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Disciplina:Álgebra Linear II693 materiais7.563 seguidores
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y, z) = (z, −x); (b) T (x, y, z) = (z, xy).

Solução: (a) Como, T (kx + y) = T (kx1 + y1, kx2 + y2, kx3 + y3) = (kx3 + y3, −(kx1 +
y1)) = k(x3, −x1) + (y3, −y1) = kT (x) + T (y), concluímos que é linear.
(b) Como T (1, 1, 1) = (1, 1) e T (2, 2, 2) = (2, 4) 6= 2T (1, 1, 1), concluímos que não é
linear.

Observação 4.2 É fácil verificar que se T é linear, então T (0) = T (−0+0) = −T (0) +
T (0) = 0. A recíproca não é verdadeira: existem funções que satisfazem isto mas não são
lineares (veja Exemplo 4.3 e Exemplo 4.21 da p.106).

Definição 4.3 (TL associada a uma matriz) Dada uma matriz m× n A ∈Mm×n, de-
finimos TA : Rn → Rm por TA(w) = Aw (produto matriz-vetor). TA é uma transformação
linear pelo Lema 2.20 da p.54 (linearidade do produto matriz-vetor).

Observação 4.3 Abusando a linguagem dizemos �dada a matriz A ∈ Mm×n, considere
A : Rn → Rm�, utilizando o mesmo símbolo para a matriz e para a função. O correto seria
dizer �dada a matriz A, considere a função TA�.

Exemplo 4.4 Para cada matriz B abaixo determine o domínio, o contradomínio e a trans-
formação associada TB.

(a) B =

[
1 2 3
4 5 6

]
; (b) B =

 2 35 6
3 −1


; (c) B =

[ −3 −2 ]
; (d) B =

 2−2
−3


.

Solução: (a) Como são 2 linhas e 3 colunas, TB : R3 → R2. Utilizando a definição do
produto matriz-vetor,

B

 xy
z

 = [ 1 2 3
4 5 6

] xy
z

 = x [ 1
4

]
+ y

[
2
5

]
+ z

[
3
6

]
=

=

[
x

4x

]
+

[
2y
5y

]
+

[
3z
6z

]
=

[
x+ 2y + 3z

4x+ 5y + 6z

]
.

É mais fácil (e é o que deve ser feito na prática) usar o Lema 2.22 da p.54 e fazer

produto escalar com linhas: B

 xy
z

 = [ 1 2 3
4 5 6

] xy
z

 = [ (1, 2, 3) · (x, y, z)
(4, 5, 6) · (x, y, z)

]
=[

x+ 2y + 3z
4x+ 5y + 6z

]
. De uma forma ou de outra, concluímos que TB(x, y, z) = (x + 2y +

3z, 4x+ 5y + 6z).

94 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ

(b) Como são 3 linhas e 2 colunas, TB : R2 → R3, TB(x, y) = (2x+ 3y, 5x+ 6y, 3− y).
(c) Como são 1 linha e 2 colunas, TB : R2 → R, TB(x, y) = (−3x− 2y).
(d) Como são 3 linhas e 1 coluna, TB : R→ R3, TB(x) = (2x, −2x, −3x).
O próximo lema permite determinar uma TL no espaço todo conhecendo seus valores

somente numa base (caso seja finita).

Lema 4.4 (determinando uma TL) Seja T : U → V transformação linear e
{u1,u2, . . . ,un} base de U . Se conhecemos T (ui) para i = 1, . . . , n, então T (u) está
bem determinado para qualquer u ∈ U .
Prova: Dado u ∈ U qualquer, pela definição de base, existem α′is tais que u =

∑n
i=1 αiui.
Pela linearidade, T (u) = T (

∑n
i=1 αiui) =

∑n
i=1 αiT (ui). Como os valores T (ui) são conhe-
cidos, a transformação está determinada de modo único.

Exemplo 4.5 Determine uma TL satisfazendo em cada caso:

(a) T : R2 → R2 tal que T (1, 0) = (2,−1) e T (0, 1) = (3, 1);
(b) T : R2 → R tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3.
Solução: (a) Como (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1), pela linearidade, T (x, y) = xT (1, 0) +
yT (0, 1) = x(2,−1) + y(3, 1) = (2x + 3y, y − x). (b) Como (1, 1) e (0, 1) são LIs,
formam uma base do R2. Dado (x, y) ∈ R2, (x, y) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1). Logo,
T (x, y) = xT (1, 1) + (y − x)T (0, 1) = 2x+ 3(y − x) = 3y − x.
Lema 4.5 (bijeção entre matrizes e TLs) A função da Definição 4.3 que associa a cada

matriz A ∈Mm×n a transformação linear TA : Rn → Rm é uma bijeção.
Prova: Vamos provar a injetividade. Suponha que TA = TB. Logo, dados vetores ei,
i = 1, . . . , n da base canônica do Rn, temos TA(ei) = Aei = Bei = TB(ei) para todo i.
Agora, é claro que Aei é a i-ésima coluna de A pois na combinação linear dos vetores colunas
de A vai aparecer somente a i-ésima coluna. Do mesmo modo, Bei é a i-ésima coluna de
B. Concluímos que cada coluna de A é igual a cada coluna de B, isto é, A = B, provando
a injetividade.

Para a sobrejetividade, considere S : Rn → Rm uma TL. Defina vi = S(ei), i = 1, . . . , n.

Defina A =

 ↑v1
↓
· · ·

↑
vn
↓


. Agora, é claro que Aei = vi. Logo TA(ei) = Aei = vi =

S(ei). Como S e TA são lineares e assumem os mesmo valores em todos os vetores da base,
pelo Lema 4.4 acima, S = TA.

Observação 4.4 Pelo lema acima toda TL do Rn em Rm é dada por uma matriz e vice-
versa. Isto é verdade para espaços de dimensão finita pela Definição 4.51 da p.123 e o

estudo de TLs em EVs finitos pode ser reduzido ao estudo de matrizes.

Exemplo 4.6 Determine a matriz associada à TL:

(a) T (x, y, z, w) = (x− y + 2z, x+ y, z + w);
(b) T que leva cada vetor do R3 na sua projeção ortogonal no plano xz.
(c) T que leva cada vetor do R3 na sua rotação em torno do eixo z por um ângulo de 90
graus no sentido anti-horário do plano xy1.

1

Orientar sentido de rotações em R3 é um problema delicado. Neste caso, por se tratar do plano xy,
pensamos na orientação usual do plano. Em outras partes do livro, quando rodamos em torno de outros

eixos, seremos pouco precisos neste ponto.

4.1. FUNÇÃO, TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ 95

Solução: (a) Calcule T (1, 0, 0, 0) = (1, 1, 0), T (0, 1, 0, 0) = (−1, 1, 0), T (0, 0, 1, 0) =
(2, 0, 1),
T (0, 0, 0, 1) = (0, 0, 1). Colocando estes vetores como colunas da matriz T , obtemos que

T =

 1 −1 2 01 1 0 0
0 0 1 1

 .
(b) É claro que (porque?) T (1, 0, 0) = (1, 0, 0) (o vetor e1 pertence ao plano xz),

T (0, 1, 0) = (0, 0, 0) (o vetor e2 é perpendicular ao plano xz), T (0, 0, 1) = (0, 0, 1) (o vetor
e3 pertence ao plano xz). Colocando estes vetores como colunas da matriz T , obtemos que

T =

 1 0 00 0 0
0 0 1

 .
(c) É claro que (porque?) T (1, 0, 0) = (0, 1, 0), T (0, 1, 0) = (−1, 0, 0), T (0, 0, 1) =

(0, 0, 1). Colocando estes vetores como colunas da matriz T , obtemos que

T =

 0 −1 01 0 0
0 0 1

 .

4.1.3 Transformações Lineares Geométricas

Matrizes que representam transformações geométricas como projeção, rotação, reflexão e

homotetias (ampliações e reduções) são utilizadas em computação gráfica e para o estudo

da geometria das transformações lineares. Este ponto de vista geométrico será retomado na

p.199 (veja as figuras!). Deixamos para o leitor verificar que estas transformações geométricas

são TLs.

Exemplo 4.7 (exemplos no R2) Determine a matriz que:
(a) amplia todos os vetores por um fator k.
(b) reflete os vetores em torno do eixo x.
(c) projeta (ortogonalmente) os vetores no eixo x.
(d) reflete os vetores em torno da reta y = −x.

Solução: (a) A(1, 0) = k(1, 0) = (k, 0), A(0, 1) = k(0, 1) = (0, k). Logo, A =

[
k 0
0 k

]
=

kI. Para ilustração do caso k = 2 veja Figura 4.2.

(b) A(1, 0) = (1, 0), A(0, 1) = (0,−1). Logo, A =
[

1 0
0 −1

]
. Para ilustração veja

Figura 4.3.

(c) A(1, 0) = (1, 0), A(0, 1) = (0, 0). Logo, A =

[
1 0
0 0

]
. Para ilustração veja Fi-

gura 4.4.

(d) Com auxílio de um desenho, verifique que A(1, 0) = (0,−1), A(0, 1) = (−1, 0). Logo,
A =

[
0 −1
−1 0

]
.

96 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ

x

y

Tv0◦

Tv23◦

Tv45◦

Tv68◦
Tv90◦

Tv113◦

Tv135◦

Tv158◦

Tv180◦

Tv205◦

Tv225◦

Tv248◦ Tv270◦
Tv293◦

Tv315◦

Tv338◦

v0◦

v23◦

v45◦
v68◦

v90◦v113◦
v135◦

v158◦

v180◦

v205◦

v225◦
v248◦v270◦

v293◦
v315◦

v338◦

Figura 4.2: Ampliação Uniforme: A(x, y) = (2x, 2y)

x

y

v0◦ = Tv0◦v180◦ = Tv180◦

v23◦

Tv23◦

v45◦

Tv45◦

v68◦

Tv68◦

v90◦

Tv90◦

v113◦

Tv113◦

v135◦

Tv135◦

v158◦

Tv158◦

Figura 4.3: Reflexão no eixo x: A(x, y) = (x,−y)

Exemplo 4.8 (exemplos no R3) Determine a matriz que:
(a) projeta (ortogonalmente) os vetores do espaço no plano z = 0.

(b) reflete os vetores do espaço em torno do plano z = 0.

(c) que projeta (ortogonalmente) os vetores do espaço no plano y = 0.

Solução: (a) Como os vetores que estão no plano z = 0 tem como imagem eles mesmo,
A(1, 0, 0) = (1, 0, 0), A(0, 1, 0) = (0, 1, 0). O vetor (0, 0, 1) quando projetado valerá