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n∑
i=0

(αai)x
i
.

Pode-se verificar que Pn munido destas operações é um espaço vetorial.

76 CAPÍTULO 3. ESPAÇO VETORIAL

Exemplo 3.24 Determine o elemento neutro da soma de P3. Determine o inverso aditivo
de q(x) = 3x3 − 2x+ 1.

Solução: O elemento neutro é p(x) = 0 (verifique). O inverso aditivo de q é p(x) =
−3x3 + 2x− 1 pois p(x) + q(x) = 0.

Definição 3.17 (espaço vetorial dos polinômios) Definimos por P a união de todos os
conjuntos Pn para n ∈ N. Assim P inclui TODOS os polinômios, de todos os graus possíveis e
forma um espaço vetorial se for munido das operações de soma de polinômios e multiplicação

por escalar.

Definição 3.18 (espaço vetorial de funções) Dado conjunto I (não-vazio) qualquer, de-
notamos F(I;R) o conjunto das funções de I em R. Dadas duas funções f, g ∈ F(I;R) e
λ ∈ R, definimos em F(I;R) as operações:
(a) soma vetorial: f + g por f(x) + g(x) para todo x ∈ I; e
(b) multiplicação por escalar: λ · f por λ · f(x) para todo x ∈ I.
Pode-se verificar que F(I;R) munido destas operações é um espaço vetorial.

Exemplo 3.25 Determine o elemento neutro da soma de F([0, 2];R). Determine o inverso
aditivo de g(x) = sen(3− x).

Solução: O elemento neutro é a função f(x) = 0. O inverso aditivo de g(x) é h(x) =
− sen(3− x) pois g + h = 0.
Observação 3.7 Note que o sinal �+� (mais) em �f + g� e �f(x) + g(x)� (bem como de
�·�) possui significado distinto em cada expressão: soma de vetores, num caso, e de soma
de números reais (escalares) no outro.

Exemplo 3.26 Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial P3:
(a) {p ∈ P3| p(1) = 0}. (b) {p ∈ P3| p(2) = 5}. (c) {p ∈ P3| p(3) ≥ 0}.

Solução: (a) é subespaço. De fato: 0 pertence pois 0(1) = 0; Dados p,q, como p(1) =
q(1) = 0, então (p + q)(1) = p(1) + q(1) = 0; Dados p e α ∈ R, como p(1) = 0, então
(αp)(1) = α(p(1)) = α(0) = 0.
(b) Não é subespaço pois 0(2) = 0 6= 5. Além disso dados p,q, como p(2) = q(2) = 5,
então (p + q)(2) = p(2) + q(2) = 10 6= 0.
(c) De fato: 0 pertence pois 0(3) ≥ 0. Dados p,q, como p(3) ≥ 0 e q(3) ≥ 0, então

(p + q)(3) = p(3) + q(3) ≥ 0; Dados p tal que p(3) > 0 e α = −1, (αp)(3) = −p(3) < 0
e não pertence ao conjunto. Logo não é subespaço vetorial.

Observação 3.8 Todo polinômio de Pn pode ser pensado como um elemento (função)
de F(I;R) com I ⊂ R. Neste sentido, Pn é subespaço de F(I;R). Este exemplo é
importante pois mais adiante (Capítulo Produto Interno p.137) responderemos a seguinte

questão: dada uma função qualquer f ∈ F(I;R), determine o polinômio p ∈ Pn �mais
perto possível� (num sentido que será tornado preciso) de f .

3.5. POLINÔMIOS E FUNÇÕES COMO VETORES 77

Definição 3.19 (espaço de funções contínuas e diferenciáveis) Dado conjunto I
(não-vazio) qualquer, denotamos C(I;R) o espaço das funções contínuas de I em R e
por Ck(I;R) o espaço das funções com k derivadas contínuas. Finalmente temos o
espaço das funções com infinitas derivadas contínuas C∞(I;R). As operações de
soma e multiplicação por escalar são iguais as da Definição 3.18.

Exemplo 3.27 As funções f(x) = cos(x), g(x) = exp(x2) pertencem a C∞(R;R). As
funções f(x) = 1/x e g(x) = 1/(x2 − 1) pertencem ao espaço C∞((0, 1);R) mas não
pertencem a F(R;R) pois não estão definidas no 0 nem no 1.
A função f(x) = |x| pertence a C(R;R) mas não pertence a C1(R;R) (não possui derivada
em 0).

Observação 3.9 Todo polinômio é infinitamente diferenciável; se uma função possui k
derivadas então ela possui k − 1 derivadas; toda função diferenciável é contínua; toda
função contínua é função. Deste modo temos a sucessão de subespaços vetoriais (cada um

é subespaço vetorial de todos os que se seguem):

Pn ⊂ P ⊂ C∞(I;R) · · · ⊂ Ck(I;R) · · · ⊂ C2(I;R) ⊂ C1(I;R) ⊂ C(I;R) ⊂ F(I;R).

Exemplos importantes de espaços vetoriais de funções aparecem na teoria de equações

diferenciais.

Exemplo 3.28 Determine se são subespaços vetoriais de F(R;R):
(a) T = {y ∈ C∞(R;R)| y′′(x) + 9y(x) = 0}.
(b) U = {y ∈ C∞(R;R)| y′′(x) + 9y(x) = 9x}.
(c) V = {y ∈ C∞(R;R)| y′(x) + f(x)y(x) = 0} para uma f ∈∈ C∞(R;R) fixa.
(d) W = {y ∈ C∞(R;R)| y′(x) + y2(x) = 0}.

Solução: (a) T é subespaço vetorial. De fato, dados y1, y2 ∈ V (soluções), se tomarmos
y = ay1 + by2, a, b ∈ R (constantes), como a derivada da soma é igual a soma das derivadas
(linearidade da derivada), calculamos y′′+9y = ay′′1+by

′′
2+9(y1+y2) = ay

′′
1+9y1+by

′′
2+9y2 =

0 + 0 = 0.

Note que, em particular, se y1(x) = sen(3x) e y2 = cos(3x), então y1, y2 ∈ T . Combi-
nações destas funções também serão soluções (na realidade TODAS as soluções serão desta

forma, mas não provaremos isto). Portanto, T = {ay1 + by2; a, b ∈ R}.
(b) U não é subespaço vetorial. Observe que se y1, y2 ∈ U , e y = y1 + y2, y′′ + 9y =

9x + 9x = 18x 6= 9x. Portanto y 6∈ U . Além disso y = 0 6∈ U . Na realidade é a translação
do subespaço do exemplo anterior. Mais precisamente, seja y0(x) = x. Verifique que y0 ∈ U ,
isto é, é solução (particular) da equação. Então U = y0 + T .

(c) V é subespaço vetorial. É claro que y = 0 ∈ V . Além disso, dados y1, y2 ∈ V
(soluções), se tomarmos y = ay1+by2, a, b ∈ R (constantes), como a derivada da soma é igual
a soma das derivadas (linearidade da derivada), calculamos y′+fy = ay′1+by

′
2+f(y1+y2) =

ay′′1 + fy1 + by
′′
2 + fy2 = 0 + 0 = 0. Logo y ∈ V .
(d) W não é um subespaço vetorial. Embora y = 0 ∈ W , se y é solução, w = ay, então

w′ + w2 = ay′ + a2y2 = ay′ + ay2 + ay2 = 0 + ay2 6= 0. Pode-se mostrar que W não é
tampouco a translação de um subespaço.

78 CAPÍTULO 3. ESPAÇO VETORIAL

3.5.2 Combinação Linear e Espaço Gerado

Exemplo 3.29 Considere os vetores de P (espaço de todos os polinômios) u = x3 + x,
v = x2 − x, w1 = 3x3 − x2 + 4x e w2 = x3 + 2x2 + 10. Determine se w1,w2 são CL de u
e v.

Solução: De fato, w1 é CL pois w1 = 3x
3 − x2 + 4x = 3(x3 + x)− (x2 − x) = 3u− v.
Por outro lado, w2 não é combinação linear. Isto pois w2 = x

3 + 2x2 + 10 = α(x3 +

x) + β(x2 − x) = αx3 + βx2 + (α − 1)x. Temos que resolver o sistema:


α = 1
β = 2

α− 1 = 10
.

Note que este sistema não possui solução (porque?). Portanto, w2 6= αu + βv para todo
α, β ∈ R.

Exemplo 3.30 Considere os elementos de F(R;R) u = sen2(x) e v = cos2(x) Determine
se w = cos(2x) é combinação linear de u,v.

Solução: É combinação pois, por uma identidade trigonométrica conhecida, w = v − u.

Exemplo 3.31 Prove que é subespaço vetorial e determine um conjunto gerador para:

(a) H = {p ∈ P2| p(2) = p(3)} ⊂ P2.
(b) Z = {p ∈ P3| p(1) = 0} ⊂ P3.

Solução: (a) É subespaço pois se dois polinômios possuem mesmo valor em 2 e 3, combi-
nações lineares também possuirão o mesmo valor.

Seja p(x) = ax2 + bx+ c. Como p(2) = p(3), 4a+ 2b+ c = 9a+ 3b+ c, temos a equação
5a + b = 0. São três variáveis e uma equação. Portanto são duas variáveis livres: c = r e
b = s, com a = −b/5 = −s/5.
Logo V = {−s/5x2 + sx + r; r, s ∈ R}, um plano (dimensão 2) em P2. Tomando

r = 0, s = 1 obtemos u = −x2/5 + x, r = 1, s = 0 obtemos v = 1. Logo V = 〈u,v〉.
(b) Deixamos para o leitor verificar que é subespaço vetorial. Seja p(x) = ax3+bx2+cx+d.
Como p(1) = 0, a + b + c + d = 0. São quatro variáveis e uma equação. Portanto são três
variáveis livres: d = r, c = s, b = t, com a = −r − s − t. Logo H = {(−r − s − t)x3 +
tx2 + sx + r}. Colocando r, s, t com 0 e 1 alternadamente, obtemos u = −x3 + 1,v =
−x3 + x,w = −x3 + x2. Portanto X = 〈u,v,w〉.
Outra parametrização possível é tomar como variáveis livres: a = r, b = s, c = t, com

d = −r − s − t. Colocando r, s, t com 0 e 1 alternadamente, obtemos u = x3 − 1,v =
x2 − 1,w = x− 1. Portanto X = 〈u,v,w〉.

Exemplo 3.32 Seja Z = 〈(x− 1), x(x− 1), . . . , xn−1(x− 1)〉 . eW = {p ∈ Pn | p(1) =
0}. Prove que W = Z.

Solução: De fato, dado p ∈ W , como p(1) = 0 (1 é raiz), podemos dividir o polinômio por
(x − 1), obtendo que p(x) = (x − 1)

(
n−1∑
i=0

aix
i

)
=

n−1∑
i=0

ai
(
xi(x− 1)). Logo p ∈ Z. Por
outro lado, se