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. , r(0.8).
Em processamento de imagem estas transformações são chamadas de morfismos. Pode-

mos, por exemplo, criar rostos intermediários entre fotos distintos, misturando características.

r(0.0) r(0.2) r(0.4) r(0.5) r(0.6) r(0.8) r(1.0)

Figura 3.5: Quadrado se transforma em círculo

3.6 ?Dimensão de Espaço Vetorial: Teoria1

Provamos nesta seção que se um espaço vetorial V possui uma base com d ∈ N vetores então
qualquer base de V possuirá d vetores, o que permite definir a dimensão de V como d. Além
disso uma sequência de resultados provará que qualquer conjunto LI de vetores de V pode ser
estendido para formar uma base.

Começamos enunciando um resultado muito importante na teoria dos espaços vetoriais.

Teorema 3.20 Todo espaço vetorial possui uma base.

Prova: A prova é delicada: veja em [5].

Vamos distinguir os espaços vetoriais de dimensão finita e infinita.

Definição 3.21 (dimensão finita e infinita) Um espaço vetorial que admite base finita é

de dimensão finita. Um espaço vetorial que não admite, é dito de dimensão infinita.

Exemplo 3.39 Rn é de dimensão finita, pois ε = {e1, e2, . . . , en} é base.

Exemplo 3.40 Pn é de dimensão finita, pois ε = {1, x, x2, . . . , xn} é base.
1

A leitura desta seção é opcional.

3.6. ?DIMENSÃO DE ESPAÇO VETORIAL: TEORIA 83

Exemplo 3.41 P é de dimensão infinita.
De fato, dado β = {p1,p2, . . . ,pn} ⊂ P conjunto finito qualquer, definaN = max

p∈β
grau(p)

e q(x) = xN+1. Então q ∈ P , mas q 6∈ 〈β〉 pois grau(q) = N + 1 > N ≥ grau(p) para
todo p ∈ β. Logo, β não é base.
Exemplo 3.42 Os espaços C∞(I;R), Ck(I;R), C2(I;R), C1(I;R), C(I;R) e F(I;R) são
de dimensão infinita.

De fato todos os espaços acima contém o espaço P (vide Observação 3.9 da p.77).
O próximo lema é fundamental para a definição de dimensão. A demonstração pode ser

omitida numa primeira leitura.

Lema 3.22 (conjunto gerador e LI) Sejam β = {u1,u2, . . . ,um} , γ =
{v1,v2, . . . ,vn} ⊂ H. Se β é gerador de H e γ é LI, então m ≥ n.

Prova: Sejam aij tais que vj =
m∑
i=1

aijui. Defina A = [aij]
i=1,...,m
j=1,...,n

.

Suponha, por absurdo, que n > m. Portanto o número de variáveis (n) é maior que
o número de equações (m) no sistema homogêneo. Neste caso, existe x 6= 0 tal que
Ax = 0. Logo

n∑
j=1

xjaj = 0, o que implica que
n∑
j=1

xjaij = 0 para todo i. Segue que

m∑
i=1

(
n∑
j=1

xjaij

)
ui = 0. Portanto

n∑
j=1

xj

(
m∑
i=1

aijui

)
=

n∑
j=1

xjvj = 0.

Concluímos que γ não é LI! Como isto é absurdo, concluímos que n ≤ m.
Corolário 3.23 Toda base de um subespaço vetorial de dimensão finita tem o mesmo nú-

mero de elementos.

Prova: Sejam β = {v1,v2, . . . ,vm} e γ = {u1,u2, . . . ,un} bases. Pelo Lema 3.22, como
β é gerador e γ é LI, então m ≥ n. Trocando os papéis de β e γ, novamente pelo Lema 3.22,
como γ é gerador e β é LI, então n ≥ m. Como m ≥ n e n ≥ m, concluímos que m = n.

Este Corolário justifica a próxima definição.

Definição 3.24 (dimensão) A dimensão de um (sub)espaço vetorial de dimensão finita é

o número de vetores em (qualquer) uma de suas bases.

Lema 3.25 (caracterização dos conjuntos LD) Os vetores v1,v2, . . . ,vp são LD se, e

só se, existe um vetor que é combinação linear dos anteriores, vk =
∑
i<k

αivi.

Prova: Se: trivial.

Só se: seja k ≥ 1 mínimo tal que v1,v2, . . . ,vk são LD. Seja
k∑
i=1

αivi = 0 CL não-trivial.

Se αk fosse zero,
k−1∑
i=1

αivi = 0 seria CL não-trivial, contrariando a minimalidade de k. Assim,

αk 6= 0 e vk = −
k−1∑
i=1

αi
αk

vi.

O próximo lema nos diz que podemos eliminar vetores que são CL de outros de um conjunto

sem modificar o espaço gerado.

84 CAPÍTULO 3. ESPAÇO VETORIAL

Lema 3.26 (eliminando vetores redundantes) Dado um conjunto S = {v1,v2, . . . ,vn}
LD, seja vk CL dos demais. Então 〈v1, . . . ,vk−1,vk+1, . . . ,vn〉 = 〈S〉 .

Prova: Temos que vk =
∑
i 6=k

αivi. Dado w ∈ 〈S〉, temos w =
∑
i

γivi =
∑
i 6=k

γivi +

γkvk =
∑
i 6=k

γivi + γk
∑
i 6=k

αivi =
∑
i 6=k

(γi + γkαi)vi. Logo w =
∑
i 6=k

(γi + γkαi)vi e portanto,

w ∈ 〈v1, . . . ,vk−1,vk+1, . . . ,vn〉.

Corolário 3.27 Todo conjunto gerador contém uma base.

Prova: Se o conjunto é LI, nada a fazer. Se é LD, há um vetor que é combinação linear

dos demais. Descarte este vetor; o subconjunto obtido ainda é gerador (pelo lema anterior).

Repita o procedimento até que o subconjunto obtido seja LI (assumimos tacitamente que o

conjunto inicial é finito).

Finalmente, o resultado abaixo garante que, dado um conjunto de vetores LI em um espaço

vetorial de dimensão finita, este pode ser estendido a uma base.

Lema 3.28 (estendendo conjunto LI em base) Todo conjunto LI em um espaço de di-

mensão finita pode ser estendido a uma base. Ou seja, se {v1,v2, . . . ,vp} é LI, existem
vp+1, . . . ,vn tais que {v1,v2, . . . ,vp,vp+1, . . . ,vn} é base.
Prova: Seja {v1,v2, . . . ,vp} LI e β = {u1,u2, . . . ,un} base. Note que
{v1,v2, . . . ,vp,u1,u2, . . . ,un} é gerador. Aplique o resultado anterior, notando que, en-
quanto o subconjunto é LD, existe um vetor que é combinação linear dos anteriores (Lema 3.25

da p.83). Este não pode ser um dos vi's. Portanto, os vi's não são descartados no processo.

Corolário 3.29 Em um espaço vetorial de dimensão n, dado β = {v1,v2, . . . ,vp} (um
conjunto ordenado de vetores com p elementos), se:

• p > n, então β não é LI;
• p < n, então β não é gerador; e
• p = n, então β é gerador se e só se é LI.

3.7 Exercícios de Espaços Vetoriais

3.7.1 Exercícios de Fixação

Fix 3.1:Determine se são subespaços vetoriais do Rn:
(a) o conjunto-solução de um sistema linear homogêneo;

(b) o conjunto-solução de um sistema linear cujo lado direito tem como entradas inteiros

maiores do que 1;

(c) plano passando pela origem no espaço;

(d) reta que não passa pela origem no plano;

(e) parábola que passa pela origem no plano;

(f) primeiro quadrante do plano;

0

Versão 23.agosto.2012 22h

3.7. EXERCÍCIOS DE ESPAÇOS VETORIAIS 85

Fix 3.2:

(a) Se o espaço gerado por u é igual ao espaço gerado por v então necessariamente
(u = v, u é múltiplo de v, u é perpendicular a v, nenhuma das alternativas)

(b) Se 〈u,v〉 = 〈u,w〉 então necessariamente (v = w, v é múltiplo de w, v é
perpendicular a w, nenhuma das alternativas)

(c) Sabendo que o conjunto {w} é LI podemos afirmar que w é (não nulo, nulo).
Fix 3.3:Escolha uma opção. Dizer que {v1,v2, . . . ,vn} é LI é o mesmo que dizer que:
(A) se λ1 = · · · = λn = 0, então λ1v1 + · · ·λnvn = 0;
(B) λ1v1 + · · ·λnvn = 0 para todo λi ∈ R;
(C) se λ1v1 + · · ·λnvn = 0, então λ1 = · · · = λn = 0;
(D) vi 6= 0 para todo i = 1, . . . , n;
(E) vi não é múltiplo de vk se i 6= k.
Fix 3.4:O elemento neutro para soma do espaço vetorial das funções reais é o(a)

(número zero, função identidade, função identicamente nula, conjunto vazio).

Fix 3.5:Determine se são subespaços vetoriais de F(R;R):
(a) conjunto das funções contínuas;

(b) {f(x) = a sen(x) + 2, a ∈ R};
(c) {f(x) = ax2 + b, a, b ∈ R};
Fix 3.6:Considere W = 〈u1,u2, . . . ,um〉. Obtemos base de W (escalonando,
multiplicando, zerando, somando) uma matriz que tem estes vetores como (linhas,

colunas).

Fix 3.7: Seja W o subespaço-solução de um sistema linear homogêneo com 4 equações:

(a) eliminando uma equação, dim(W ) (pode, vai) (aumentar, diminuir).

(b) acrescentando uma equação (com lado direito igual a zero), dim(W ) (pode,
vai) (aumentar, diminuir).

Fix 3.8: Sejam V,W ⊂ R3 subespaços vetoriais, com dim(V ) = 2 e W uma reta.
(a) dim(W ) = (0, 1, 2, 3); (b) V é um(a) (ponto, reta, plano, sistema);

Fix 3.9:Pode ser base de R5 um conjunto de:
(a) 4 vetores LIs? (b) 5 vetores LDs? (c) 6 vetores?

Fix 3.10: Seja β ⊂ R7 LI.
(a) β possui (no máximo, exatamente, no mínimo) 7 vetores;

(b) retirando de β um vetor, obteremos um conjunto que (é, pode ser) (LI, LD);

(c) acrescentando a β um