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DisciplinaÁlgebra Linear II1.004 materiais8.164 seguidores
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conjunto não importa ordem nem termos repetidos; numa n-upla (ou lista) podemos ter termos repetidos e
3.4. BASE E DIMENSÃO 73
Exemplo 3.21 Determine se o conjunto ordenado:
(a) {(0,\u22121), (1, 0), (0, 1)} é base do R2;
(b) \u3b1 = {(1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)} é base do R4;
(c) \u3b2 = {(1, 1, . . . , 1), (0, 1, . . . , 1), . . . , (0, . . . , 0, 1)} é base do Rn.
Solução: (a) Não é base pois dado (a, b) \u2208 R2, (a, b) = a(1, 0) + (b + \u3bb)(0, 1) + \u3bb(0,\u22121)
para qualquer \u3bb \u2208 R. Ou seja, todo vetor do R2 pode ser expresso porém de diversas formas
distintas. Por exemplo (3, 2) = 3(1, 0) + 2(0, 1) + 0(0,\u22121) = 3(1, 0) + 1(0, 1)\u2212 1(0,\u22121).
(b) Dado v = (v1, v2, v3, v4) \u2208 R4, queremos escrever v = (v1, v2, v3, v4) = a1(1, 1, 1, 1)+
a2(0, 1, 1, 1)+a3(0, 0, 1, 1)+a4(0, 0, 0, 1), combinação linear do conjunto ordenado \u3b1. Vamos
obter o sistema: \uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f3
a1 = v1
a1 + a2 = v2
a1 + a2 + a3 = v3
a1 + a2 + a3 + a4 = v4
Este sistema é triangular superior e pode ser facilmente resolvido. Possui solução única:
a1 = v1, a2 = v2\u2212 v1, a3 = v3\u2212 v2, a4 = v4\u2212 v3. Como a solução é única (sistema triangular
superior), \u3b1 é base.
(c) Denotando \u3b2 = {b1,b2, . . . ,bn}, dado um vetor v = (v1, . . . , vn) \u2208 Rn, v =\u2211
\u3b1ibi = (\u3b11, \u3b11 + \u3b12, \u3b11 + \u3b12 + \u3b13, . . .) se, e somente se,\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\u3b11 = v1
\u3b11 + \u3b12 = v2
\u3b11 + \u3b12 + \u3b13 = v3
.
.
.
\u21d0\u21d2
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\u3b11 = v1
\u3b12 = v2 \u2212 \u3b11 = v2 \u2212 v1
\u3b13 = v3 \u2212 (\u3b11 + \u3b12) = v3 \u2212 v2
.
.
.
.
Como o sistema possui solução única (triangular superior), \u3b2 é base.
Vamos generalizar os comentários que \ufb01zemos antes da De\ufb01nição 3.11. Uma nota-
ção muito utilizada é de\ufb01nir os seguintes vetores de Rn: e1 = (1, 0, 0, . . . , 0, 0), e2 =
(0, 1, 0, . . . , 0, 0),. . . , en = (0, 0, 0, . . . , 0, 1). Dado um vetor v \u2208 Rn, v = (v1, . . . , vn) =
n\u2211
i=1
\u3b1iei = (\u3b11, \u3b12, . . . , \u3b1n) se, e somente se, \u3b1i = vi para todo i = 1, . . . , n. Concluí-
mos que todo vetor do Rn pode ser expresso como combinação linear única dos vetores
e1, e2, . . . , en, formando uma base do Rn.
De\ufb01nição 3.12 (base canônica) O conjunto ordenado \u3b5 = {e1, e2, . . . , en} é chamado de
base canônica do Rn.
Na prática, o Lema abaixo é utilizado para garantir que um conjunto ordenado é base.
Lema 3.13 (caracterização de base) O conjunto ordenado \u3b2 = {v1,v2, . . . ,vn} de ele-
mentos do espaço vetorial V é base do subespaço vetorial H \u2282 V se, e só se:
(a) \u3b2 gera H, isto é, H = \u3008v1,v2, . . . ,vn\u3009;
(b) \u3b2 é LI.
a ordem importa. Assim, embora os conjuntos {(1, 1), (1, 1)} e {(1, 1)} sejam idênticos, considerados como
conjuntos ordenados são distintos pois um possui 1 elemento e outro 2 elementos. Além disso um é LI o
outro é LD. Neste texto, e em muitos textos de álgebra linear, quando se diz que um conjunto é base está
subentendido que trata-se de um conjunto ordenado.
74 CAPÍTULO 3. ESPAÇO VETORIAL
Prova: Se: Seja \u3b2 base de H. Da de\ufb01nição de base, segue que \u3b2 gera H. Da unicidade
de representação de 0, segue que \u3b2 é LI.
Só se: Seja \u3b2 LI e gerador de H. Todo vetor v \u2208 H pode ser escrito como CL dos vetores
de \u3b2. Vamos mostrar que esta representação é única. Suponha v =
n\u2211
i=0
\u3b1ivi =
n\u2211
i=0
\u3beivi.
Então,
n\u2211
i=0
(\u3b1i \u2212 \u3bei)vi = 0. Como \u3b2 é LI, \u3b1i \u2212 \u3bei = 0 para i = 0, . . . , n. Portanto \u3b1i = \u3bei
para i = 0, . . . , n e a representação de v é única.
Observação 3.5 Pelo Lema 3.13, para que um conjunto seja base ele deve ser:
(a) grande o su\ufb01ciente para gerar todos os vetores;
(b) pequeno o su\ufb01ciente para ser LI.
Exemplo 3.22 Veri\ufb01que se é base do R2:
(a) {(1, 0), (1, 1), (0, 1)}; (b) {(1, 0), (1, 1)}.
Solução: (a) Gera o R2 pois dado (a, b) \u2208 R2, (a, b) = a(1, 0) + 0(1, 1) + b(0, 1), mas não
é base de R2 pois não é conjunto LI: (1, 1) = (1, 0) + (0, 1). Assim, por exemplo, (1, 1) NÃO
se expressa de forma única: (1, 1) = 1(1, 0) + 0(1, 1) + 1(0, 1) = 0(1, 0) + 1(1, 1) + 0(0, 1).
(b) Gera o R2 pois dado (a, b) \u2208 R2, (a, b) = a(1, 0) + (b\u2212 a)(1, 1). São LIs (um não é
múltiplo do outro). Logo é base do R2.
De\ufb01nição 3.14 (dimensão) A dimensão de um (sub)espaço vetorial é o número de veto-
res em (qualquer) uma de suas bases, caso seja \ufb01nito, ou é dito de dimensão in\ufb01nita.
Note que o mesmo (sub)espaço vetorial pode ser gerado por diversos conjuntos ordenados
de vetores. Para que esta de\ufb01nição faça sentido temos que provar que o número de vetores
será sempre o mesmo independente da base. Remetemos o leitor para Seção 3.6 da p.82
para a demonstração deste importante (e clássico) resultado.
Provamos no Corolário 3.29 da p.84 que em um espaço de dimensão n, dado \u3b2 =
{v1,v2, . . . ,vp} (um conjunto ordenado de vetores com p elementos), se:
\u2022 p > n, então \u3b2 não é LI (e não é base);
\u2022 p < n, então \u3b2 não é gerador (e não é base); e
\u2022 p = n, então \u3b2 é gerador se e só se é LI, se e só se é base.
Dado um espaço gerado por uma lista de vetores do Rn como extrair uma base?
Como operações elementares não alteram o espaço gerado, isto pode ser feito escalonando
uma matriz que tem estes vetores como linhas.
Lema 3.15 (escalonamento e espaço gerado) Seja A =
\uf8ee\uf8f0 \u2190 u1 \u2192· · · · · ·
\u2190 um \u2192
\uf8f9\uf8fb
e B =\uf8ee\uf8f0 \u2190 v1 \u2192· · · · · ·
\u2190 vk \u2192
\uf8f9\uf8fb
matrizes equivalentes, isto é, B é obtida através de operações elementares
aplicadas em A. Então os espaços gerados \u3008u1,u2, . . . ,um\u3009 e \u3008v1,v2, . . . ,vk\u3009 são iguais.
Além disso, seB estiver escalonada (não precisa ser totalmente escalonada) e após descarte
das linhas nulas então {v1,v2, . . . ,vk} é LI.
3.5. POLINÔMIOS E FUNÇÕES COMO VETORES 75
Prova: Basta veri\ufb01car que cada uma das operações elementares preserva o espaço gerado:
(a) Trocar a ordem das linhas claramente não altera;
(b) Multiplicar uma linha por um escalar não-nulo. Vamos provar quando o espaço é
gerado por um único vetor. Suponha k 6= 0, vamos mostrar que \u3008v\u3009 = \u3008kv\u3009. De fato, seja
w = av \u2208 \u3008v\u3009. Então w = a/k(kv) \u2208 \u3008kv\u3009. Por outro lado, se w = bv \u2208 \u3008kv\u3009. Então
w = bk(v) \u2208 \u3008v\u3009.
(c) Substituir linha por sua soma com múltiplo de outra. Podemos veri\ufb01car no caso de
espaço gerado por dois vetores: Vamos provar que \u3008u,v\u3009 = \u3008u + av,v\u3009. Seja w = cu+dv \u2208
\u3008u,v\u3009. Entãow = c(u+av)+(d\u2212ac)v \u2208 \u3008u + av,v\u3009. Por outro lado sew = c(u+av)+dv,
então, w = cu + (ac+ d)v \u2208 \u3008u + av,v\u3009.
(d) Descartar linhas só de zeros preserva pois 0 é sempre um vetor LD.
Se a matriz B estiver escalonada, então qualquer combinação linear de {v1,v2, . . . ,vk}
resultará num sistema tipo triangular inferior (similar a forma escalonada, que é tipo triangular
superior), cuja única solução é a trivial.
Exemplo 3.23 Determine uma base para o espaço gerado por
W = \u3008(1, 2, 1,\u22121), (2, 1, 0, 2), (3, 3, 1, 1), (4, 5, 2, 0)\u3009 .
Solução: Seja A =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 2 1 \u22121
2 1 0 2
3 3 1 1
4 5 2 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb. Escalonando obtemos B = [ 1 2 1 \u221210 1 2/3 \u22124/3
]
(duas linhas foram descartados por conter somente zeros). Assim
W = \u3008(1, 2, 1,\u22121), (0, 1, 2/3,\u22124/3)\u3009. É claro que formam base pois a matriz está escalonada.
Observação 3.6 (Software Algébrico) Vamos cacular com o Maxima este exem-
plo. Entramos a matriz onde cada coluna é um vetor que gera W :
M: matrix( [1,2,1,-1], [2,1,0,2], [3,3,1,1], [4,5,2,0]);. Calculamos o es-
paço gerado pelas colunas com o comando columnspace(M).
3.5 Polinômios e Funções como Vetores
Espaços vetoriais de funções são utilizados (entre inúmeras aplicações) para se entender:
(a) como aproximar uma função utilizando polinômios;
(b) métodos numéricos que aproximam derivada ou integral;
(c) espaços de soluções de equações diferenciais.
3.5.1 De\ufb01nição e Exemplos
De\ufb01nição 3.16 (espaço vetorial de polinômios de grau máximo n) Seja
Pn = {a0 + a1x+ · · ·+ anxn; ai \u2208 R} o conjunto dos polinômios com coe\ufb01cientes
em R de grau até n. De\ufb01nimos em Pn as operações:
(a) soma vetorial:
(
n\u2211
i=0
aix
i
)
+
(
n\u2211
i=0
bix
i
)
=
n\u2211
i=0
(ai + bi)x
i
;
(b) multiplicação por escalar: \u3b1
(
n\u2211
i=0
aix
i
)
=