livro-ALGLIN
260 pág.

livro-ALGLIN

Disciplina:Álgebra Linear II693 materiais7.563 seguidores
Pré-visualização50 páginas
⊂ C(R;R).

3.7.4 Desafios

Des 3.1:Prove que se V ⊂ R1 é um subespaço vetorial então V = 0 ou V = R.
Des 3.2:Considere W ⊂ V ⊂ Rn com dim(W ) = dim(V ). Prove que W = V .
Des 3.3:Um subespaço afim H é a translação de um subespaço vetorial W , isto é, existe
um vetor h0 ∈ V e um subespaço vetorialW ⊂ V tal que H = h0+W = {h0+w | w ∈ W}.
(a) Prove que H é um subespaço afim se, e somente se, para todo u,v ∈ H, vale

θu + (1− θ)v ∈ H para todo θ ∈ R;
(b) Qual propriedade geométrica é expressa por esta propriedade?

Des 3.4: Sejam H,K ⊂ V subespaços vetoriais. Mostre que:
(a) H ∪K não é, em geral, subespaço;
(b) H +K é o menor subespaço contendo H ∪K, isto é se W é subespaço com H ⊂ W
e K ⊂ W , então H +K ⊂ W ;
(c) dim(H +K) = dim(H) + dim(K)− dim(H ∩K).
Des 3.5:Dados os espaços W1 = {(s+ t, t− s, s+ t, 2s+ t) ∈ R4| s, t ∈ R} e
W2 = {(x, y, z, w) ∈ R4| y + z = 0 e x− w + z = 0}, determine uma base e a dimensão
de:

(a) W1 e W2; (b) W1 +W2.

Definição 3.30 (soma direta de subespaços) Dados subespaços vetoriais H eK se H∩
K = {0}, dizemos que H +K é uma soma direta, denotando-a por H ⊕K.

Determine:

(c) um subespaço W3 de modo que W1 ⊕W3 = R4 (soma direta, veja Definição acima);
(d) uma base de W1 ∩W2.
Des 3.6: Suponha que W1 = 〈v1,v2, . . . ,vn〉 e W2 = 〈w1,w2, . . . ,wm〉. Determine como:
(a) calcular W1 +W2;

90 CAPÍTULO 3. ESPAÇO VETORIAL

(b) calcular W1 ∩W2;
(c) encontrar um subespaço W3 de modo que W1 ⊕W3 = R4 (soma direta, veja Defini-
ção 3.30 da p.89);

(d) verificar se W1 ⊂ W2;
(e) verificar se W1 = W2.

Des 3.7: Sejam p, q ∈ C(R;R) e V = {f ∈ C2(R;R)| f ′′(x) + p(x)f ′(x) + q(x)f(x) = 0}
(Problema de Sturm-Liouville).

(a) Mostre que V é um subespaço vetorial de C2(R;R);
(b) Dado g ∈ C(R;R), seja f0 uma solução de f ′′0 (x) + p(x)f ′0(x) + q(x)f0(x) = g(x).
Mostre que h = f + g, com f ∈ V , é solução também, isto é, dada uma solução particular
da equação não-homogênea e uma solução qualquer da equação homogênea, a soma delas é

solução da não-homogênea.

Des 3.8:Considere F(R;R), o espaço das funções reais com domínio em R. Sejam V1 =
{f ∈ F(R;R)| f(−x) = f(x)} (funções pares) e V2 = {f ∈ F(R;R)| f(−x) = −f(x)} (fun-
ções ímpares). Exemplos são sen(x), x, x3 ∈ V2 e cos(x), 1, x2 ∈ V1. De forma geral xn ∈ V1
(é par) se n é par e xn ∈ V2 (é ímpar) se n é ímpar. Mostre que:
(a) V1 e V2 são subespaços vetoriais de F(R;R);
(b) Mostre que V1 ∩ V2 = {0};
(c) Mostre que V1 ⊕ V2 = F(R;R) (soma direta, veja Definição 3.30 da p.89).
Des 3.9:Considere as funções reais I[a,b], definidas por I[a,b](x) = 1 se x ∈ [a, b] e I[a,b](x) = 0
caso contrário. É chamada de função característica (ou indicadora) do intervalo [a, b]. Defina
fk = I[k,k+1].
(a) Prove que o conjunto {f1, . . . , fn} é LI's para qualquer n.
(b) Conclua que o espaço F(R;R) possui dimensão infinita.
Des 3.10:Dado um espaço vetorial V e um conjunto I (não-vazio) qualquer, considere
F(I;V ), o espaço das funções de I em V . Definas as operações de soma e multiplicação por
escalar utilizando as operações correspondentes em V , tal qual na Definição 3.18 da p.76.
Prove que F(I;V ) é um espaço vetorial.
Des 3.11:Considere V = {p ∈ P4| p(1) = 0} e W = {p ∈ P4| p(−1) = 0}. Determine uma
base e a dimensão de:

(a) V ; (b) W ; (c) V ∩W .
Des 3.12:Considere o espaço das funções reais no intervalo (a, b). Mostre que as funções
xr1 , . . . , xrk formam um conjunto LI com ri ∈ R distintos.
Des 3.13:Considere P o conjunto dos números reais positivos. Introduza em P duas opera-
ções:

(a) dados x, y ∈ P a �soma� x⊕ y por xy;
(b) dado x ∈ P e λ ∈ R definimos o �produto� λ� x por xλ.
P é um espaço vetorial com estas operações? Se for, determine uma base e dimensão.

Capı´tulo 4

Transformac¸a˜o Linear e Matriz

Neste capítulo estudamos os objetos centrais de um curso de Álgebra Linear: transformações

lineares (um tipo especial de função) e matrizes.

Até matrizes apareceram como um artifício para resolver sistemas lineares: ao invés de se

trocar linhas de um sistema, trocam-se linhas da matriz que o representa, etc. Neste capítulo

as matrizes serão objetos matemáticos importantes por si mesmo. Vamos definir operações

no conjunto das matrizes e provar que formam um espaço vetorial quando munido com estas

operações. Além disso matrizes vão representar funções (mais exatamente transformações

lineares) de Rn em Rm. Por exemplo, matrizes representam transformações geométricas
como projeção, reflexão e rotação.

Vamos (re)ver conceitos básicos sobre funções como domínio e imagem, função injetiva

e sobrejetiva, composição de funções e função inversa. Estes conceitos serão aplicados em

transformações lineares (TLs daqui por diante), e matrizes.

Embora tipicamente o aluno já saiba multiplicar matrizes, jogaremos novas luzes sobre o

assunto: qual a origem e diversas interpretações da definição da multiplicação entre matrizes;

como operar matrizes em blocos.

Definimos espaços vetoriais muito importantes associados a TLs e matrizes:

(a) o núcleo; (b) a imagem; (c) o espaço-linha e coluna de uma matriz.

Os resultados principais deste Capítulo são:

� o Teorema 4.12 da p.102 (teorema do núcleo-imagem), que relaciona as dimensões do

núcleo, imagem e domínio de uma TL ou matriz.

� O Teorema 4.17 da p.105 que garante condições para que uma TL seja injetiva ou

sobrejetiva.

� o Teorema 4.33 da p.113 que relaciona o núcleo com a existência de inversa de uma

TL.

� O Teorema 4.38 da p.114 que apresenta um algoritmo para o cálculo da matriz inversa.

� O Lema 4.48 da p.118 que mostra como operar com uma matriz em blocos.

Terminamos o capítulo com duas seções opcionais: uma sobre coordenadas de um vetor

numa base e outra sobre representação matricial de uma TL qualquer e mudança de base.

0

Versão 26.jun.2012 18h

91

92 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ

4.1 Função, Transformação Linear e Matriz

4.1.1 Domínio e Imagem de Função

Definição 4.1 (domínio, contradomínio e imagem de função) Seja f : X → Y uma
função. Dizemos (veja Figura 4.1) que:

• X é o domínio;
• Y é o contra-domínio e
• {y ∈ B; y = f(x) para algum x ∈ X} é a imagem, denotada Im(f) ou f(X).

YX

f(X)

Figura 4.1: Função f : X → Y

Observação 4.1 No contexto de Álgebra Linear é comum utilizar o termo transforma-

ção como sinônimo de função.

Exemplo 4.1 Alguns exemplos de funções:

(a) Considere γ : R→ R2 uma função definida, para cada t ∈ R, γ(t) = (cos t, sen t) ∈
R2. Verifique que a imagem de γ é um círculo unitário, uma curva contida em R2.
(b) Considere V : R2 → R2 a função V (x, y) = (−y, x). Pode-se visualizar esta função
como um campo de vetores no plano. A cada ponto (x, y) associamos o vetor V (x, y).
(c) Considere F o conjunto das funções deriváveis em R. Defina D : F → F por

D(f) = f ′ (a derivada da função). A cada função derivável associamos outra função: sua
derivada.

(d) Considere T : A ⊂ R3 → R uma função que associa a cada ponto do conjunto
A ⊂ R3 (pode-se pensar numa bloco de metal) sua temperatura T (x, y, z).
No exemplo anterior vimos funções entre diversos espaços. Podemos ter, de forma mais

geral, funções de Rn → Rm. Estas serão objeto de quase todo capítulo.

4.1.2 Transformação Linear e Matriz

Definição 4.2 (transformação linear) Sejam V e W espaços vetoriais. Uma função (ou
transformação) T : V → W é dita transformação linear (TL) se:

T (ku) = kT (u) (preserva produto) e T (u + v) = T (u) + T (v) (preserva soma),

para todo u,v ∈ V e k escalar. Isto é equivalente a preservar combinações lineares, isto é:

T (ku + v) = kT (u) + T (v).

4.1. FUNÇÃO, TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ 93

Exemplo 4.2 (TLs triviais) Verifique que são TLs:

(a) I : V → V definida por I(v) = v para todo v ∈ V , chamada de identidade.
(b) 0 : V → W definida por 0(v) = 0 para todo v ∈ V .

Solução:Deixamos para o leitor.

Exemplo 4.3 Determine se é linear T : R3 → R2 definida por
(a) T (x,