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n\u2211
i=0
(\u3b1ai)x
i
.
Pode-se veri\ufb01car que Pn munido destas operações é um espaço vetorial.
76 CAPÍTULO 3. ESPAÇO VETORIAL
Exemplo 3.24 Determine o elemento neutro da soma de P3. Determine o inverso aditivo
de q(x) = 3x3 \u2212 2x+ 1.
Solução: O elemento neutro é p(x) = 0 (veri\ufb01que). O inverso aditivo de q é p(x) =
\u22123x3 + 2x\u2212 1 pois p(x) + q(x) = 0.
De\ufb01nição 3.17 (espaço vetorial dos polinômios) De\ufb01nimos por P a união de todos os
conjuntos Pn para n \u2208 N. Assim P inclui TODOS os polinômios, de todos os graus possíveis e
forma um espaço vetorial se for munido das operações de soma de polinômios e multiplicação
por escalar.
De\ufb01nição 3.18 (espaço vetorial de funções) Dado conjunto I (não-vazio) qualquer, de-
notamos F(I;R) o conjunto das funções de I em R. Dadas duas funções f, g \u2208 F(I;R) e
\u3bb \u2208 R, de\ufb01nimos em F(I;R) as operações:
(a) soma vetorial: f + g por f(x) + g(x) para todo x \u2208 I; e
(b) multiplicação por escalar: \u3bb · f por \u3bb · f(x) para todo x \u2208 I.
Pode-se veri\ufb01car que F(I;R) munido destas operações é um espaço vetorial.
Exemplo 3.25 Determine o elemento neutro da soma de F([0, 2];R). Determine o inverso
aditivo de g(x) = sen(3\u2212 x).
Solução: O elemento neutro é a função f(x) = 0. O inverso aditivo de g(x) é h(x) =
\u2212 sen(3\u2212 x) pois g + h = 0.
Observação 3.7 Note que o sinal \ufffd+\ufffd (mais) em \ufffdf + g\ufffd e \ufffdf(x) + g(x)\ufffd (bem como de
\ufffd·\ufffd) possui signi\ufb01cado distinto em cada expressão: soma de vetores, num caso, e de soma
de números reais (escalares) no outro.
Exemplo 3.26 Veri\ufb01que se os conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial P3:
(a) {p \u2208 P3| p(1) = 0}. (b) {p \u2208 P3| p(2) = 5}. (c) {p \u2208 P3| p(3) \u2265 0}.
Solução: (a) é subespaço. De fato: 0 pertence pois 0(1) = 0; Dados p,q, como p(1) =
q(1) = 0, então (p + q)(1) = p(1) + q(1) = 0; Dados p e \u3b1 \u2208 R, como p(1) = 0, então
(\u3b1p)(1) = \u3b1(p(1)) = \u3b1(0) = 0.
(b) Não é subespaço pois 0(2) = 0 6= 5. Além disso dados p,q, como p(2) = q(2) = 5,
então (p + q)(2) = p(2) + q(2) = 10 6= 0.
(c) De fato: 0 pertence pois 0(3) \u2265 0. Dados p,q, como p(3) \u2265 0 e q(3) \u2265 0, então
(p + q)(3) = p(3) + q(3) \u2265 0; Dados p tal que p(3) > 0 e \u3b1 = \u22121, (\u3b1p)(3) = \u2212p(3) < 0
e não pertence ao conjunto. Logo não é subespaço vetorial.
Observação 3.8 Todo polinômio de Pn pode ser pensado como um elemento (função)
de F(I;R) com I \u2282 R. Neste sentido, Pn é subespaço de F(I;R). Este exemplo é
importante pois mais adiante (Capítulo Produto Interno p.137) responderemos a seguinte
questão: dada uma função qualquer f \u2208 F(I;R), determine o polinômio p \u2208 Pn \ufffdmais
perto possível\ufffd (num sentido que será tornado preciso) de f .
3.5. POLINÔMIOS E FUNÇÕES COMO VETORES 77
De\ufb01nição 3.19 (espaço de funções contínuas e diferenciáveis) Dado conjunto I
(não-vazio) qualquer, denotamos C(I;R) o espaço das funções contínuas de I em R e
por Ck(I;R) o espaço das funções com k derivadas contínuas. Finalmente temos o
espaço das funções com in\ufb01nitas derivadas contínuas C\u221e(I;R). As operações de
soma e multiplicação por escalar são iguais as da De\ufb01nição 3.18.
Exemplo 3.27 As funções f(x) = cos(x), g(x) = exp(x2) pertencem a C\u221e(R;R). As
funções f(x) = 1/x e g(x) = 1/(x2 \u2212 1) pertencem ao espaço C\u221e((0, 1);R) mas não
pertencem a F(R;R) pois não estão de\ufb01nidas no 0 nem no 1.
A função f(x) = |x| pertence a C(R;R) mas não pertence a C1(R;R) (não possui derivada
em 0).
Observação 3.9 Todo polinômio é in\ufb01nitamente diferenciável; se uma função possui k
derivadas então ela possui k \u2212 1 derivadas; toda função diferenciável é contínua; toda
função contínua é função. Deste modo temos a sucessão de subespaços vetoriais (cada um
é subespaço vetorial de todos os que se seguem):
Pn \u2282 P \u2282 C\u221e(I;R) · · · \u2282 Ck(I;R) · · · \u2282 C2(I;R) \u2282 C1(I;R) \u2282 C(I;R) \u2282 F(I;R).
Exemplos importantes de espaços vetoriais de funções aparecem na teoria de equações
diferenciais.
Exemplo 3.28 Determine se são subespaços vetoriais de F(R;R):
(a) T = {y \u2208 C\u221e(R;R)| y\u2032\u2032(x) + 9y(x) = 0}.
(b) U = {y \u2208 C\u221e(R;R)| y\u2032\u2032(x) + 9y(x) = 9x}.
(c) V = {y \u2208 C\u221e(R;R)| y\u2032(x) + f(x)y(x) = 0} para uma f \u2208\u2208 C\u221e(R;R) \ufb01xa.
(d) W = {y \u2208 C\u221e(R;R)| y\u2032(x) + y2(x) = 0}.
Solução: (a) T é subespaço vetorial. De fato, dados y1, y2 \u2208 V (soluções), se tomarmos
y = ay1 + by2, a, b \u2208 R (constantes), como a derivada da soma é igual a soma das derivadas
(linearidade da derivada), calculamos y\u2032\u2032+9y = ay\u2032\u20321+by
\u2032\u2032
2+9(y1+y2) = ay
\u2032\u2032
1+9y1+by
\u2032\u2032
2+9y2 =
0 + 0 = 0.
Note que, em particular, se y1(x) = sen(3x) e y2 = cos(3x), então y1, y2 \u2208 T . Combi-
nações destas funções também serão soluções (na realidade TODAS as soluções serão desta
forma, mas não provaremos isto). Portanto, T = {ay1 + by2; a, b \u2208 R}.
(b) U não é subespaço vetorial. Observe que se y1, y2 \u2208 U , e y = y1 + y2, y\u2032\u2032 + 9y =
9x + 9x = 18x 6= 9x. Portanto y 6\u2208 U . Além disso y = 0 6\u2208 U . Na realidade é a translação
do subespaço do exemplo anterior. Mais precisamente, seja y0(x) = x. Veri\ufb01que que y0 \u2208 U ,
isto é, é solução (particular) da equação. Então U = y0 + T .
(c) V é subespaço vetorial. É claro que y = 0 \u2208 V . Além disso, dados y1, y2 \u2208 V
(soluções), se tomarmos y = ay1+by2, a, b \u2208 R (constantes), como a derivada da soma é igual
a soma das derivadas (linearidade da derivada), calculamos y\u2032+fy = ay\u20321+by
\u2032
2+f(y1+y2) =
ay\u2032\u20321 + fy1 + by
\u2032\u2032
2 + fy2 = 0 + 0 = 0. Logo y \u2208 V .
(d) W não é um subespaço vetorial. Embora y = 0 \u2208 W , se y é solução, w = ay, então
w\u2032 + w2 = ay\u2032 + a2y2 = ay\u2032 + ay2 + ay2 = 0 + ay2 6= 0. Pode-se mostrar que W não é
tampouco a translação de um subespaço.
78 CAPÍTULO 3. ESPAÇO VETORIAL
3.5.2 Combinação Linear e Espaço Gerado
Exemplo 3.29 Considere os vetores de P (espaço de todos os polinômios) u = x3 + x,
v = x2 \u2212 x, w1 = 3x3 \u2212 x2 + 4x e w2 = x3 + 2x2 + 10. Determine se w1,w2 são CL de u
e v.
Solução: De fato, w1 é CL pois w1 = 3x
3 \u2212 x2 + 4x = 3(x3 + x)\u2212 (x2 \u2212 x) = 3u\u2212 v.
Por outro lado, w2 não é combinação linear. Isto pois w2 = x
3 + 2x2 + 10 = \u3b1(x3 +
x) + \u3b2(x2 \u2212 x) = \u3b1x3 + \u3b2x2 + (\u3b1 \u2212 1)x. Temos que resolver o sistema:
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
\u3b1 = 1
\u3b2 = 2
\u3b1\u2212 1 = 10
.
Note que este sistema não possui solução (porque?). Portanto, w2 6= \u3b1u + \u3b2v para todo
\u3b1, \u3b2 \u2208 R.
Exemplo 3.30 Considere os elementos de F(R;R) u = sen2(x) e v = cos2(x) Determine
se w = cos(2x) é combinação linear de u,v.
Solução: É combinação pois, por uma identidade trigonométrica conhecida, w = v \u2212 u.
Exemplo 3.31 Prove que é subespaço vetorial e determine um conjunto gerador para:
(a) H = {p \u2208 P2| p(2) = p(3)} \u2282 P2.
(b) Z = {p \u2208 P3| p(1) = 0} \u2282 P3.
Solução: (a) É subespaço pois se dois polinômios possuem mesmo valor em 2 e 3, combi-
nações lineares também possuirão o mesmo valor.
Seja p(x) = ax2 + bx+ c. Como p(2) = p(3), 4a+ 2b+ c = 9a+ 3b+ c, temos a equação
5a + b = 0. São três variáveis e uma equação. Portanto são duas variáveis livres: c = r e
b = s, com a = \u2212b/5 = \u2212s/5.
Logo V = {\u2212s/5x2 + sx + r; r, s \u2208 R}, um plano (dimensão 2) em P2. Tomando
r = 0, s = 1 obtemos u = \u2212x2/5 + x, r = 1, s = 0 obtemos v = 1. Logo V = \u3008u,v\u3009.
(b) Deixamos para o leitor veri\ufb01car que é subespaço vetorial. Seja p(x) = ax3+bx2+cx+d.
Como p(1) = 0, a + b + c + d = 0. São quatro variáveis e uma equação. Portanto são três
variáveis livres: d = r, c = s, b = t, com a = \u2212r \u2212 s \u2212 t. Logo H = {(\u2212r \u2212 s \u2212 t)x3 +
tx2 + sx + r}. Colocando r, s, t com 0 e 1 alternadamente, obtemos u = \u2212x3 + 1,v =
\u2212x3 + x,w = \u2212x3 + x2. Portanto X = \u3008u,v,w\u3009.
Outra parametrização possível é tomar como variáveis livres: a = r, b = s, c = t, com
d = \u2212r \u2212 s \u2212 t. Colocando r, s, t com 0 e 1 alternadamente, obtemos u = x3 \u2212 1,v =
x2 \u2212 1,w = x\u2212 1. Portanto X = \u3008u,v,w\u3009.
Exemplo 3.32 Seja Z = \u3008(x\u2212 1), x(x\u2212 1), . . . , xn\u22121(x\u2212 1)\u3009 . eW = {p \u2208 Pn | p(1) =
0}. Prove que W = Z.
Solução: De fato, dado p \u2208 W , como p(1) = 0 (1 é raiz), podemos dividir o polinômio por
(x \u2212 1), obtendo que p(x) = (x \u2212 1)
(
n\u22121\u2211
i=0
aix
i
)
=
n\u22121\u2211
i=0
ai
(
xi(x\u2212 1)). Logo p \u2208 Z. Por
outro lado, se