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quando Z = X, caso em que ambas estão definidas, g ◦ f e f ◦ g podem diferir.

Prova: A associatividade da composição deixamos para o leitor. A não comutatividade

segue do próximo exemplo.

Exemplo 4.23 Considere f(x) = x2, g(x) = x + 1 e h(x) = x + 2. Determine todas as
composições possíveis e quais comutam.

Solução: Como f(g(x)) = (x+ 1)2 = x2 + 2x+ 1 6= g(f(x)) = x2 + 1, f ◦ g 6= g ◦ f (não
comuta). Como f(h(x)) = (x+ 2)2 = x2 + 4x+ 1 6= h(f(x)) = x2 + 2, f ◦ h 6= h ◦ f (não
comuta). Como g(h(x)) = (x + 2) + 1 = x + 3 = h(g(x)) = (x + 1) + 2, f ◦ h = h ◦ f
(comuta).

Da definição de composição de funções em geral, definimos a composição de TLs. O

próximo lema mostra que a composição de TLs gera uma TL e é a base da definição do

produto de matrizes.

Lema 4.21 (propriedades da composição de TLs) Sejam S, T, U transformações line-
ares definidas em espaços vetoriais apropriados para que as composições abaixo façam sentido.

• T ◦ S é uma transformação linear (composição de TLs é uma TL);
• De forma geral S ◦ T 6= T ◦ S (não é comutativo);
• (S ◦ T ) ◦ U = S ◦ (T ◦ U) = S ◦ T ◦ U (associatividade).

Prova: De fato, (T ◦ S)(ku + v) = T (S(ku + v)) = T (kS(u) + S(v)) = kT (S(u)) +
T (S(v)) = k(T ◦ S)(u) + (T ◦ S)(v). A não comutatividade segue do próximo exemplo. A
associatividade segue da associatividade da composição de funções.

Notação 4.22 Utilizamos a notação multiplicativa para composição de TLs: T ◦S é escrito
como TS.

Exemplo 4.24 Considere TLs definidas em R2:

• P projeção ortogonal no eixo x: P (a, b) = (a, 0);
• R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);
• S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).
Determine todas as composições possíveis e quais comutam.

4.3. COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES E PRODUTO DE MATRIZES 109

Solução: Como PR(x, y) = P (y, x) = (y, 0) e RP (x, y) = R(x, 0) = (0, x), PR 6= RP
(não comutam). Como PS(x, y) = P (−x, y) = (−x, 0) e SP (x, y) = S(x, 0) = (−x, 0),
PS = SP (comutam).

Como RS(x, y) = R(−x, y) = (y,−x) e SR(x, y) = S(y, x) = (−y, x), RS 6= SR (não
comutam).

Exemplo 4.25 Seja R rotação de 60 graus em torno da origem em R2. Determine:
(a) R6; (b) todos n ∈ N tais que Rn = I (identidade).

Solução: (a) rodar 6 vezes 60 graus equivale a rodar 360 graus. Logo R6(x, y) = (x, y). (b)
Basta que 60n seja múltiplo de 360. Logo n = 6, 12, 18, . . .: n = 6k com k ∈ N.

4.3.2 Produto Matriz-Matriz

A operação de produto entre duas matrizes é provavelmente conhecida dos alunos. Vamos

introduzi-la de forma bastante distinta para depois re-interpretá-la de diversos modos, tal qual

fizemos com o produto matriz-vetor na Definição 2.19 da p.53 e no Lema 2.22 da p.54.

Dadas matrizes A e B podemos considerar as transformações lineares correspondentes
TA e TB da Definição 4.3 da p.93. Pelo Lema 4.21 da p.108 (se A e B tiverem dimensões
apropriadas) a composição S = TA ◦ TB é uma TL. Pelo Lema 4.5 da p.94 existe uma única
matriz C tal que TC = S. Definimos o produto AB como C. Seguem os detalhes na definição
abaixo.

Definição 4.23 (produto de matrizes) Sejam A ∈ Mm×p e B ∈ Mp×n. Considere
TA, TB as TLs correspondentes. Por definição TB : Rn → Rp e TA : Rp → Rm. Como
a composição de TLs é uma TL, S = TA ◦ TB : Rn → Rm é TL. Logo existe uma única
C ∈ Mm×n tal que S = TC . Definimos o produto AB = C ∈ Mm×n. Teremos então que
TAB = TA ◦ TB.
De forma mais curta, abusando a linguagem, C = A ◦B (composição das TLs correspon-
dentes a A e B).

Observação 4.13

• As restrições nas dimensões das matrizes A e B para que faça sentido AB decorrem,
de forma natural, da definição por composição de TLs: o contradomínio de A deve
ser igual ao domínio de B;

• A não-comutatividade do produto de matrizes decorre da não-comutatividade da
composição de funções lineares;

• O produto de matrizes herda todas as propriedades da composição de TLs: distribu-
tividade, associatividade, etc.

A definição acima é elegante mas não mostra como calcular o produto matriz-matriz. Este

é o conteúdo do próximo lema, que reduz o produto matriz-matriz a produtos matriz-vetor.

110 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ

Lema 4.24 (produto matriz-matriz) Sejam A ∈ Mm×p e B =
 ↑v1
↓
· · ·

↑
vn
↓

 ∈
Mp×n, com vi ∈ Rp. Então,

AB = A

 ↑v1
↓
· · ·

↑
vn
↓

 =
 ↑Av1
↓

. . .
↑

Avn
↓

 .
Prova: Vamos determina quem são as colunas de AB. Para isto, basta aplicar AB em
um vetor da base canônica ej. Note que TB(ej) = Bej = vj (j-ésima coluna de B). Pela
Definição 4.23, TAB(ej) = TA(TB(ej)) = TA(vj) = Avj. Logo a j-ésima coluna de AB é
Avj.

Vimos (Definição 2.19 da p.53 e Lema 2.22 da p.54) duas interpretações do produto

matriz-vetor:

(a) combinação linear das colunas da matriz, ou

(b) produtos escalares com linhas da matriz.

Vamos ver três interpretações para o produto matriz-matriz.

Lema 4.25 (interpretações do produto matriz-matriz) Sejam A e B matrizes (de di-
mensões apropriadas para que esteja definido AB). Então (veja figuras):
(a) colunas de AB são combinações lineares das colunas de A;
(b) linhas de AB são combinações lineares das linhas de B;
(c) entradas de AB são produtos escalares de linhas de A por colunas de B.

Prova: (a) segue do Lema 4.24 que colunas de AB são produto matriz-vetor de A com
colunas de B. Como produto matriz-vetor é CL de colunas de A, segue o resultado. (b) segue
de (a) se aplicarmos a transposição de matrizes dos dois lados; (c) segue do Lema 2.19 da

p.53 e da interpretação do produto matriz-vetor do Lema 2.22 da p.54.

= p m

m

n

n

p

Figura 4.10: Produto Matriz-Matriz: colunas de AB são CLs das colunas de A.

Lema 4.26 (propriedades do produto matriz-matriz) Sejam A,B,C matrizes. Sem-
pre que o produto faça sentido, valerá as seguintes propriedades:

• De forma geral AB 6= BA (não-comutativo);
• (AB)C = A(BC) = ABC (associatividade);
• AB = 0 não implica que A = 0 ou B = 0.

4.4. FUNÇÃO E MATRIZ INVERSA 111

= p m

m

n

n

p

Figura 4.11: Produto Matriz-Matriz: linhas de AB são CLs das linhas de B.

= p m

m

n

n

p

Figura 4.12: Produto Matriz-Matriz: entradas de AB são produtos escalares de linhas de A
por colunas de B.

Prova: A não-comutatividade segue do próximo exemplo. Veja também o Exemplo 4.24

da p.108. A associatividade do produto de matrizes segue da associatividade da composição

de TLs (Lema 4.21 da p.108). Ao contrário do que ocorre com números reais, onde ab = 0
implica que a = 0 ou b = 0, isto não vale para matrizes. Veja o próximo exemplo.

Exemplo 4.26 Considere A =

[
1 0
0 0

]
e B =

[
0 1
0 0

]
. Mostre que AB 6= BA e que

BA = 0 embora ambas matrizes sejam não nulas.

Solução: AB =

[
1 0
0 0

] [
0 1
0 0

]
=

[
0 1
0 0

]
, BA =

[
0 1
0 0

] [
1 0
0 0

]
=

[
0 0
0 0

]
.

4.4 Função e Matriz Inversa

4.4.1 Função Inversa e TLs

Recordamos a definição de função inversa e obtemos propriedades de inversas de TLs. Pode-

mos inverter somente funções (e TLs) que são bijetivas.

Definição 4.27 (Função Inversa) Seja f : X → Y uma função bijetiva. Dado y ∈ Y :
(a) sobrejetividade garante que existe x ∈ X tal que f(x) = y;
(b) injetividade garante a unicidade de tal x.
Fica bem definida a inversa de f , denotada por f−1 : Y → X, definida como f−1(y) = x.

112 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ

f

X Y

f−1

X Y

Como funções bijetivas possuem inversas, usaremos, indistintamente, os termos bijetiva

e invertível.

Exemplo 4.27 Determine a inversa de:

(a) f(x) = x3; (b) f(x) = 10x; (c) f(x) = cos(x).

Solução: (a) f−1(y) = 3
√
y, para y ≥ 0, pois ( 3√y)3 = y e 3√x3 = x. A inversa não é

g(y) = 1/y3.
(b) f−1(y) = log10(y) pois log10(10

x) = x e 10log10(y) = y.
(c) f−1(y) = arccos(y) pois cos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa não é

g(x) = 1/ cos(x).

Lema 4.28 (propriedades da função inversa) Seja f : X → Y uma função bijetiva.