soma vetorial:

(
n∑
i=0

aix
i

)
+

(
n∑
i=0

bix
i

)
=

n∑
i=0

(ai + bi)x
i
;

(b) multiplicação por escalar: α

(
n∑
i=0

aix
i

)
=