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que é igual ao número de linhas
não-nulas da matriz escalonada.
4.2. NÚCLEO E IMAGEM 105
4.2.3 Injetividade, Sobrejetividade e Núcleo
De\ufb01nição 4.16 (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva) Seja f : A \u2192 B uma função.
Dizemos que f é:
\u2022 injetiva se f(u) = f(v) implica que u = v. Cada elemento do contra-domínio é
atingido no máximo uma vez;
\u2022 sobrejetiva se f(A) = B. Cada elemento do contra-domínio é atingido pelo menos
uma vez;
\u2022 bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. Cada elemento do contra-domínio é atingido exa-
tamente uma vez.
Exemplo 4.19 Determine se é injetiva, sobrejetiva e bijetiva:
(a) f : R\u2192 R2 de\ufb01nida por f(x) = (x, x);
(b) f : R2 \u2192 R de\ufb01nida por f(x, y) = (x+ y);
(c) f : R3 \u2192 R2 de\ufb01nida por f(x, y, z) = (\u2212z, y).
Solução: (a) Geometricamente esta TL leva a reta R na reta y = x do R2 conforme
representado na \ufb01gura abaixo.
f
É injetiva pois f(x) = f(y) \u21d2 (x, x) = (y, y) \u21d2 x = y. Não é sobrejetiva pois, por
exemplo, (1, 2) 6= f(x) = (x, x) para todo x \u2208 R. A imagem é a reta y = x. Utilizando
o Teorema 4.12 da p.102 (TNI): O núcleo é trivial (veri\ufb01que!) e portanto a imagem tem
dimensão igual ao do domínio: 1.
(b) Não é injetiva pois, por exemplo, f(1, 0) = f(0, 1). É sobrejetiva pois dado y \u2208 R
(elemento do contra-domínio), existe x \u2208 R2 (por exemplo, x = (y, 0)) tal que f(x) =
f(y, 0) = y. A imagem de f é R. Utilizando o Teorema 4.12 da p.102 (TNI): O núcleo tem
dimensão 1 (veri\ufb01que!) e portanto a imagem tem dimensão 1.
(c) Não é injetiva pois, por exemplo, f(0, 0, 0) = (0, 0) = f(2, 0, 0) = f(3, 0, 0). É
sobrejetiva pois dado (a, b) \u2208 R2 tome z = \u2212a e y = b. Logo f(2, b, \u2212a) = (a, b).
Utilizando o Teorema 4.12 da p.102 (TNI): O núcleo tem dimensão 1 (veri\ufb01que!) e portanto
a imagem tem dimensão 2.
Lema 4.17 (injetividade e sobrejetividade de TL) Uma transformação linear T : U \u2192
V é:
(a) injetiva se, e somente se, seu núcleo for igual a 0;
(b) sobrejetiva se, e somente se, seu posto (dim Im(T )) for igual a dim(V ).
Prova: (a) Como T é linear, T (u) = T (v) se, e somente se, T (u\u2212v) = 0, se e somente se,
u\u2212v \u2208 Nuc(T ). Logo T é injetiva se, e somente se, u = v se, e somente se, o Nuc(T ) = 0.
(b) Se T for sobrejetiva, Im(T ) = V e portanto, o posto(T ) = dim Im(T ) = dim(V ).
Por outro lado, se o posto(T ) = dim Im(T ) = dim(V ) então Im(T ) \u2282 V é um subespaço
vetorial de V com mesma dimensão que V . Portanto, Im(T ) = V .
106 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ
Corolário 4.18 Uma transformação linear T : V \u2192 V num espaço de dimensão \ufb01nita V é
injetiva se, e somente se, é sobrejetiva.
Prova: De fato se T é injetiva então Nuc(T ) = {0}. Logo, pelo Teorema 4.12 da p.102
(TNI), dimNuc(T ) + dim Im(T ) = 0 + dim Im(T ) = dimV . Logo dim Im(T ) = dimV e,
portanto, Im(T ) = V , isto é, T é sobrejetiva.
Se T é sobrejetiva então Im(T ) = V . Como dim Im(T ) = dimV , pelo TNI dimNuc(T ) =
dimV \u2212 dim Im(T ) = 0. Portanto o Nuc(T ) = 0 e T é injetiva.
Exemplo 4.20 Explique em cada caso porque não existe uma TL:
(a) T : R7 \u2192 R3 injetiva; (b) T : R2 \u2192 R3 sobrejetiva.
Solução: (a) Como contradomínio tem dimensão 3, a imagem tem no máximo dimensão 3
e pelo Teorema 4.12 da p.102 (TNI) o núcleo tem dimensão no mínimo 4. Para ser injetiva
deveria ser igual a 0.
(b) Pelo Teorema 4.12 da p.102 (TNI) a imagem tem no máximo dimensão 2, igual a
dimensão do domínio, menor que a dimensão do contradomínio que é 3.
4.2.4 Aplicações em Espaços de Funções e Polinômios
Exemplo 4.21 Considere o espaço P2 de polinômios de grau máximo 2. Seja C1(R;R) o
espaço das funções continuamente diferenciáveis e C(R;R) o conjunto das funções contínuas.
Determine se é linear, injetiva e sobrejetiva cada uma das funções abaixo. Caso seja linear
determine o núcleo e a imagem.
(a) D : P2 \u2192 P2 de\ufb01nida por D(p) = p\u2032 (derivada);
(b) D : C1(R;R)\u2192 C(R;R) de\ufb01nida por D(f) = f \u2032 (derivada);
(c) T : P \u2192 P , de\ufb01nida por T (p)(x) = (p(x))2. Por exemplo se p(x) = x2 + 1,
T (p)(x) = (x2 + 1)2 = x4 + 2x2 + 1.
(d) P : F(R;R)\u2192 R2 de\ufb01nida por P (f) = (f(1), f(2)).
Solução: (a) Para determinar o núcleo seja p(x) = ax2+bx+c, D(p)(x) = 2ax+b = 0 para
todo x implica que a = b = 0. Logo Nuc(D) são os polinômios p(x) = c (constantes). Esta
mesma expressão mostra que a imagem são os polinômios de grau 1 (P1). Sem fazer contas,
o conjunto dos polinômios cuja derivada é a função identicamente nula são os polinômios
constantes. A imagem da derivada de polinômios de grau até 2 são polinômios de grau até 1.
(b) Como D(kf + g) = (kf + g)\u2032 = kf \u2032 + g\u2032 = kD(f) + D(g), concluímos que é
linear.
Como D(f) = f \u2032 = 0 implica que f = C (constante) (pelo Teorema do Valor Médio),
kerD é igual ao conjunto das funções constantes. Como núcleo é diferente de zero, D não é
injetiva.
Dada g \u2208 C(R;R), de\ufb01na h(x) = \u222b x
0
g(s) ds. Pelo Teorema fundamental do cálculo
h \u2208 C1 e D(h) = h\u2032 = g. Logo D é sobrejetiva.
(c) Embora T (0) = 0, tomando p(x) = x temos T (kp)(x) = k2x2 6= kT (p)(x) = kx2.
Logo não é linear.
Por outro lado se tomarmos polinômios constantes iguais a 1 e (\u22121) observamos que
T (1) = 1 = T (\u22121). Logo não é injetiva.
Para qual p, T (p)(x) = x? Para isto teríamos (p(x))2 = x, o que implicaria que p(x) =
±\u221ax. Mas isto não é um polinômio, logo T não é sobrejetiva, pois o polinômio q(x) = x
não é atingido nunca por T .
4.3. COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES E PRODUTO DE MATRIZES 107
(d) Como P (kf + g) = ((kf + g)(1), (kf + g)(2)) = (kf(1) + g(1), kf(2) + g(2)) =
k(f(1), f(2)) + (g(1), g(2)) = kP (f) + P (g), concluímos que é linear.
O núcleo é formado pelas funções f tais que P (f) = (f(1), f(2)) = (0, 0), ou seja,
que se anula em 1 e 2. Alguns exemplos de elementos do núcleo: f(x) = (x \u2212 1)(x \u2212 2),
g(x) = (x\u2212 1)2(x\u2212 2)3 sen(x), . . . Não é injetiva pois se f(x) = (x\u2212 1)(x\u2212 2) e g(x) = 0
então P (f) = P (g) = (0, 0) mas f 6= g.
É sobrejetiva pois dado (a, b) \u2208 R2, seja y = f(x) a equação da reta que passa por (1, a)
e (2, b). Logo P (f) = (a, b).
Observação 4.12 (análise numérica) No exemplo acima de\ufb01nimos uma projeção que
associa a cada função contínua seus valores em dois pontos. O leitor pode generalizá-lo e
de\ufb01nir P : F(R;R)\u2192 Rn por P (f) = (f(1), . . . , f(n)) e provar que P é uma TL.
Em análise numérica, \ufb01xado um intervalo [a, b], de\ufb01nimos uma projeção que toma os
valores da função em n+ 1 pontos equiespaçados neste intervalo. Dado n qualquer, de\ufb01na
\u2206x = (b \u2212 a)/n e x0 = a, x1 = a + \u2206x, x2 = a + 2\u2206x, . . . , xn = a + n\u2206x = b (são
n+ 1 pontos). Agora de\ufb01na P : F(R;R)\u2192 Rn+1 por P (f) = (f(x0), f(x1), . . . , f(xn)).
Novamente P é linear.
Exemplo 4.22 Representando o polinômio p(x) = ax2 + bx + c pelo vetor p =
\uf8ee\uf8f0 ab
c
\uf8f9\uf8fb
,
determine as matrizes D,S : R3 \u2192 R3 e I : R3 \u2192 R que associa a cada p a:
(a) derivada Dp = p\u2032; (b) derivada segunda Sp = p\u2032\u2032; (c) integral Ip =
\u222b 2
0
p(x) dx.
Solução: (a) Como p\u2032(x) = 2ax+ b, p\u2032 =
\uf8ee\uf8f0 02a
1
\uf8f9\uf8fb
. Logo D =
\uf8ee\uf8f0 0 0 02 0 0
0 1 0
\uf8f9\uf8fb
.
(b) Como p\u2032\u2032(x) = 2a, p\u2032\u2032 =
\uf8ee\uf8f0 00
2
\uf8f9\uf8fb
. Logo S =
\uf8ee\uf8f0 0 0 00 0 0
2 0 0
\uf8f9\uf8fb
. Note que S = D2 (faça as
contas!) pois a matriz da derivada segunda é igual a aplicar a matriz da derivada 2 vezes.
(c) Ip = 8
3
a+ 2b+ 2c. Logo I =
[
8
3
2 2
]
.
4.3 Composição de Funções e Produto de Matrizes
4.3.1 Composição de Funções e TLs
Nesta seção recordamos a operação de composição de funções e aplicamos ao caso em que
as funções são TLs. A composição (de funções e de TLs) não é comutativa de forma geral.
De\ufb01nição 4.19 (composição de funções) Dadas f : X \u2192 Y e g : Y \u2192 Z, de\ufb01ne-se
g \u25e6 f : X \u2192 Z
x 7\u2192 g(f(x))
108 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ
f g
X Y Z
f g
X Y Z X Z
g \u25e6 f
Lema 4.20 (propriedades da composição de funções) Considere f : X \u2192 Y , g :
Y \u2192 Z e h : Z \u2192 W .
\u2022 Associatividade: (f \u25e6 g) \u25e6 h = f \u25e6 (g \u25e6 h) = f \u25e6 g \u25e6 h.
\u2022 Não comutatividade: em geral, g \u25e6 f está bem de\ufb01nido, mas f \u25e6 g não está. Mesmo