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vetor w 6∈ β, obteremos um conjunto que (é, pode ser)
(LI, LD);

(d) o vetor 0 (pertence, não pertence, pode pertencer) a β.

Fix 3.11: Seja β ⊂ R7 gerador.
(a) β possui (no máximo, exatamente, no mínimo) 7 vetores;

(b) retirando de β um vetor, obteremos um conjunto que (é, não é, pode ser)
gerador;

(c) acrescentando a β um vetor w 6∈ β, obteremos um conjunto que (é, não é,
pode ser) gerador;

(d) o vetor 0 (pertence, não pertence, pode pertencer) a β.

Fix 3.12: Se W = 〈v1,v2, . . . ,vn〉 então:
(a) 0 (∈, 6∈) W ; (b) 6v2 − 5v3 (∈, 6∈) W ; (c) dimW (=;<;≤;>;≥) n.

86 CAPÍTULO 3. ESPAÇO VETORIAL

3.7.2 Problemas

Subespaços do Rn

Prob 3.1:Determine se é subespaço vetorial de R3:
(a) {(a, b, c)| a, c ∈ R, b = a+ c+ 1};
(b) {(a, 1, 1)| a ∈ R};
(c) {(a, b, c)| a, b ∈ R, 2a+ 3b = 5c};
Prob 3.2:Determine se formam um subespaço vetorial do R2 subconjunto de todos vetores:
(a) com exceção daqueles paralelos a uma reta dada;

(b) cujas coordenadas são maiores ou iguais a zero.

Prob 3.3:Considere V e W planos distintos contendo a origem em R3. Determine:
(a) V ∩W ; (b) V +W .
Prob 3.4:Determine se:

(a) (1, 0, 6) ∈ 〈(1, 0, 1), (1, 2, 1)〉;
(b) (1,−2, 1) ∈ 〈(1, 0, 1), (1, 2, 1)〉;
(c) {(0, 0, 2, 2), (3, 3, 0, 0), (1, 1, 0,−1)} é LI;
Prob 3.5:

(a) {(0, 0, 0)} ⊂ R3 é LI?
(b) {(1, 0,−2)} ⊂ R3 é LI?
(c) Caracterize, de forma geral, os conjuntos de um único elemento que são LI.

Prob 3.6:

(a) {(0, 0, 0), (1, 0,−2)} ⊂ R3 é LI?
(b) {(1, 0,−2), (1, 2, 1)} ⊂ R3 é LI?
(c) {(1, 0,−2), (2, 0,−4)} ⊂ R3 é LI?
(d) Caracterize, de forma geral, os conjuntos de dois elementos que são LI.

Prob 3.7:

(a) {(1, 0,−2), (2, 1, 1), (4, 1,−1)} ⊂ R3 é LI?
(b) {(1, 0,−2), (2, 1, 1), (1, 2, 8)} ⊂ R3 é LI?
(c) Existe uma caracterização fácil dos conjuntos de três elementos que são LI? (Fácil

no sentido de que se possa decidir �de cabeça� se o conjunto é ou não LI, sem a necessidade

de se escalonar nada.)

Prob 3.8:Fazendo o mínimo necessário de contas, diga se são bases de R3:

(a)


 11

1

 ,
 12

3


(b)


 11

1

 ,
 00

0

 ,
 30

1


(c)


 11

1

 ,
 12

3

 ,
 30

1

 ,
 01

2


(d)


 11

1

 ,
 22

2

 ,
 30

1


Prob 3.9:Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de R4:
(a) hiperplano {(x, y, z, w) | x+ y − w = 0};

3.7. EXERCÍCIOS DE ESPAÇOS VETORIAIS 87

(b) conjunto-solução de

{
x+ z − w = 0
−z + w = 0 ;

(c) conjunto-solução de

[
0 1 −3 0 0
0 0 0 1 0

]
;

(d)




r + 2s+ t
−s− 2t

2r + s− 4t
r − 3t


∣∣∣∣∣∣∣∣ r, s, t ∈ R

.
Prob 3.10:Considere os subespaços do R4, V conjunto solução de

{
x+ y − w = 0 e W
conjunto solução de

{
x+ z − w = 0
−z + w = 0 . Determine uma base para a a interseção entre os
subespaços V e W .

Prob 3.11:Considere o conjunto-solução do sistema:


x− y = 0
y + w = 0
x+ w = 0
. Queremos retirar uma

equação e acrescentar uma equação ao sistema mantendo o mesmo espaço solução. Determine

uma equação que pode ser:

(a) retirada;

(b) acrescentada, que seja não-nula e distinta das outras.

LI e LD: teóricos

Prob 3.12:Prove que para qualquer u,v,w ∈ V o conjunto {u− v,v −w,w − u} é LD.
Prob 3.13: Sejam {v1,v2, . . . ,vn} vetores LI e W = 〈v1,v2, . . . ,vn〉. Prove que:
(a) se w ∈ W então {w,v1,v2, . . . ,vn} é LD;
(b) {v2, . . . ,vn} é LI;
(c) 〈v2, . . . ,vn〉 6= W .

Espaços de Polinômios e Funções

Prob 3.14:Verifique se é subespaço vetorial de F([a, b];R) o conjunto das funções f :
[a, b]→ R tais que:
(a) f(a) = f(b) = 0; (b) f(a) = f(b) = 1;
(c) f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]; (d) f é derivável e f ′ + 2f = 0.
Prob 3.15:Mostre que é LD:

(a) {1 + 2x, 1 + x, 1− x} ⊂ P2; (b) {1, sen2(x), cos2(x)} ⊂ F(R;R).
Prob 3.16:Determine se são LIs ou LDs em P3:
(a) {1, x2, x2 + 4}; (b) {x+ 2, x+ 3, x2 − 3}; (c) {x2 − 2x, 1 + x, x2 + 2}.
Prob 3.17:Considere o espaço das funções infinitamente diferenciáveis f : [a, b] → R,
denotado por C∞(R;R). Verifique que o subespaço:
(a) {f ∈ C∞(R;R)| f ′ = 0} é gerado por g tal que g(x) = 1;
(b) {f ∈ C∞(R;R)| f ′ − f = 0} é gerado por g tal que g(x) = ex;
Prob 3.18:Determine se é subespaço vetorial de P4 (espaço dos polinômios de grau menor
ou igual a 4). Em caso afirmativo determine uma base e dimensão.

(a) {p ∈ P4| p(2) = 0}; (b) {p ∈ P4| p(2) = 1}.
Prob 3.19:Considere U e V subespaços de dimensão 3 contidos em Rp. Para cada p abaixo
determine menor valor possível para dim(U ∩ V ):
(a) p = 3; (b) p = 4; (c) p = 5; (d) p = 6.

88 CAPÍTULO 3. ESPAÇO VETORIAL

3.7.3 Extras

Subespaços do Rn

Ext 3.1:Determine se:

(a) (1, 0, 1) ∈ 〈(1, 1, 1), (1, 2, 1)〉;
(b) {(k, 1, 1), (1, k, 1), (1, 1, k)} é LI para k ∈ R;
(c) R3 = 〈(2,−1, 3), (4, 1, 2), (8,−1, 8), (6, 0, 5)〉;
Ext 3.2:Fazendo o mínimo necessário de contas, diga se são bases de R3:

(a)


 11

1

 ,
 12

3

 ,
 85

4

 (b)

 11

1

 ,
 12

3

 ,
 86

4


Ext 3.3:Determine uma base e a dimensão dos subespaços do R4, solução do sistema linear:

(a)

{
x− y + z − w = 0 ; (b)


x− y + z − 2w = 0
2x+ y − z − w = 0
x+ 2y − 2z + w = 0
.

(c) acrescente equações não-nulas a (b) que não alterem o subespaço.

Ext 3.4:Determine para cada subespaço do Rn abaixo uma base e a dimensão:
(a) 〈(0,−1, 2, 1), (1, 2, 1, 0), (1, 1, 3, 1), (3, 5, 5, 1)〉;
(b) 〈(1, 0, 1,−1), (2, 3, 3, 0), (1, 3, 2, 1), (0, 3, 1, 2)〉;
(c) 〈(1, 2, 0, 1, 2), (−1, 0, 1, 2, 1), (0, 6, 3, 9, 9)〉.
Ext 3.5:Um subespaço do Rn pode ser determinado por:
(a) espaço gerado, W = 〈v1,v2, . . . ,vn〉, por exemplo, W = 〈(1, 0, 1), (1, 2, 1)〉;
(b) solução de sistema homogêneo, W = {w ∈ Rn| Aw = 0}, por exemplo,{
x− y = 0
y + z = 0
;

(c) parametrização, por exemplo, W = {(2s+ 3t, s+ t, s− t) ∈ R3| s, t ∈ R}.
Descreva como converter entre estes três tipos utilizando os exemplos para efetuar as

conversões;

Ext 3.6:Considere (a, b), (c, d) ∈ R2. Mostre que eles são LDs se, e somente se, ad−bc = 0.

LI e LD: teóricos

Ext 3.7: Suponha que {v1,v2,v3} é um conjunto LI. Prove que {w1,w2,w3} com wi =
v1 + vi (com i = 1, 2, 3) é um conjunto LI.

Ext 3.8: Seja A matriz m× n. Prove que:
(a) Ax = b tem solução para todo lado direito b ∈ Rm, se e só se as colunas de A
formam um conjunto gerador.

(b) Ax = 0 tem solução única se e só se as colunas de A formam um conjunto LI.

Ext 3.9: Suponha que os sistemas lineares Ax = b1 e Ax = b2 têm, ambos, soluções únicas.
O que podemos dizer sobre o conjunto-solução de Ax = c, onde:
(a) c = 3b1 − 2b1 ? (b) c é qualquer vetor?
Ext 3.10:

(a) Seja β = {v1,v2, . . . ,vn} tal que o subconjunto γ = {v1,v2, . . . ,vk}, com k ≤ n, é
LD. Mostre que β é LD.
(b) Mostre que se {v1,v2, . . . ,vn} é LI então qualquer subconjunto será LI também.
Ext 3.11: Seja β = {v1,v2, . . . ,vn} um conjunto de vetores tal que:

3.7. EXERCÍCIOS DE ESPAÇOS VETORIAIS 89

(a) {v1,v2, . . . ,vn−1} é LI; (b) vn 6∈ 〈v1,v2, . . . ,vn−1〉.
Mostre que β é LI.

Espaços de Funções ou Polinômios

Ext 3.12:Considere o espaço das funções infinitamente diferenciáveis f : [a, b] → R, deno-
tado por C∞(R;R). Verifique que o subespaço:
(a) {f ∈ C∞(R;R)| f ′′ = 0} é gerado por g e h tais que g(x) = 1 e h(x) = x;
(b) {f ∈ C∞(R;R)| f ′′ − f = 0} é gerado por g e h tais que g(x) = sen(x) e h(x) =

cos(x);

Ext 3.13:Verifique se é subespaço vetorial de F([a, b];R) o conjunto das funções f : [a, b]→
R tais que:
(a) f é uma função constante; (b) f é derivável;

(c) f não é derivável; (d) f é contínua e

∫ b
a

f(x) dx = 0.

Ext 3.14:Determine se é subespaço vetorial de P4 (espaço dos polinômios de grau menor ou
igual a 4). Em caso afirmativo determine uma base e dimensão.

(a) {p ∈ P4| p′(2) = 0}; (b) {p ∈ P4| p(x) = p(−x)};
Ext 3.15:Determine a dimensão de 〈cos2(x), sen2(x), cos(2x), sin(2x)〉