livro-ALGLIN
260 pág.

livro-ALGLIN

Disciplina:Álgebra Linear II693 materiais7.563 seguidores
Pré-visualização50 páginas
(0, 0, 0).

4.1. FUNÇÃO, TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ 97

x

y

v0◦ = Tv0◦v180◦ = Tv180◦

v23◦

v45◦

v68◦
v90◦v112◦

v135◦

v158◦

v202◦

v225◦

v248◦ v270◦
v292◦

v315◦

v338◦

Tv23◦Tv45◦Tv68◦Tv112◦Tv135◦Tv158◦

Tv202◦Tv225◦ Tv248◦ Tv292◦ Tv315◦Tv338◦

Figura 4.4: Projeção ortogonal no eixo-x: A(x, y) = (x, 0)

Logo, A(0, 0, 1) = (0, 0, 0). Logo, A =

 1 0 00 1 0
0 0 0


. Para ilustração veja Figura 4.5.

(b) Como os vetores que estão no plano z = 0 tem como imagem eles mesmo, A(1, 0, 0) =
(1, 0, 0), A(0, 1, 0) = (0, 1, 0). O vetor (0, 0, 1) após reflexão se transformará em −(0, 0, 1).

Logo, A(0, 0, 1) = (0, 0,−1). Logo, A =
 1 0 00 1 0

0 0 −1


.

(c) Como os vetores que estão no plano y = 0 tem como imagem eles mesmo, A(1, 0, 0) =
(1, 0, 0), A(0, 0, 1) = (0, 0, 1). O vetor (0, 1, 0) quando projetado valerá (0, 0, 0). Logo,

A(0, 1, 0) = (0, 0, 0). Logo, A =

 1 0 00 0 0
0 0 1


.

z

y

x

v1

v2

Tv1 = Tv2

v3

v4

Tv3 = Tv4

Figura 4.5: Projeção ortogonal no plano z = 0: A(x, y, z) = (x, y, 0)

98 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ

Exemplo 4.9 (matriz de rotação em R2) Seja R a transformação que roda os vetores
do R2 por um ângulo θ (no sentido trigonométrico, isto é, anti-horário).
(a) Mostre que R é uma TL; (b) Determine a matriz R.

Solução: (a) Vamos provar através da sequência da Figura 4.6 que R(u+v) = R(u)+R(v).
Na primeira mostramos u,v e u + v. Na segunda, R(u), R(v) e R(u) + R(v). Na terceira
mostramos que R(u)+R(v) é igual a rotação de u+v, isto é que R(u)+R(v) = R(u+v).
Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar. Como a rotação preserva a

soma e o produto por escalar, R é linear.

u + v

u
v

R(v)

R(u)

R(v)

R(u) +R(v)

v
u

u + v

R(u) +R(v)
R

u + v

Figura 4.6: Rotação

(b) Observe na figura abaixo a imagem de R(e1) e R(e2).

cos θ

se
n

θ

θ

e1

R(e1)

− sen θ

cos θ

e2

R(e2)
θ

Logo, R(e1) = (cos θ, sen θ) e R(e2) = (− sen θ, cos θ). Logo, R =
[

cos θ − sen θ
sen θ cos θ

]
.

Para ilustração de uma rotação de 23◦ veja Figura 4.7.

x

y

v0◦

v45◦

v90◦

v135◦

v180◦

v225◦

v270◦

v315◦

Tv0◦

Tv45◦Tv90◦

Tv135◦

Tv180◦

Tv225◦ Tv270◦

Tv315◦

Figura 4.7: Rotação de 23◦

4.2. NÚCLEO E IMAGEM 99

Exemplo 4.10 Determine a matriz de rotação que roda os vetores do R3 por um ângulo θ
em torno do eixo y.

Solução: Como é em torno do eixo y, A(0, 1, 0) = (0, 1, 0) (vetor no eixo y não é
modificado). Se a rotação for por ângulo θ, (veja Exemplo 4.9) A(1, 0, 0) = (cos θ, 0, sen θ)

e A(0, 0, 1) = (− sen θ, 0, cos θ). Logo A =
 cos θ 0 − sen θ0 1 0

sen θ 0 cos θ


.

4.2 Núcleo e Imagem

4.2.1 Núcleo e Imagem

Definição 4.6 (Núcleo) (ou kernel) de uma transformação linear T : U → V , denotado
por Nuc(T ), é o conjunto dos vetores do domínio cuja imagem é o vetor nulo:

Nuc(T ) = {u ∈ U | T (u) = 0}.

Lema 4.7 (núcleo é subespaço) Dada uma transformação linear T : U → V , o Nuc(T )
é subespaço vetorial de U .

Prova: Deixamos como exercício para o leitor.

Definição 4.8 (Nulidade) de uma transformação linear T é a dimensão do seu núcleo:
dim(Nuc(T )).

Exemplo 4.11 Determine o núcleo de T : R2 → R definida por:
(a) T (x, y) = y; (b) T (x, y) = y − x.
Solução: (a) O núcleo são os elementos (x, y) ∈ R2 que são levados no zero. Como
T (x, y) = 0 = y, o núcleo é a reta y = 0, que corresponde ao eixo x. Mais ainda, T leva a
reta y = 1 no 1 e a reta y = −1 no −1, conforme indicado na Figura 4.8.

1

0

−1

x

y

1

0

−1

R2
T

R

T

T

T

kerT

Figura 4.8: T (x, y) = y

(b) O núcleo são os elementos (x, y) ∈ R2 que são levados no zero. Como T (x, y) = 0 =
y − x, o núcleo é a reta y = x. Mais ainda, T leva a reta y = x+ 1 no 1 e a reta y = x− 1
no −1, conforme indicado na Figura 4.9.

100 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ

1

0

−1

x

y

1

0

−1

R2
T

R
T

T

T

kerT

Figura 4.9: T (x, y) = y − x

Exemplo 4.12 Determine uma base e dimensão do núcleo da transformação linear:

(a) A =


2 2 −1 0 1
−1 −1 2 0 1

1 1 −2 0 −1
0 0 1 0 1

; (b) B =
 1 0 −1 0−1 −1 1 1

0 −1 0 1


.

Solução: (a) Para calcular o núcleo temos que resolver o sistema homogêneo Av = 0.

Para isto, escalonando totalmente A, obtemos

[
1 1 0 0 1
0 0 1 0 1

]
. São três variáveis livres e

portanto o núcleo tem dimensão 3. Tomando r, s, t como parâmetros, obtemos que o núcleo é
(x1, x2, x3, x4, x5) = (−s− t, s,−t, r, t). Colocando r = 1 e s = t = 0 obtemos (0, 0, 0, 1, 0)
no núcleo. Colocando s = 1 e r = t = 0 obtemos (−1, 1, 0, 0, 0) no núcleo. Colocando
t = 1 e r = s = 0 obtemos (−1, 0,−1, 0, 1) no núcleo. Portanto, uma base para o Nuc(T )
é {(0, 0, 0, 1, 0), (−1, 1, 0, 0, 0), (−1, 0,−1, 0, 1)}.
(b) Para calcular o núcleo temos que resolver o sistema homogêneo Bv = 0. Para

isto, escalonando totalmente B, obtemos

[
1 0 −1 0
0 1 0 −1

]
. São duas variáveis livres e

portanto o núcleo tem dimensão 2. Tomando s, t como parâmetros, obtemos que o núcleo
é (x1, x2, x3, x4) = (s, t, s, t). Colocando s = 1 e t = 0 obtemos (1, 0, 1, 0) no núcleo.
Colocando t = 1 e s = 0 obtemos (0, 1, 0, 1) no núcleo. Portanto, uma base para o Nuc(T )
é {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1)}.

Definição 4.9 (Imagem) de uma transformação linear T : U → V , denotada por Im(T ),
é o conjunto dos vetores do contra-domínio que são imagem de algum vetor do domínio:

Im(T ) = {v ∈ V | v = T (u) para algum u ∈ U}.

Lema 4.10 (imagem é subespaço) Dada uma transformação linear T : U → V , a Im(T )
é subespaço vetorial de V .

Prova: Deixamos como exercício para o leitor.

Definição 4.11 (Posto) de uma transformação linear T é a dimensão da sua imagem
dim(Im(T )).

4.2. NÚCLEO E IMAGEM 101

Observação 4.5 O termo nulidade é pouco utilizado, mas o termo posto é muito co-

mum.

Observação 4.6 (calculando núcleo e imagem de T ) Como obter o núcleo e a
imagem de T : Rn → Rm?
(a) Para o núcleo vimos nos exemplos: resolva o sistema T (x1, . . . , xn) = (0, . . . , 0).
(b) Para a imagem, escalone (não precisa ser totalmente escalonada, veja Lema 3.15

da p.74) matriz com os vetores T (e1), . . . , T (en) nas linhas para determinar base. Estes
vetores geram a imagem de T pois para todo v no domínio, v =

∑n
i=1 λiei e os vetores
na imagem T (v) =

∑n
i=1 λiT (ei).

Exemplo 4.13 Determine o núcleo, a imagem e suas respectivas dimensões de:

(a) T : R2 → R, T (x, y) = (x+ 2y);
(b) T : R2 → R5, T (x, y) = (−x, 2y + x, −2x+ 2y, 2y − x, 2y);
(c) T : R3 → R5, T (x, y, z) = (y + z, y + z, x+ z, x+ z, x+ z).
Solução: (a) Determinamos o núcleo resolvendo (o sistema linear) T (x, y) = 0 = x + 2y.
Logo x = −2y e tomando y = t, x = −2t. Logo Nuc(T ) = {(−2t, t)} = 〈(−2, 1)〉, dimensão
1. Como {(1, 0), (0, 1)} é base de R2, a imagem é gerada por {T (1, 0), T (0, 1)} = {1, 1}.
Logo a imagem é todo o R, com dimensão 1.
(b) Determinamos o núcleo resolvendo (o sistema linear) T (x, y) = 0 = (−x, 2y +

x,−2x+ 2y, 2y − x, 2y); Da primeira equação obtemos −x = 0 e da última 2y = 0. Logo a
única solução é x = y = 0. Concluímos que o núcleo é o 0 (dimensão 0). Como {(1, 0), (0, 1)}
é base de R2, a imagem é gerada por {T (1, 0), T (0, 1)} = {(−1, 1,−2,−1, 0), (0, 2, 2, 2, 2)}.
Logo a imagem é (estes vetores são claramente LIs) o 〈(−1, 1,−2,−1, 0), (0, 2, 2, 2, 2)〉, com
dimensão 2.
(c) Determinamos o núcleo resolvendo (o sistema linear) T (x, y, z) = 0 = (y + z, y +

z, x+z, x+z, x+z); Este sistema é equivalente ao sistema

{
y + z = 0
x+ z = 0
. Escalonando e

resolvendo, são duas equações e três variáveis. Tomando z = t, obtemos y = x = −t. Logo
o núcleo é {(−t,−t, t)} = 〈(−1,−1, 1)〉, dimensão 1. Como {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é
base de R3, a imagem é gerada por
{T (1, 0, 0), T (0, 1, 0), T (0,