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que é igual ao número de linhas

não-nulas da matriz escalonada.

4.2. NÚCLEO E IMAGEM 105

4.2.3 Injetividade, Sobrejetividade e Núcleo

Definição 4.16 (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva) Seja f : A → B uma função.
Dizemos que f é:

• injetiva se f(u) = f(v) implica que u = v. Cada elemento do contra-domínio é
atingido no máximo uma vez;

• sobrejetiva se f(A) = B. Cada elemento do contra-domínio é atingido pelo menos
uma vez;

• bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. Cada elemento do contra-domínio é atingido exa-
tamente uma vez.

Exemplo 4.19 Determine se é injetiva, sobrejetiva e bijetiva:

(a) f : R→ R2 definida por f(x) = (x, x);
(b) f : R2 → R definida por f(x, y) = (x+ y);
(c) f : R3 → R2 definida por f(x, y, z) = (−z, y).

Solução: (a) Geometricamente esta TL leva a reta R na reta y = x do R2 conforme
representado na figura abaixo.

f

É injetiva pois f(x) = f(y) ⇒ (x, x) = (y, y) ⇒ x = y. Não é sobrejetiva pois, por
exemplo, (1, 2) 6= f(x) = (x, x) para todo x ∈ R. A imagem é a reta y = x. Utilizando
o Teorema 4.12 da p.102 (TNI): O núcleo é trivial (verifique!) e portanto a imagem tem

dimensão igual ao do domínio: 1.

(b) Não é injetiva pois, por exemplo, f(1, 0) = f(0, 1). É sobrejetiva pois dado y ∈ R
(elemento do contra-domínio), existe x ∈ R2 (por exemplo, x = (y, 0)) tal que f(x) =
f(y, 0) = y. A imagem de f é R. Utilizando o Teorema 4.12 da p.102 (TNI): O núcleo tem
dimensão 1 (verifique!) e portanto a imagem tem dimensão 1.

(c) Não é injetiva pois, por exemplo, f(0, 0, 0) = (0, 0) = f(2, 0, 0) = f(3, 0, 0). É
sobrejetiva pois dado (a, b) ∈ R2 tome z = −a e y = b. Logo f(2, b, −a) = (a, b).
Utilizando o Teorema 4.12 da p.102 (TNI): O núcleo tem dimensão 1 (verifique!) e portanto

a imagem tem dimensão 2.

Lema 4.17 (injetividade e sobrejetividade de TL) Uma transformação linear T : U →
V é:
(a) injetiva se, e somente se, seu núcleo for igual a 0;
(b) sobrejetiva se, e somente se, seu posto (dim Im(T )) for igual a dim(V ).

Prova: (a) Como T é linear, T (u) = T (v) se, e somente se, T (u−v) = 0, se e somente se,
u−v ∈ Nuc(T ). Logo T é injetiva se, e somente se, u = v se, e somente se, o Nuc(T ) = 0.
(b) Se T for sobrejetiva, Im(T ) = V e portanto, o posto(T ) = dim Im(T ) = dim(V ).
Por outro lado, se o posto(T ) = dim Im(T ) = dim(V ) então Im(T ) ⊂ V é um subespaço
vetorial de V com mesma dimensão que V . Portanto, Im(T ) = V .

106 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ

Corolário 4.18 Uma transformação linear T : V → V num espaço de dimensão finita V é
injetiva se, e somente se, é sobrejetiva.

Prova: De fato se T é injetiva então Nuc(T ) = {0}. Logo, pelo Teorema 4.12 da p.102
(TNI), dimNuc(T ) + dim Im(T ) = 0 + dim Im(T ) = dimV . Logo dim Im(T ) = dimV e,
portanto, Im(T ) = V , isto é, T é sobrejetiva.
Se T é sobrejetiva então Im(T ) = V . Como dim Im(T ) = dimV , pelo TNI dimNuc(T ) =

dimV − dim Im(T ) = 0. Portanto o Nuc(T ) = 0 e T é injetiva.

Exemplo 4.20 Explique em cada caso porque não existe uma TL:

(a) T : R7 → R3 injetiva; (b) T : R2 → R3 sobrejetiva.

Solução: (a) Como contradomínio tem dimensão 3, a imagem tem no máximo dimensão 3
e pelo Teorema 4.12 da p.102 (TNI) o núcleo tem dimensão no mínimo 4. Para ser injetiva
deveria ser igual a 0.
(b) Pelo Teorema 4.12 da p.102 (TNI) a imagem tem no máximo dimensão 2, igual a
dimensão do domínio, menor que a dimensão do contradomínio que é 3.

4.2.4 Aplicações em Espaços de Funções e Polinômios

Exemplo 4.21 Considere o espaço P2 de polinômios de grau máximo 2. Seja C1(R;R) o
espaço das funções continuamente diferenciáveis e C(R;R) o conjunto das funções contínuas.
Determine se é linear, injetiva e sobrejetiva cada uma das funções abaixo. Caso seja linear

determine o núcleo e a imagem.

(a) D : P2 → P2 definida por D(p) = p′ (derivada);
(b) D : C1(R;R)→ C(R;R) definida por D(f) = f ′ (derivada);
(c) T : P → P , definida por T (p)(x) = (p(x))2. Por exemplo se p(x) = x2 + 1,

T (p)(x) = (x2 + 1)2 = x4 + 2x2 + 1.
(d) P : F(R;R)→ R2 definida por P (f) = (f(1), f(2)).

Solução: (a) Para determinar o núcleo seja p(x) = ax2+bx+c, D(p)(x) = 2ax+b = 0 para
todo x implica que a = b = 0. Logo Nuc(D) são os polinômios p(x) = c (constantes). Esta
mesma expressão mostra que a imagem são os polinômios de grau 1 (P1). Sem fazer contas,
o conjunto dos polinômios cuja derivada é a função identicamente nula são os polinômios

constantes. A imagem da derivada de polinômios de grau até 2 são polinômios de grau até 1.
(b) Como D(kf + g) = (kf + g)′ = kf ′ + g′ = kD(f) + D(g), concluímos que é
linear.

Como D(f) = f ′ = 0 implica que f = C (constante) (pelo Teorema do Valor Médio),
kerD é igual ao conjunto das funções constantes. Como núcleo é diferente de zero, D não é
injetiva.

Dada g ∈ C(R;R), defina h(x) = ∫ x
0
g(s) ds. Pelo Teorema fundamental do cálculo

h ∈ C1 e D(h) = h′ = g. Logo D é sobrejetiva.
(c) Embora T (0) = 0, tomando p(x) = x temos T (kp)(x) = k2x2 6= kT (p)(x) = kx2.
Logo não é linear.

Por outro lado se tomarmos polinômios constantes iguais a 1 e (−1) observamos que
T (1) = 1 = T (−1). Logo não é injetiva.
Para qual p, T (p)(x) = x? Para isto teríamos (p(x))2 = x, o que implicaria que p(x) =

±√x. Mas isto não é um polinômio, logo T não é sobrejetiva, pois o polinômio q(x) = x
não é atingido nunca por T .

4.3. COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES E PRODUTO DE MATRIZES 107

(d) Como P (kf + g) = ((kf + g)(1), (kf + g)(2)) = (kf(1) + g(1), kf(2) + g(2)) =
k(f(1), f(2)) + (g(1), g(2)) = kP (f) + P (g), concluímos que é linear.

O núcleo é formado pelas funções f tais que P (f) = (f(1), f(2)) = (0, 0), ou seja,
que se anula em 1 e 2. Alguns exemplos de elementos do núcleo: f(x) = (x − 1)(x − 2),
g(x) = (x− 1)2(x− 2)3 sen(x), . . . Não é injetiva pois se f(x) = (x− 1)(x− 2) e g(x) = 0
então P (f) = P (g) = (0, 0) mas f 6= g.
É sobrejetiva pois dado (a, b) ∈ R2, seja y = f(x) a equação da reta que passa por (1, a)
e (2, b). Logo P (f) = (a, b).

Observação 4.12 (análise numérica) No exemplo acima definimos uma projeção que

associa a cada função contínua seus valores em dois pontos. O leitor pode generalizá-lo e

definir P : F(R;R)→ Rn por P (f) = (f(1), . . . , f(n)) e provar que P é uma TL.
Em análise numérica, fixado um intervalo [a, b], definimos uma projeção que toma os
valores da função em n+ 1 pontos equiespaçados neste intervalo. Dado n qualquer, defina
∆x = (b − a)/n e x0 = a, x1 = a + ∆x, x2 = a + 2∆x, . . . , xn = a + n∆x = b (são
n+ 1 pontos). Agora defina P : F(R;R)→ Rn+1 por P (f) = (f(x0), f(x1), . . . , f(xn)).
Novamente P é linear.

Exemplo 4.22 Representando o polinômio p(x) = ax2 + bx + c pelo vetor p =

 ab
c


,

determine as matrizes D,S : R3 → R3 e I : R3 → R que associa a cada p a:
(a) derivada Dp = p′; (b) derivada segunda Sp = p′′; (c) integral Ip =

∫ 2
0

p(x) dx.

Solução: (a) Como p′(x) = 2ax+ b, p′ =

 02a
1


. Logo D =

 0 0 02 0 0
0 1 0


.

(b) Como p′′(x) = 2a, p′′ =

 00
2


. Logo S =

 0 0 00 0 0
2 0 0


. Note que S = D2 (faça as

contas!) pois a matriz da derivada segunda é igual a aplicar a matriz da derivada 2 vezes.

(c) Ip = 8
3
a+ 2b+ 2c. Logo I =

[
8
3

2 2
]
.

4.3 Composição de Funções e Produto de Matrizes

4.3.1 Composição de Funções e TLs

Nesta seção recordamos a operação de composição de funções e aplicamos ao caso em que

as funções são TLs. A composição (de funções e de TLs) não é comutativa de forma geral.

Definição 4.19 (composição de funções) Dadas f : X → Y e g : Y → Z, define-se

g ◦ f : X → Z
x 7→ g(f(x))

108 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ

f g

X Y Z

f g

X Y Z X Z

g ◦ f

Lema 4.20 (propriedades da composição de funções) Considere f : X → Y , g :
Y → Z e h : Z → W .
• Associatividade: (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) = f ◦ g ◦ h.
• Não comutatividade: em geral, g ◦ f está bem definido, mas f ◦ g não está. Mesmo