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4.1. FUNÇÃO, TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ 97
x
y
v0\u25e6 = Tv0\u25e6v180\u25e6 = Tv180\u25e6
v23\u25e6
v45\u25e6
v68\u25e6
v90\u25e6v112\u25e6
v135\u25e6
v158\u25e6
v202\u25e6
v225\u25e6
v248\u25e6 v270\u25e6
v292\u25e6
v315\u25e6
v338\u25e6
Tv23\u25e6Tv45\u25e6Tv68\u25e6Tv112\u25e6Tv135\u25e6Tv158\u25e6
Tv202\u25e6Tv225\u25e6 Tv248\u25e6 Tv292\u25e6 Tv315\u25e6Tv338\u25e6
Figura 4.4: Projeção ortogonal no eixo-x: A(x, y) = (x, 0)
Logo, A(0, 0, 1) = (0, 0, 0). Logo, A =
\uf8ee\uf8f0 1 0 00 1 0
0 0 0
\uf8f9\uf8fb
. Para ilustração veja Figura 4.5.
(b) Como os vetores que estão no plano z = 0 tem como imagem eles mesmo, A(1, 0, 0) =
(1, 0, 0), A(0, 1, 0) = (0, 1, 0). O vetor (0, 0, 1) após re\ufb02exão se transformará em \u2212(0, 0, 1).
Logo, A(0, 0, 1) = (0, 0,\u22121). Logo, A =
\uf8ee\uf8f0 1 0 00 1 0
0 0 \u22121
\uf8f9\uf8fb
.
(c) Como os vetores que estão no plano y = 0 tem como imagem eles mesmo, A(1, 0, 0) =
(1, 0, 0), A(0, 0, 1) = (0, 0, 1). O vetor (0, 1, 0) quando projetado valerá (0, 0, 0). Logo,
A(0, 1, 0) = (0, 0, 0). Logo, A =
\uf8ee\uf8f0 1 0 00 0 0
0 0 1
\uf8f9\uf8fb
.
z
y
x
v1
v2
Tv1 = Tv2
v3
v4
Tv3 = Tv4
Figura 4.5: Projeção ortogonal no plano z = 0: A(x, y, z) = (x, y, 0)
98 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ
Exemplo 4.9 (matriz de rotação em R2) Seja R a transformação que roda os vetores
do R2 por um ângulo \u3b8 (no sentido trigonométrico, isto é, anti-horário).
(a) Mostre que R é uma TL; (b) Determine a matriz R.
Solução: (a) Vamos provar através da sequência da Figura 4.6 que R(u+v) = R(u)+R(v).
Na primeira mostramos u,v e u + v. Na segunda, R(u), R(v) e R(u) + R(v). Na terceira
mostramos que R(u)+R(v) é igual a rotação de u+v, isto é que R(u)+R(v) = R(u+v).
Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar. Como a rotação preserva a
soma e o produto por escalar, R é linear.
u + v
u
v
R(v)
R(u)
R(v)
R(u) +R(v)
v
u
u + v
R(u) +R(v)
R
u + v
Figura 4.6: Rotação
(b) Observe na \ufb01gura abaixo a imagem de R(e1) e R(e2).
cos \u3b8
se
n
\u3b8
\u3b8
e1
R(e1)
\u2212 sen \u3b8
cos \u3b8
e2
R(e2)
\u3b8
Logo, R(e1) = (cos \u3b8, sen \u3b8) e R(e2) = (\u2212 sen \u3b8, cos \u3b8). Logo, R =
[
cos \u3b8 \u2212 sen \u3b8
sen \u3b8 cos \u3b8
]
.
Para ilustração de uma rotação de 23\u25e6 veja Figura 4.7.
x
y
v0\u25e6
v45\u25e6
v90\u25e6
v135\u25e6
v180\u25e6
v225\u25e6
v270\u25e6
v315\u25e6
Tv0\u25e6
Tv45\u25e6Tv90\u25e6
Tv135\u25e6
Tv180\u25e6
Tv225\u25e6 Tv270\u25e6
Tv315\u25e6
Figura 4.7: Rotação de 23\u25e6
4.2. NÚCLEO E IMAGEM 99
Exemplo 4.10 Determine a matriz de rotação que roda os vetores do R3 por um ângulo \u3b8
em torno do eixo y.
Solução: Como é em torno do eixo y, A(0, 1, 0) = (0, 1, 0) (vetor no eixo y não é
modi\ufb01cado). Se a rotação for por ângulo \u3b8, (veja Exemplo 4.9) A(1, 0, 0) = (cos \u3b8, 0, sen \u3b8)
e A(0, 0, 1) = (\u2212 sen \u3b8, 0, cos \u3b8). Logo A =
\uf8ee\uf8f0 cos \u3b8 0 \u2212 sen \u3b80 1 0
sen \u3b8 0 cos \u3b8
\uf8f9\uf8fb
.
4.2 Núcleo e Imagem
4.2.1 Núcleo e Imagem
De\ufb01nição 4.6 (Núcleo) (ou kernel) de uma transformação linear T : U \u2192 V , denotado
por Nuc(T ), é o conjunto dos vetores do domínio cuja imagem é o vetor nulo:
Nuc(T ) = {u \u2208 U | T (u) = 0}.
Lema 4.7 (núcleo é subespaço) Dada uma transformação linear T : U \u2192 V , o Nuc(T )
é subespaço vetorial de U .
Prova: Deixamos como exercício para o leitor.
De\ufb01nição 4.8 (Nulidade) de uma transformação linear T é a dimensão do seu núcleo:
dim(Nuc(T )).
Exemplo 4.11 Determine o núcleo de T : R2 \u2192 R de\ufb01nida por:
(a) T (x, y) = y; (b) T (x, y) = y \u2212 x.
Solução: (a) O núcleo são os elementos (x, y) \u2208 R2 que são levados no zero. Como
T (x, y) = 0 = y, o núcleo é a reta y = 0, que corresponde ao eixo x. Mais ainda, T leva a
reta y = 1 no 1 e a reta y = \u22121 no \u22121, conforme indicado na Figura 4.8.
1
0
\u22121
x
y
1
0
\u22121
R2
T
R
T
T
T
kerT
Figura 4.8: T (x, y) = y
(b) O núcleo são os elementos (x, y) \u2208 R2 que são levados no zero. Como T (x, y) = 0 =
y \u2212 x, o núcleo é a reta y = x. Mais ainda, T leva a reta y = x+ 1 no 1 e a reta y = x\u2212 1
no \u22121, conforme indicado na Figura 4.9.
100 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ
1
0
\u22121
x
y
1
0
\u22121
R2
T
R
T
T
T
kerT
Figura 4.9: T (x, y) = y \u2212 x
Exemplo 4.12 Determine uma base e dimensão do núcleo da transformação linear:
(a) A =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2 2 \u22121 0 1
\u22121 \u22121 2 0 1
1 1 \u22122 0 \u22121
0 0 1 0 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb; (b) B =
\uf8ee\uf8f0 1 0 \u22121 0\u22121 \u22121 1 1
0 \u22121 0 1
\uf8f9\uf8fb
.
Solução: (a) Para calcular o núcleo temos que resolver o sistema homogêneo Av = 0.
Para isto, escalonando totalmente A, obtemos
[
1 1 0 0 1
0 0 1 0 1
]
. São três variáveis livres e
portanto o núcleo tem dimensão 3. Tomando r, s, t como parâmetros, obtemos que o núcleo é
(x1, x2, x3, x4, x5) = (\u2212s\u2212 t, s,\u2212t, r, t). Colocando r = 1 e s = t = 0 obtemos (0, 0, 0, 1, 0)
no núcleo. Colocando s = 1 e r = t = 0 obtemos (\u22121, 1, 0, 0, 0) no núcleo. Colocando
t = 1 e r = s = 0 obtemos (\u22121, 0,\u22121, 0, 1) no núcleo. Portanto, uma base para o Nuc(T )
é {(0, 0, 0, 1, 0), (\u22121, 1, 0, 0, 0), (\u22121, 0,\u22121, 0, 1)}.
(b) Para calcular o núcleo temos que resolver o sistema homogêneo Bv = 0. Para
isto, escalonando totalmente B, obtemos
[
1 0 \u22121 0
0 1 0 \u22121
]
. São duas variáveis livres e
portanto o núcleo tem dimensão 2. Tomando s, t como parâmetros, obtemos que o núcleo
é (x1, x2, x3, x4) = (s, t, s, t). Colocando s = 1 e t = 0 obtemos (1, 0, 1, 0) no núcleo.
Colocando t = 1 e s = 0 obtemos (0, 1, 0, 1) no núcleo. Portanto, uma base para o Nuc(T )
é {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1)}.
De\ufb01nição 4.9 (Imagem) de uma transformação linear T : U \u2192 V , denotada por Im(T ),
é o conjunto dos vetores do contra-domínio que são imagem de algum vetor do domínio:
Im(T ) = {v \u2208 V | v = T (u) para algum u \u2208 U}.
Lema 4.10 (imagem é subespaço) Dada uma transformação linear T : U \u2192 V , a Im(T )
é subespaço vetorial de V .
Prova: Deixamos como exercício para o leitor.
De\ufb01nição 4.11 (Posto) de uma transformação linear T é a dimensão da sua imagem
dim(Im(T )).
4.2. NÚCLEO E IMAGEM 101
Observação 4.5 O termo nulidade é pouco utilizado, mas o termo posto é muito co-
mum.
Observação 4.6 (calculando núcleo e imagem de T ) Como obter o núcleo e a
imagem de T : Rn \u2192 Rm?
(a) Para o núcleo vimos nos exemplos: resolva o sistema T (x1, . . . , xn) = (0, . . . , 0).
(b) Para a imagem, escalone (não precisa ser totalmente escalonada, veja Lema 3.15
da p.74) matriz com os vetores T (e1), . . . , T (en) nas linhas para determinar base. Estes
vetores geram a imagem de T pois para todo v no domínio, v =
\u2211n
i=1 \u3bbiei e os vetores
na imagem T (v) =
\u2211n
i=1 \u3bbiT (ei).
Exemplo 4.13 Determine o núcleo, a imagem e suas respectivas dimensões de:
(a) T : R2 \u2192 R, T (x, y) = (x+ 2y);
(b) T : R2 \u2192 R5, T (x, y) = (\u2212x, 2y + x, \u22122x+ 2y, 2y \u2212 x, 2y);
(c) T : R3 \u2192 R5, T (x, y, z) = (y + z, y + z, x+ z, x+ z, x+ z).
Solução: (a) Determinamos o núcleo resolvendo (o sistema linear) T (x, y) = 0 = x + 2y.
Logo x = \u22122y e tomando y = t, x = \u22122t. Logo Nuc(T ) = {(\u22122t, t)} = \u3008(\u22122, 1)\u3009, dimensão
1. Como {(1, 0), (0, 1)} é base de R2, a imagem é gerada por {T (1, 0), T (0, 1)} = {1, 1}.
Logo a imagem é todo o R, com dimensão 1.
(b) Determinamos o núcleo resolvendo (o sistema linear) T (x, y) = 0 = (\u2212x, 2y +
x,\u22122x+ 2y, 2y \u2212 x, 2y); Da primeira equação obtemos \u2212x = 0 e da última 2y = 0. Logo a
única solução é x = y = 0. Concluímos que o núcleo é o 0 (dimensão 0). Como {(1, 0), (0, 1)}
é base de R2, a imagem é gerada por {T (1, 0), T (0, 1)} = {(\u22121, 1,\u22122,\u22121, 0), (0, 2, 2, 2, 2)}.
Logo a imagem é (estes vetores são claramente LIs) o \u3008(\u22121, 1,\u22122,\u22121, 0), (0, 2, 2, 2, 2)\u3009, com
dimensão 2.
(c) Determinamos o núcleo resolvendo (o sistema linear) T (x, y, z) = 0 = (y + z, y +
z, x+z, x+z, x+z); Este sistema é equivalente ao sistema
{
y + z = 0
x+ z = 0
. Escalonando e
resolvendo, são duas equações e três variáveis. Tomando z = t, obtemos y = x = \u2212t. Logo
o núcleo é {(\u2212t,\u2212t, t)} = \u3008(\u22121,\u22121, 1)\u3009, dimensão 1. Como {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é
base de R3, a imagem é gerada por
{T (1, 0, 0), T (0, 1, 0), T (0,