livro-ALGLIN
260 pág.

livro-ALGLIN


DisciplinaÁlgebra Linear II915 materiais8.026 seguidores
Pré-visualização50 páginas
vetor w 6\u2208 \u3b2, obteremos um conjunto que (é, pode ser)
(LI, LD);
(d) o vetor 0 (pertence, não pertence, pode pertencer) a \u3b2.
Fix 3.11: Seja \u3b2 \u2282 R7 gerador.
(a) \u3b2 possui (no máximo, exatamente, no mínimo) 7 vetores;
(b) retirando de \u3b2 um vetor, obteremos um conjunto que (é, não é, pode ser)
gerador;
(c) acrescentando a \u3b2 um vetor w 6\u2208 \u3b2, obteremos um conjunto que (é, não é,
pode ser) gerador;
(d) o vetor 0 (pertence, não pertence, pode pertencer) a \u3b2.
Fix 3.12: Se W = \u3008v1,v2, . . . ,vn\u3009 então:
(a) 0 (\u2208, 6\u2208) W ; (b) 6v2 \u2212 5v3 (\u2208, 6\u2208) W ; (c) dimW (=;<;\u2264;>;\u2265) n.
86 CAPÍTULO 3. ESPAÇO VETORIAL
3.7.2 Problemas
Subespaços do Rn
Prob 3.1:Determine se é subespaço vetorial de R3:
(a) {(a, b, c)| a, c \u2208 R, b = a+ c+ 1};
(b) {(a, 1, 1)| a \u2208 R};
(c) {(a, b, c)| a, b \u2208 R, 2a+ 3b = 5c};
Prob 3.2:Determine se formam um subespaço vetorial do R2 subconjunto de todos vetores:
(a) com exceção daqueles paralelos a uma reta dada;
(b) cujas coordenadas são maiores ou iguais a zero.
Prob 3.3:Considere V e W planos distintos contendo a origem em R3. Determine:
(a) V \u2229W ; (b) V +W .
Prob 3.4:Determine se:
(a) (1, 0, 6) \u2208 \u3008(1, 0, 1), (1, 2, 1)\u3009;
(b) (1,\u22122, 1) \u2208 \u3008(1, 0, 1), (1, 2, 1)\u3009;
(c) {(0, 0, 2, 2), (3, 3, 0, 0), (1, 1, 0,\u22121)} é LI;
Prob 3.5:
(a) {(0, 0, 0)} \u2282 R3 é LI?
(b) {(1, 0,\u22122)} \u2282 R3 é LI?
(c) Caracterize, de forma geral, os conjuntos de um único elemento que são LI.
Prob 3.6:
(a) {(0, 0, 0), (1, 0,\u22122)} \u2282 R3 é LI?
(b) {(1, 0,\u22122), (1, 2, 1)} \u2282 R3 é LI?
(c) {(1, 0,\u22122), (2, 0,\u22124)} \u2282 R3 é LI?
(d) Caracterize, de forma geral, os conjuntos de dois elementos que são LI.
Prob 3.7:
(a) {(1, 0,\u22122), (2, 1, 1), (4, 1,\u22121)} \u2282 R3 é LI?
(b) {(1, 0,\u22122), (2, 1, 1), (1, 2, 8)} \u2282 R3 é LI?
(c) Existe uma caracterização fácil dos conjuntos de três elementos que são LI? (Fácil
no sentido de que se possa decidir \ufffdde cabeça\ufffd se o conjunto é ou não LI, sem a necessidade
de se escalonar nada.)
Prob 3.8:Fazendo o mínimo necessário de contas, diga se são bases de R3:
(a)
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
\uf8ee\uf8f0 11
1
\uf8f9\uf8fb ,
\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb\uf8fc\uf8fd\uf8fe
(b)
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
\uf8ee\uf8f0 11
1
\uf8f9\uf8fb ,
\uf8ee\uf8f0 00
0
\uf8f9\uf8fb ,
\uf8ee\uf8f0 30
1
\uf8f9\uf8fb\uf8fc\uf8fd\uf8fe
(c)
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
\uf8ee\uf8f0 11
1
\uf8f9\uf8fb ,
\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb ,
\uf8ee\uf8f0 30
1
\uf8f9\uf8fb ,
\uf8ee\uf8f0 01
2
\uf8f9\uf8fb\uf8fc\uf8fd\uf8fe
(d)
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
\uf8ee\uf8f0 11
1
\uf8f9\uf8fb ,
\uf8ee\uf8f0 22
2
\uf8f9\uf8fb ,
\uf8ee\uf8f0 30
1
\uf8f9\uf8fb\uf8fc\uf8fd\uf8fe
Prob 3.9:Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de R4:
(a) hiperplano {(x, y, z, w) | x+ y \u2212 w = 0};
3.7. EXERCÍCIOS DE ESPAÇOS VETORIAIS 87
(b) conjunto-solução de
{
x+ z \u2212 w = 0
\u2212z + w = 0 ;
(c) conjunto-solução de
[
0 1 \u22123 0 0
0 0 0 1 0
]
;
(d)
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
r + 2s+ t
\u2212s\u2212 2t
2r + s\u2212 4t
r \u2212 3t
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 r, s, t \u2208 R
\uf8fc\uf8f4\uf8f4\uf8fd\uf8f4\uf8f4\uf8fe.
Prob 3.10:Considere os subespaços do R4, V conjunto solução de
{
x+ y \u2212 w = 0 e W
conjunto solução de
{
x+ z \u2212 w = 0
\u2212z + w = 0 . Determine uma base para a a interseção entre os
subespaços V e W .
Prob 3.11:Considere o conjunto-solução do sistema:
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x\u2212 y = 0
y + w = 0
x+ w = 0
. Queremos retirar uma
equação e acrescentar uma equação ao sistema mantendo o mesmo espaço solução. Determine
uma equação que pode ser:
(a) retirada;
(b) acrescentada, que seja não-nula e distinta das outras.
LI e LD: teóricos
Prob 3.12:Prove que para qualquer u,v,w \u2208 V o conjunto {u\u2212 v,v \u2212w,w \u2212 u} é LD.
Prob 3.13: Sejam {v1,v2, . . . ,vn} vetores LI e W = \u3008v1,v2, . . . ,vn\u3009. Prove que:
(a) se w \u2208 W então {w,v1,v2, . . . ,vn} é LD;
(b) {v2, . . . ,vn} é LI;
(c) \u3008v2, . . . ,vn\u3009 6= W .
Espaços de Polinômios e Funções
Prob 3.14:Veri\ufb01que se é subespaço vetorial de F([a, b];R) o conjunto das funções f :
[a, b]\u2192 R tais que:
(a) f(a) = f(b) = 0; (b) f(a) = f(b) = 1;
(c) f(x) \u2265 0 para todo x \u2208 [a, b]; (d) f é derivável e f \u2032 + 2f = 0.
Prob 3.15:Mostre que é LD:
(a) {1 + 2x, 1 + x, 1\u2212 x} \u2282 P2; (b) {1, sen2(x), cos2(x)} \u2282 F(R;R).
Prob 3.16:Determine se são LIs ou LDs em P3:
(a) {1, x2, x2 + 4}; (b) {x+ 2, x+ 3, x2 \u2212 3}; (c) {x2 \u2212 2x, 1 + x, x2 + 2}.
Prob 3.17:Considere o espaço das funções in\ufb01nitamente diferenciáveis f : [a, b] \u2192 R,
denotado por C\u221e(R;R). Veri\ufb01que que o subespaço:
(a) {f \u2208 C\u221e(R;R)| f \u2032 = 0} é gerado por g tal que g(x) = 1;
(b) {f \u2208 C\u221e(R;R)| f \u2032 \u2212 f = 0} é gerado por g tal que g(x) = ex;
Prob 3.18:Determine se é subespaço vetorial de P4 (espaço dos polinômios de grau menor
ou igual a 4). Em caso a\ufb01rmativo determine uma base e dimensão.
(a) {p \u2208 P4| p(2) = 0}; (b) {p \u2208 P4| p(2) = 1}.
Prob 3.19:Considere U e V subespaços de dimensão 3 contidos em Rp. Para cada p abaixo
determine menor valor possível para dim(U \u2229 V ):
(a) p = 3; (b) p = 4; (c) p = 5; (d) p = 6.
88 CAPÍTULO 3. ESPAÇO VETORIAL
3.7.3 Extras
Subespaços do Rn
Ext 3.1:Determine se:
(a) (1, 0, 1) \u2208 \u3008(1, 1, 1), (1, 2, 1)\u3009;
(b) {(k, 1, 1), (1, k, 1), (1, 1, k)} é LI para k \u2208 R;
(c) R3 = \u3008(2,\u22121, 3), (4, 1, 2), (8,\u22121, 8), (6, 0, 5)\u3009;
Ext 3.2:Fazendo o mínimo necessário de contas, diga se são bases de R3:
(a)
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
\uf8ee\uf8f0 11
1
\uf8f9\uf8fb ,
\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb ,
\uf8ee\uf8f0 85
4
\uf8f9\uf8fb\uf8fc\uf8fd\uf8fe (b)
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
\uf8ee\uf8f0 11
1
\uf8f9\uf8fb ,
\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb ,
\uf8ee\uf8f0 86
4
\uf8f9\uf8fb\uf8fc\uf8fd\uf8fe
Ext 3.3:Determine uma base e a dimensão dos subespaços do R4, solução do sistema linear:
(a)
{
x\u2212 y + z \u2212 w = 0 ; (b)
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x\u2212 y + z \u2212 2w = 0
2x+ y \u2212 z \u2212 w = 0
x+ 2y \u2212 2z + w = 0
.
(c) acrescente equações não-nulas a (b) que não alterem o subespaço.
Ext 3.4:Determine para cada subespaço do Rn abaixo uma base e a dimensão:
(a) \u3008(0,\u22121, 2, 1), (1, 2, 1, 0), (1, 1, 3, 1), (3, 5, 5, 1)\u3009;
(b) \u3008(1, 0, 1,\u22121), (2, 3, 3, 0), (1, 3, 2, 1), (0, 3, 1, 2)\u3009;
(c) \u3008(1, 2, 0, 1, 2), (\u22121, 0, 1, 2, 1), (0, 6, 3, 9, 9)\u3009.
Ext 3.5:Um subespaço do Rn pode ser determinado por:
(a) espaço gerado, W = \u3008v1,v2, . . . ,vn\u3009, por exemplo, W = \u3008(1, 0, 1), (1, 2, 1)\u3009;
(b) solução de sistema homogêneo, W = {w \u2208 Rn| Aw = 0}, por exemplo,{
x\u2212 y = 0
y + z = 0
;
(c) parametrização, por exemplo, W = {(2s+ 3t, s+ t, s\u2212 t) \u2208 R3| s, t \u2208 R}.
Descreva como converter entre estes três tipos utilizando os exemplos para efetuar as
conversões;
Ext 3.6:Considere (a, b), (c, d) \u2208 R2. Mostre que eles são LDs se, e somente se, ad\u2212bc = 0.
LI e LD: teóricos
Ext 3.7: Suponha que {v1,v2,v3} é um conjunto LI. Prove que {w1,w2,w3} com wi =
v1 + vi (com i = 1, 2, 3) é um conjunto LI.
Ext 3.8: Seja A matriz m× n. Prove que:
(a) Ax = b tem solução para todo lado direito b \u2208 Rm, se e só se as colunas de A
formam um conjunto gerador.
(b) Ax = 0 tem solução única se e só se as colunas de A formam um conjunto LI.
Ext 3.9: Suponha que os sistemas lineares Ax = b1 e Ax = b2 têm, ambos, soluções únicas.
O que podemos dizer sobre o conjunto-solução de Ax = c, onde:
(a) c = 3b1 \u2212 2b1 ? (b) c é qualquer vetor?
Ext 3.10:
(a) Seja \u3b2 = {v1,v2, . . . ,vn} tal que o subconjunto \u3b3 = {v1,v2, . . . ,vk}, com k \u2264 n, é
LD. Mostre que \u3b2 é LD.
(b) Mostre que se {v1,v2, . . . ,vn} é LI então qualquer subconjunto será LI também.
Ext 3.11: Seja \u3b2 = {v1,v2, . . . ,vn} um conjunto de vetores tal que:
3.7. EXERCÍCIOS DE ESPAÇOS VETORIAIS 89
(a) {v1,v2, . . . ,vn\u22121} é LI; (b) vn 6\u2208 \u3008v1,v2, . . . ,vn\u22121\u3009.
Mostre que \u3b2 é LI.
Espaços de Funções ou Polinômios
Ext 3.12:Considere o espaço das funções in\ufb01nitamente diferenciáveis f : [a, b] \u2192 R, deno-
tado por C\u221e(R;R). Veri\ufb01que que o subespaço:
(a) {f \u2208 C\u221e(R;R)| f \u2032\u2032 = 0} é gerado por g e h tais que g(x) = 1 e h(x) = x;
(b) {f \u2208 C\u221e(R;R)| f \u2032\u2032 \u2212 f = 0} é gerado por g e h tais que g(x) = sen(x) e h(x) =
cos(x);
Ext 3.13:Veri\ufb01que se é subespaço vetorial de F([a, b];R) o conjunto das funções f : [a, b]\u2192
R tais que:
(a) f é uma função constante; (b) f é derivável;
(c) f não é derivável; (d) f é contínua e
\u222b b
a
f(x) dx = 0.
Ext 3.14:Determine se é subespaço vetorial de P4 (espaço dos polinômios de grau menor ou
igual a 4). Em caso a\ufb01rmativo determine uma base e dimensão.
(a) {p \u2208 P4| p\u2032(2) = 0}; (b) {p \u2208 P4| p(x) = p(\u2212x)};
Ext 3.15:Determine a dimensão de \u3008cos2(x), sen2(x), cos(2x), sin(2x)\u3009