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. 107
4.3.1 Composição de Funções e TLs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3.2 Produto Matriz-Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.4 Função e Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.4.1 Função Inversa e TLs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.4.2 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.5 Álgebra das Matrizes e TLs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.5.1 Álgebra de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.5.2 ?Álgebra das TLs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.6 Matriz em Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.7 ?Matriz Representando Vetor: Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.8 ?Matriz Representando TL: Mudança de Base . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.9 Exercícios de Transformações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.9.1 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.9.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
SUMÁRIO xiii
4.9.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.9.4 Desa\ufb01os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5 Produto Interno 137
5.1 Produto Interno em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.2 Complemento Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.3 Aplicação: Sistemas Sem Solução (Mínimos Quadrados) . . . . . . . . . . . 143
5.4 Aplicação: Projeção Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.5 ?Mínimos Quadrados e Projeção: Teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.6 ?Aplicação: Aproximando Funções por Polinômios . . . . . . . . . . . . . . 150
5.7 ?Cauchy-Schwarz e Ângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.8 ?Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.9 Exercícios de Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.9.1 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.9.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.9.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.9.4 Desa\ufb01os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6 Determinante 167
6.1 Motivação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.2 De\ufb01nição e Propriedades Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.3 Calculando Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.3.1 Fórmula do Determinante em R2 e R3: Regra de Sarrus . . . . . . . 173
6.3.2 Algoritmo para Cálculo do Determinante . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.4 Mais Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.5 Determinante e Mudança de Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.6 Produto Vetorial e Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.7 ?Sinal do Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.8 ?Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.9 Exercícios de Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.9.1 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.9.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.9.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.9.4 Desa\ufb01os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7 Autovetores e Diagonalização 195
7.1 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.2 Diagonalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.3 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.4 Exercícios de Autovalores, Autovetores e Diagonalização . . . . . . . . . . . 208
7.4.1 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.4.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
7.4.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.4.4 Desa\ufb01os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
A Notação 217
A.1 Básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
A.2 Espaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
A.3 Bases e Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
xiv SUMÁRIO
A.4 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
A.5 Produto Interno e Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
B Respostas dos Exercícios 219
B.1 Introdução à Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
B.1.1 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
B.1.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
B.1.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
B.1.4 Desa\ufb01os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
B.2 Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
B.2.1 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
B.2.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
B.2.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
B.2.4 Desa\ufb01os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
B.3 Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
B.3.1 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
B.3.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
B.3.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
B.3.4 Desa\ufb01os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
B.4 Transformações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
B.4.1 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
B.4.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
B.4.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
B.4.4 Desa\ufb01os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
B.5 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
B.5.1 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
B.5.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
B.5.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
B.5.4 Desa\ufb01os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
B.6 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
B.6.1 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
B.6.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
B.6.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
B.6.4 Desa\ufb01os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
B.7 Autovalores, Autovetores e Diagonalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
B.7.1 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
B.7.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
B.7.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . .