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. 107

4.3.1 Composição de Funções e TLs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.3.2 Produto Matriz-Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.4 Função e Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.4.1 Função Inversa e TLs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.4.2 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.5 Álgebra das Matrizes e TLs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.5.1 Álgebra de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.5.2 ?Álgebra das TLs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.6 Matriz em Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.7 ?Matriz Representando Vetor: Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.8 ?Matriz Representando TL: Mudança de Base . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.9 Exercícios de Transformações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.9.1 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.9.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

SUMÁRIO xiii

4.9.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.9.4 Desafios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5 Produto Interno 137

5.1 Produto Interno em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.2 Complemento Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.3 Aplicação: Sistemas Sem Solução (Mínimos Quadrados) . . . . . . . . . . . 143

5.4 Aplicação: Projeção Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.5 ?Mínimos Quadrados e Projeção: Teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.6 ?Aplicação: Aproximando Funções por Polinômios . . . . . . . . . . . . . . 150
5.7 ?Cauchy-Schwarz e Ângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.8 ?Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.9 Exercícios de Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.9.1 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.9.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5.9.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.9.4 Desafios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

6 Determinante 167

6.1 Motivação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.2 Definição e Propriedades Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

6.3 Calculando Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6.3.1 Fórmula do Determinante em R2 e R3: Regra de Sarrus . . . . . . . 173
6.3.2 Algoritmo para Cálculo do Determinante . . . . . . . . . . . . . . . 174

6.4 Mais Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6.5 Determinante e Mudança de Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

6.6 Produto Vetorial e Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.7 ?Sinal do Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.8 ?Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.9 Exercícios de Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.9.1 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.9.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.9.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6.9.4 Desafios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

7 Autovetores e Diagonalização 195

7.1 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

7.2 Diagonalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

7.3 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

7.4 Exercícios de Autovalores, Autovetores e Diagonalização . . . . . . . . . . . 208

7.4.1 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

7.4.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

7.4.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

7.4.4 Desafios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

A Notação 217

A.1 Básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

A.2 Espaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

A.3 Bases e Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

xiv SUMÁRIO

A.4 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

A.5 Produto Interno e Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

B Respostas dos Exercícios 219

B.1 Introdução à Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

B.1.1 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

B.1.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

B.1.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

B.1.4 Desafios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

B.2 Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

B.2.1 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

B.2.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

B.2.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

B.2.4 Desafios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

B.3 Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

B.3.1 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

B.3.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

B.3.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

B.3.4 Desafios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

B.4 Transformações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

B.4.1 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

B.4.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

B.4.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

B.4.4 Desafios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

B.5 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

B.5.1 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

B.5.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

B.5.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

B.5.4 Desafios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

B.6 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

B.6.1 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

B.6.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

B.6.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

B.6.4 Desafios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

B.7 Autovalores, Autovetores e Diagonalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

B.7.1 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

B.7.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

B.7.3 Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . .