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DisciplinaÁlgebra Linear II915 materiais8.025 seguidores
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quando Z = X, caso em que ambas estão de\ufb01nidas, g \u25e6 f e f \u25e6 g podem diferir.
Prova: A associatividade da composição deixamos para o leitor. A não comutatividade
segue do próximo exemplo.
Exemplo 4.23 Considere f(x) = x2, g(x) = x + 1 e h(x) = x + 2. Determine todas as
composições possíveis e quais comutam.
Solução: Como f(g(x)) = (x+ 1)2 = x2 + 2x+ 1 6= g(f(x)) = x2 + 1, f \u25e6 g 6= g \u25e6 f (não
comuta). Como f(h(x)) = (x+ 2)2 = x2 + 4x+ 1 6= h(f(x)) = x2 + 2, f \u25e6 h 6= h \u25e6 f (não
comuta). Como g(h(x)) = (x + 2) + 1 = x + 3 = h(g(x)) = (x + 1) + 2, f \u25e6 h = h \u25e6 f
(comuta).
Da de\ufb01nição de composição de funções em geral, de\ufb01nimos a composição de TLs. O
próximo lema mostra que a composição de TLs gera uma TL e é a base da de\ufb01nição do
produto de matrizes.
Lema 4.21 (propriedades da composição de TLs) Sejam S, T, U transformações line-
ares de\ufb01nidas em espaços vetoriais apropriados para que as composições abaixo façam sentido.
\u2022 T \u25e6 S é uma transformação linear (composição de TLs é uma TL);
\u2022 De forma geral S \u25e6 T 6= T \u25e6 S (não é comutativo);
\u2022 (S \u25e6 T ) \u25e6 U = S \u25e6 (T \u25e6 U) = S \u25e6 T \u25e6 U (associatividade).
Prova: De fato, (T \u25e6 S)(ku + v) = T (S(ku + v)) = T (kS(u) + S(v)) = kT (S(u)) +
T (S(v)) = k(T \u25e6 S)(u) + (T \u25e6 S)(v). A não comutatividade segue do próximo exemplo. A
associatividade segue da associatividade da composição de funções.
Notação 4.22 Utilizamos a notação multiplicativa para composição de TLs: T \u25e6S é escrito
como TS.
Exemplo 4.24 Considere TLs de\ufb01nidas em R2:
\u2022 P projeção ortogonal no eixo x: P (a, b) = (a, 0);
\u2022 R re\ufb02exão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);
\u2022 S re\ufb02exão no eixo y: S(a, b) = (\u2212a, b).
Determine todas as composições possíveis e quais comutam.
4.3. COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES E PRODUTO DE MATRIZES 109
Solução: Como PR(x, y) = P (y, x) = (y, 0) e RP (x, y) = R(x, 0) = (0, x), PR 6= RP
(não comutam). Como PS(x, y) = P (\u2212x, y) = (\u2212x, 0) e SP (x, y) = S(x, 0) = (\u2212x, 0),
PS = SP (comutam).
Como RS(x, y) = R(\u2212x, y) = (y,\u2212x) e SR(x, y) = S(y, x) = (\u2212y, x), RS 6= SR (não
comutam).
Exemplo 4.25 Seja R rotação de 60 graus em torno da origem em R2. Determine:
(a) R6; (b) todos n \u2208 N tais que Rn = I (identidade).
Solução: (a) rodar 6 vezes 60 graus equivale a rodar 360 graus. Logo R6(x, y) = (x, y). (b)
Basta que 60n seja múltiplo de 360. Logo n = 6, 12, 18, . . .: n = 6k com k \u2208 N.
4.3.2 Produto Matriz-Matriz
A operação de produto entre duas matrizes é provavelmente conhecida dos alunos. Vamos
introduzi-la de forma bastante distinta para depois re-interpretá-la de diversos modos, tal qual
\ufb01zemos com o produto matriz-vetor na De\ufb01nição 2.19 da p.53 e no Lema 2.22 da p.54.
Dadas matrizes A e B podemos considerar as transformações lineares correspondentes
TA e TB da De\ufb01nição 4.3 da p.93. Pelo Lema 4.21 da p.108 (se A e B tiverem dimensões
apropriadas) a composição S = TA \u25e6 TB é uma TL. Pelo Lema 4.5 da p.94 existe uma única
matriz C tal que TC = S. De\ufb01nimos o produto AB como C. Seguem os detalhes na de\ufb01nição
abaixo.
De\ufb01nição 4.23 (produto de matrizes) Sejam A \u2208 Mm×p e B \u2208 Mp×n. Considere
TA, TB as TLs correspondentes. Por de\ufb01nição TB : Rn \u2192 Rp e TA : Rp \u2192 Rm. Como
a composição de TLs é uma TL, S = TA \u25e6 TB : Rn \u2192 Rm é TL. Logo existe uma única
C \u2208 Mm×n tal que S = TC . De\ufb01nimos o produto AB = C \u2208 Mm×n. Teremos então que
TAB = TA \u25e6 TB.
De forma mais curta, abusando a linguagem, C = A \u25e6B (composição das TLs correspon-
dentes a A e B).
Observação 4.13
\u2022 As restrições nas dimensões das matrizes A e B para que faça sentido AB decorrem,
de forma natural, da de\ufb01nição por composição de TLs: o contradomínio de A deve
ser igual ao domínio de B;
\u2022 A não-comutatividade do produto de matrizes decorre da não-comutatividade da
composição de funções lineares;
\u2022 O produto de matrizes herda todas as propriedades da composição de TLs: distribu-
tividade, associatividade, etc.
A de\ufb01nição acima é elegante mas não mostra como calcular o produto matriz-matriz. Este
é o conteúdo do próximo lema, que reduz o produto matriz-matriz a produtos matriz-vetor.
110 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ
Lema 4.24 (produto matriz-matriz) Sejam A \u2208 Mm×p e B =
\uf8ee\uf8f0 \u2191v1
\u2193
· · ·
\u2191
vn
\u2193
\uf8f9\uf8fb \u2208
Mp×n, com vi \u2208 Rp. Então,
AB = A
\uf8ee\uf8f0 \u2191v1
\u2193
· · ·
\u2191
vn
\u2193
\uf8f9\uf8fb =
\uf8ee\uf8f0 \u2191Av1
\u2193
. . .
\u2191
Avn
\u2193
\uf8f9\uf8fb .
Prova: Vamos determina quem são as colunas de AB. Para isto, basta aplicar AB em
um vetor da base canônica ej. Note que TB(ej) = Bej = vj (j-ésima coluna de B). Pela
De\ufb01nição 4.23, TAB(ej) = TA(TB(ej)) = TA(vj) = Avj. Logo a j-ésima coluna de AB é
Avj.
Vimos (De\ufb01nição 2.19 da p.53 e Lema 2.22 da p.54) duas interpretações do produto
matriz-vetor:
(a) combinação linear das colunas da matriz, ou
(b) produtos escalares com linhas da matriz.
Vamos ver três interpretações para o produto matriz-matriz.
Lema 4.25 (interpretações do produto matriz-matriz) Sejam A e B matrizes (de di-
mensões apropriadas para que esteja de\ufb01nido AB). Então (veja \ufb01guras):
(a) colunas de AB são combinações lineares das colunas de A;
(b) linhas de AB são combinações lineares das linhas de B;
(c) entradas de AB são produtos escalares de linhas de A por colunas de B.
Prova: (a) segue do Lema 4.24 que colunas de AB são produto matriz-vetor de A com
colunas de B. Como produto matriz-vetor é CL de colunas de A, segue o resultado. (b) segue
de (a) se aplicarmos a transposição de matrizes dos dois lados; (c) segue do Lema 2.19 da
p.53 e da interpretação do produto matriz-vetor do Lema 2.22 da p.54.
= p m
m
n
n
p
Figura 4.10: Produto Matriz-Matriz: colunas de AB são CLs das colunas de A.
Lema 4.26 (propriedades do produto matriz-matriz) Sejam A,B,C matrizes. Sem-
pre que o produto faça sentido, valerá as seguintes propriedades:
\u2022 De forma geral AB 6= BA (não-comutativo);
\u2022 (AB)C = A(BC) = ABC (associatividade);
\u2022 AB = 0 não implica que A = 0 ou B = 0.
4.4. FUNÇÃO E MATRIZ INVERSA 111
= p m
m
n
n
p
Figura 4.11: Produto Matriz-Matriz: linhas de AB são CLs das linhas de B.
= p m
m
n
n
p
Figura 4.12: Produto Matriz-Matriz: entradas de AB são produtos escalares de linhas de A
por colunas de B.
Prova: A não-comutatividade segue do próximo exemplo. Veja também o Exemplo 4.24
da p.108. A associatividade do produto de matrizes segue da associatividade da composição
de TLs (Lema 4.21 da p.108). Ao contrário do que ocorre com números reais, onde ab = 0
implica que a = 0 ou b = 0, isto não vale para matrizes. Veja o próximo exemplo.
Exemplo 4.26 Considere A =
[
1 0
0 0
]
e B =
[
0 1
0 0
]
. Mostre que AB 6= BA e que
BA = 0 embora ambas matrizes sejam não nulas.
Solução: AB =
[
1 0
0 0
] [
0 1
0 0
]
=
[
0 1
0 0
]
, BA =
[
0 1
0 0
] [
1 0
0 0
]
=
[
0 0
0 0
]
.
4.4 Função e Matriz Inversa
4.4.1 Função Inversa e TLs
Recordamos a de\ufb01nição de função inversa e obtemos propriedades de inversas de TLs. Pode-
mos inverter somente funções (e TLs) que são bijetivas.
De\ufb01nição 4.27 (Função Inversa) Seja f : X \u2192 Y uma função bijetiva. Dado y \u2208 Y :
(a) sobrejetividade garante que existe x \u2208 X tal que f(x) = y;
(b) injetividade garante a unicidade de tal x.
Fica bem de\ufb01nida a inversa de f , denotada por f\u22121 : Y \u2192 X, de\ufb01nida como f\u22121(y) = x.
112 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ
f
X Y
f\u22121
X Y
Como funções bijetivas possuem inversas, usaremos, indistintamente, os termos bijetiva
e invertível.
Exemplo 4.27 Determine a inversa de:
(a) f(x) = x3; (b) f(x) = 10x; (c) f(x) = cos(x).
Solução: (a) f\u22121(y) = 3
\u221a
y, para y \u2265 0, pois ( 3\u221ay)3 = y e 3\u221ax3 = x. A inversa não é
g(y) = 1/y3.
(b) f\u22121(y) = log10(y) pois log10(10
x) = x e 10log10(y) = y.
(c) f\u22121(y) = arccos(y) pois cos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa não é
g(x) = 1/ cos(x).
Lema 4.28 (propriedades da função inversa) Seja f : X \u2192 Y uma função bijetiva.