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DisciplinaÁlgebra Linear II1.004 materiais8.164 seguidores
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z \u2208 Z então z(x) = \u2211n\u22121i=0 cixi(x\u2212 1), z(1) = 0 e portanto z \u2208 W .
Exemplo 3.33 Mostre que
(a) cos(2x) \u2208 \u30081, cos(x), cos2(x)\u3009. (b) cos(3x) \u2208 \u30081, cos(x), cos2(x), cos3(x)\u3009.
3.5. POLINÔMIOS E FUNÇÕES COMO VETORES 79
Solução: (a) É verdade pois (identidade trigonométrica conhecida) cos(2x) = 2 cos2(x)\u2212 1.
(b) Utilizando a identidade de (a) e que sen(2x) = 2 sen(x) cos(x) e cos(3x) =
= cos(x) cos(2x)\u2212sen(x) sen(2x), obtemos que cos(3x) = 2 cos3(x)+2 cos2(x)\u2212cos(x)\u22122.
Generalizando concluiremos que cos(nx) \u2208 \u30081, cos(x), . . . , cosn(x)\u3009.
O próximo exemplo é mais so\ufb01sticado. Este tipo de combinação linear é utilizado nos cha-
mados métodos dos elementos \ufb01nitos, muito importante no cálculo de estruturas (engenharia
civil, naval, mecânica etc.).
\u3c60 \u3c61
\u3c62 \u3c63
Figura 3.1: Elementos \ufb01nitos
Exemplo 3.34 Considere as funções \u3c60, . . . , \u3c63 mostradas na Figura 3.1. Observe que elas
são caracterizadas como funções lineares por partes (entre dois inteiros quaisquer elas são
lineares, isto é, o grá\ufb01co é um segmento de reta) e que \u3c6i(j) = \u3b4ij, onde \u3b4ij é chamado de
delta de Kroenecker, de\ufb01nido como 1 se i = j e 0 caso contrário. Assim \u3c60(0) = 1 (i = j) e
\u3c60(1) = \u3c60(2) = 0. Do mesmo modo, \u3c61(1) = 1 (i = j) e \u3c61(0) = \u3c61(2) = 0.
Agora podemos fazer combinações lineares destas funções. Poderemos obter uma função
linear por partes qualquer pois se quisermos que f assuma valores f(j) = aj, com j = 0, . . . , 3,
tome f =
3\u2211
i=0
ai\u3c6i. Deste modo f(0) =
3\u2211
i=0
ai\u3c6i(0) = a0\u3c60(0) = a0 · 1 = a0 (as outras
funções \u3c61(0) = \u3c62(0) = \u3c63(0) = 0), e de forma análoga, f(1) =
3\u2211
i=0
ai\u3c6i(1) = a1, e
também f(2) = a2, f(3) = a3. Desta forma CL das \u3c6i's podem gerar qualquer função linear
por parte:
\u3008\u3c60, . . . , \u3c63\u3009 =
\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3funções tipo
\uf8fc\uf8f4\uf8fd\uf8f4\uf8fe .
3.5.3 Dependência e Independência Linear, Base
Exemplo 3.35 Determine se são LIs ou LDs:
(a) {1, t, t2 }; (b) {t, et};
(c) {sen(2x), sen(x) cos(x)}; (d) {sen(2x), sen2(x)}; (e) {sen2(x), cos2(x), 1}.
Solução: (a) Suponha que a1 + bt + ct2 = 0 para todo t \u2208 R. Apresentamos duas provas
que a = b = c = 0 e portanto o conjunto é LI:
\ufffd Derivando obtemos que b+ 2ct = 0 e 2c = 0. Logo c = 0, b = 0 e a = 0.
\ufffd Colocando t = 0 obtemos que a = 0. Colocando t = 1 e t = 2 obtemos as equações:
b+ c = 0 e 2b+ 4c = 0, cuja solução única é b = c = 0.
80 CAPÍTULO 3. ESPAÇO VETORIAL
(b) Suponha que at + bet = 0. Colocando t = 0 obtemos que b = 0. Colocando t = 1
obtemos que a(1) = 0 e a = 0. Logo é LI.
(c) É LD pois sen(2x)\u2212 2 sen(x) cos(x) = 0 para todo x \u2208 R.
(d) Suponha que a sen(2x) + b sen2(x) = 0 para todo x. Tomando x = pi/2 obtemos
que a(0) + b(1) = 0. Logo b = 0. Tomando x = pi/4, a(1) = 0 e a = 0. Como a = b = 0
concluímos que é LI.
(e) É LD pois sen2(x) + cos2(x)\u2212 1 = 0 para todo x \u2208 R.
Observação 3.10 (conjunto de funções é LI?) Para determinar se um conjunto de
funções é LI ou LD, uma ferramenta importante é o chamadoWronskiano, apresentado
como Desa\ufb01o 6.9.4 da p.193. Veja também o Exemplo 4.42 da p.121.
Exemplo 3.36 Prove que:
(a) {1, t, t2, . . . , tn} é base de Pn; (b) {1\u2212 t, 2 + t, t+ t2} é base de P2.
Solução: (a) De fato suponha q(t) = a0 + a1t+ · · ·+ antn = 0 para todo t \u2208 R. Tomando
t = 0 concluímos que a0 = 0. Derivando obtemos que q
\u2032(0) = a1 = 0. Continuando
q\u2032\u2032(t) = 2a2 = 0 e a2 = 0. De forma geral f (k)(0) = k!ak = 0 e concluímos que ak = 0 para
k = 1, . . . , n. Logo o conjunto é LI. É claro que gera Pn (prove!). Logo é base.
(b) Seja q(t) = at2 + bt + c. Queremos escrever q(t) = \u3b1(1 \u2212 t) + \u3b2(2 + t) + \u3b3t2.
Igualando termos do mesmo grau e resolvendo o sistema obtemos a solução única \u3b3 = a, \u3b2 =
(b+ c)/3, \u3b1 = (c\u2212 2b)/3. Como a representação é única, é base.
Exemplo 3.37 Retomando as funções da Figura 3.1 da p.79, prove que \u3c60, . . . , \u3c63 é LI.
Solução: De fato, suponha que f(t) = a0\u3c60(t) + · · · a3\u3c63(t) = 0 para todo t \u2208 R. Portanto
f(0) = 0. Como f(0) = a0\u3c60(0) + · · · a3\u3c63(0) = a0 · 1 + a1 · 0 + · · · + a3 · 0 = a0 = 0,
concluímos que a0 = 0. De forma análoga, f(1) = a0\u3c60(1) + a1\u3c61(1) + · · · a3\u3c63(1) =
a0 · 0 + a1 · 1 + · · · + a3 · 0 = a1 = 0, concluímos que a1 = 0. Procedendo desta forma,
concluiremos que a0 = a1 = a2 = a3 = 0, e que a única CL de zero é trivial.
3.5.4 ?Funções como Vetores: Representação Geométrica1
Como representar geometricamente uma função como um vetor?
Vamos começar vendo uma nova representação geométrica de vetores no R2 e no R3.
Já mostramos que podemos representar vetores como \ufffdsetinhas\ufffd (segmentos orientados equi-
valentes). Agora vamos representá-los como grá\ufb01cos de funções da seguinte forma. Dado
f \u2208 F({1, 2} ;R), ou seja, dada uma função f : {1, 2} \u2192 R, ela \ufb01ca inteiramente deter-
minada uma vez \ufb01xado os valores f(1) e f(2). Portanto associamos a f \u2208 F({1, 2} ;R)
o vetor f = (f(1), f(2)) \u2208 R2. Reciprocamente, dado (a1, a2) \u2208 R2, associamos a função
f \u2208 F({1, 2} ;R) tal que f(1) = a1 e f(2) = a2. Por exemplo, o vetor f = (5, 3) \u2208 R2 pode
ser representado como o grá\ufb01co de f \u2208 F({1, 2} ;R), como indicado na Figura 3.2. De forma
análoga, dada g \u2208 F({1, 2, 3} ;R), ou seja, dada uma função g : {1, 2, 3} \u2192 R, associamos
o vetor g = (g(1), g(2), g(3)) \u2208 R3. Reciprocamente, dado (a1, a2, a3) \u2208 R3, associamos a
função g \u2208 F({1, 2, 3} ;R) tal que g(1) = a1, g(2) = a2 e g(3) = a3. Por exemplo, o vetor
g = (3, 5, 2) \u2208 R3 pode ser representado como o grá\ufb01co de g, como indicado na Figura 3.2.
1
A leitura desta subseção é opcional.
3.5. POLINÔMIOS E FUNÇÕES COMO VETORES 81
x
y
1
f(1) = 5
2
f(2) = 3
x
y
1
g(1) = 3
2
g(2) = 5
3
g(3) = 2
Figura 3.2: Representando f = (5, 3) \u2208 R2 e g = (3, 5, 2) \u2208 R3.
.
A vantagem deste ponto de vista é que os desenhos são bidimensionais, e podemos repre-
sentar, por exemplo, o vetor f = (2, 4, 3, 4, 1) \u2208 R5 pelo grá\ufb01co de f \u2208 F({1, 2, 3, 4, 5} ;R)
de\ufb01nida por f(i) = ai, i = 1, . . . , 5, como indicado na Figura 3.3. Note que com a inter-
pretação geométrica de setinhas não tínhamos como representar vetores do Rn com n > 3.
x
y
1
f(1) = 2
2
f(4) = f(2) = 4
3
f(3) = 3
4 5
f(5) = 1
Figura 3.3: Representando f = (2, 4, 3, 4, 1) \u2208 R5.
Generalizando, como um vetor é um n\u2212upla de números reais, podemos associar a
f = (a1, . . . , an) \u2208 Rn uma função f : {1, . . . , n} \u2192 R tal que f(1) = a1, f(2) =
a2, . . . , f(n) = an. Assim podemos representar f \u2208 Rn, para n qualquer, pelo grá\ufb01co de
f \u2208 F({1, . . . , n} ;R). Agora se substituirmos {1, . . . , n} por I com I \u2282 R qualquer, po-
demos representar o vetor (elemento do espaço de funções) f \u2208 F(I;R) pelo grá\ufb01co de
f : I \u2192 R. Por exemplo f \u2208 F([0, pi];R), de\ufb01nido por f(x) = sen(x), pode ser representado
pelo seu grá\ufb01co, como indicado na Figura 3.4.
Observação 3.11 Fixemos a notação In = {1, . . . , n}. A representação de vetores do
Rn como função é coerente no seguinte sentido. Vamos nos concentrar na operação de
soma de vetores (a multiplicação por escalar é análogo). Já de\ufb01nimos anteriormente como
somar vetores u,v \u2208 Rn: basta somar componente a componente. Se interpretarmos
estes vetores como funções u, v : In \u2192 R, de\ufb01nimos a função soma (veja De\ufb01nição 3.18)
u + v : In \u2192 R por (u + v)(i) = u(i) + v(i) para i = 1, . . . , n. Note que apesar de ser
de\ufb01nido de outra forma, obtemos a mesma coisa.
Exemplo 3.38 Considere f, g \u2208 F([0, 1] × [0, 1];R), onde cada função representa o nível
de cinza de cada ponto do quadrado [0, 1]× [0, 1]. Desta forma cada função representa uma
82 CAPÍTULO 3. ESPAÇO VETORIAL
pi x
y
0
Figura 3.4: Representando f \u2208 F([0, pi];R), com f(x) = sen(x).
imagem. Agora vamos visualizar os elementos da reta r(t) = tg + (1\u2212 t)f , onde r(0.0) = f
e r(1.0) = g. Neste exemplo, conforme mostra a Figura 3.5, a função f = r(0.0) é um
quadrado e g = r(1.0) um círculo. Observe a transformação de um quadrado em um círculo,
onde representamos os pontos intermediários da reta r: r(0.2), . .