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Disciplina:Álgebra Linear II693 materiais7.563 seguidores
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(a) f(f−1(y)) = y para todo y ∈ Y ; (b) f−1(f(x)) = x para todo x ∈ X.

Prova: Imediata pela definição da inversa.

De fato, estas duas propriedades caracterizam a inversa, conforme veremos no próximo

lema.

Lema 4.29 (caracterização da função inversa) Seja f : X → Y uma função qual-
quer. Se existem g, h : Y → X satisfazendo:
(a) (g ◦ f)(x) = x para todo x ∈ X e (b) (f ◦ h)(y) = y para todo y ∈ Y ,
então f é bijetiva e g = h = f−1.

Prova: Seja IX a identidade em X e IY a identidade em Y .
Se r ◦ s é injetiva, então s é injetiva. E se r ◦ s é sobrejetiva, então r é sobrejetiva. Como

IX é injetiva, e IY é sobrejetiva, podemos concluir que f é bijetiva e f
−1
está bem definida.

Logo

g ◦ f = IX ⇒ g ◦ f ◦ f−1 = IX ◦ f−1 ⇒ g = f−1 e
f ◦ h = IY ⇒ f−1 ◦ f ◦ h = f−1 ◦ IY ⇒ h = f−1.

Corolário 4.30 Se f é bijetiva, então f−1 é bijetiva e (f−1)−1 = f .

Lema 4.31 (inversa da composta) Se f : Y → Z e g : X → Y são invertíveis então
f ◦ g também o é e (f ◦ g)−1 = g−1 ◦ f−1.

Prova: Basta observar o diagrama abaixo.

f g

X Y Z

f g

X Y Z

g ◦ f

f−1 g−1

X Y Z

f−1 ◦ g−1

Vamos agora particularizar para o caso em que a função é uma TL. Para isto precisamos

que ela seja uma bijeção.

4.4. FUNÇÃO E MATRIZ INVERSA 113

Lema 4.32 (propriedades da inversa de TL) Sejam S, T : U → V transformações line-
ares bijetivas (invertíveis), então:

(a) T−1 é linear; (b) U e V têm a mesma dimensão se dim(U) é finita; (c) (ST )−1 =
T−1S−1.

Prova:

(a) Sejam v1,v2 ∈ V e α, β ∈ R e u1 = T−1(v1),u2 = T−1(v2).
Então, pela linearidade de T , T (αu1 + βu2) = αT (u1) + βT (u2) = αv1 + βv2.
Logo T−1(αv1 + βv2) = T−1(T (αu1 + βu2)) = αu1 + βu2 = αT−1(v1) + βT−1(v2).
(b) Pelo Lema 4.17 da p.105, como T é injetiva, dimNuc(T ) = 0; como T é sobreje-
tiva, dim Im(T ) = dim(V ). Pelo Teorema 4.12 da p.102 (TNI), dim(U) = dimNuc(T ) +
dim Im(T ) = 0 + dim(V ) = dim(V ).
(c) Segue pelo Lema 4.31.

Teorema 4.33 (inversa e o núcleo) Suponha V de dimensão finita. Se T : V → V então
T é invertível se, e somente se, Nuc(T ) = {0}.

Prova: Se T é invertível então é injetiva e pelo Lema 4.17 da p.105 o núcleo é nulo.
Suponha que Nuc(T ) = {0}. Pelo Lema 4.17 da p.105, T é injetiva. Pelo Teorema 4.12 da
p.102 (TNI), dim(V ) = dim(Nuc(T ))+dim(Im(T )) = dim(Im(T )) (pois dimNuc(T ) = 0).
Logo T é sobrejetiva. Como T é injetiva e sobrejetiva segue que T é uma bijeção e portanto
é invertível.

Exemplo 4.28 Determine, se for possível, a inversa das transformações geométricas em R2:
(a) rotação de 25 graus; (b) reflexão em torno da reta 2x − 3y = 0; (c) projeção
ortogonal na reta 5x− 2y = 0.

Solução: (a) inversa é rotação de 360− 25 = 335 graus pois rodar 25 graus e depois rodar
335 graus equivale a rodar 360 graus, isto é, ficar parado.
(b) inversa é refletir novamente em torno da mesma reta (2x−3y = 0) pois duas reflexões
seguidas cancelam uma a outra;

(c) não possui inversa pois os vetores perpendiculares à reta 5y − 2y = 0 farão parte do
núcleo; como ele é não-trivial, esta TL não possui inversa pelo Teorema 4.33.

4.4.2 Matriz Inversa

Definição 4.34 (matriz identidade) Definimos como matriz identidade I a matriz que
corresponde à TL identidade I : Rn → Rn definida por I(v) = v para todo v ∈ Rn. I é uma
matriz diagonal com n 1's na diagonal (vetores da base canônica em cada coluna):

I =

 ↑e1
↓

. . .
↑
en
↓

 =
 1 . .
.

1

 .
Definição 4.35 (matriz inversa e singular) Diz-se que uma matriz quadrada A ∈Mn×n
é invertível se existe B ∈ Mn×n tal que AB = BA = I. Neste caso dizemos que B é a
matriz inversa de A e denota-se B por A−1 (a unicidade é provada no próximo lema).
Caso A ∈Mn×n não seja invertível dizemos que A é singular.

114 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ

Lema 4.36 (propriedades da inversa) Sejam A,B ∈Mn×n. Então:
(a) Inversa de A é única;
(b) AB = I se, e somente se, BA = I, se e somente se B = A−1;
(c) Se A e B são invertíveis então AB é invertível e (AB)−1 = B−1A−1.

Prova: (a) Suponha que C e B são inversas de A. Então AC = I e BA = I. Logo,
(BA)C = IC = C e pela associatividade do produto de matrizes (Proposição 4.26) B(AC) =
BI = B = C.

(b) Se AB = I então A é sobrejetiva pois A(Bv) = Iv = v para todo v. Pelo
Corolário 4.18 da p.106 A é uma bijeção e portanto existe inversa A−1. Pela unicidade da
inversa, A−1 = B. Deixamos o resto para o leitor.
(c) Aplique o Lema 4.32 para provar que AB é invertível e a fórmula dada.

Lema 4.37 (núcleo e inversa de matriz) A matriz quadrada A é invertível se, e somente
se, Nuc(A) = 0.

Prova: Aplique o Teorema 4.33 da p.113 à TL associada TA.

Antes de apresentar o algoritmo do cálculo de matriz inversa, vamos mostrar como resol-

ver simultâneamente sistemas lineares com mesma matriz de coeficientes mas com lado

direito distinto.

Exemplo 4.29 (resolvendo sistemas lineares simultaneamente) Resolva os sistemas{
x+ 2y = 4

2x+ 5y = 9
e

{
x+ 2y = −1

2x+ 5y = −3 de forma independente e simultaneamente.

Solução: De forma independente calculamos[
1 2 4
2 5 9

]
∼
[

1 2 4
0 1 1

]
∼
[

1 0 2
0 1 1

]
,

determinando a solução do primeiro sistema (x = 2, y = 1), e depois calculamos[
1 2 −1
2 5 −3

]
∼
[

1 2 −1
0 1 −1

]
∼
[

1 0 1
0 1 −1

]
,

determinando a solução do segundo sistema (x = 1, y = −1).
Podemos resolver simultaneamente os dois sistemas aumentando a matriz com vários

lados direitos de uma vez. Desta forma calculamos[
1 2 4 −1
2 5 9 −3

]
∼
[

1 2 4 −1
0 1 1 −1

]
∼
[

1 0 2 1
0 1 1 −1

]
para obter a solução dos dois sistemas com um escalonamento.

Teorema 4.38 (algoritmo para calcular matriz inversa) Seja A uma matriz quadrada.
(a) Monte matriz estendida [A|I];
(b) Escalone totalmente até obter a matriz identidade no lado esquerdo.

Caso isto seja possível, a inversa aparecerá do lado direito: [I|A−1].

4.5. ÁLGEBRA DAS MATRIZES E TLS 115

Prova: Pelo Lema 4.36 basta determinar B =

 ↑v1
↓
· · ·

↑
vn
↓


tal que AB = I. Como

I =

 ↑e1
↓

. . .
↑
en
↓


, queremos que

AB = A

 ↑v1
↓
· · ·

↑
vn
↓

 =
 ↑Av1
↓

. . .
↑

Avn
↓

 = I =
 ↑e1
↓

. . .
↑
en
↓

.
Para isto temos que resolver n sistemas do tipo Avi = ei para i = 1, . . . , n. No Exemplo 4.29
vimos como resolver simultaneamente sistemas cujo lado esquerdo é o mesmo. Monte a matriz

ampliada

 A ↑e1
↓
· · ·
↑
en
↓

 = [A|I] e escalone-a totalmente, obtendo a matriz identidade
à esquerda e a solução dos sistema no lado direito. Desta forma, após o escalonamento total,

obtemos  A ↑e1
↓
· · ·
↑
en
↓

 = [A|I] ∼
 I ↑v1

↓
· · ·
↑
vn
↓

 = [I|B] = [I|A−1].

Exemplo 4.30 Determine a matriz inversa de A =

[
1 −2
1 1

]
.

Solução: Escalonando totalmente

[
1 −2 1 0
1 1 0 1

]
, obtemos

[
1 0 1/3 2/3
0 1 −1/3 1/3

]
. Logo,

A−1 =
[

1/3 2/3
−1/3 1/3

]
.

Observação 4.14 (Software Algébrico) Pode-se calcular a matriz inversa com o co-

mando do Maxima invert. Entramos a matriz com M: matrix( [1,-2], [1,1]); e

invertemos com invert(M);.

4.5 Álgebra das Matrizes e TLs

4.5.1 Álgebra de Matrizes

Nesta seção vamos introduzir operações de soma e produto por escalar de matrizes e TLs.

Munido destas operações o conjunto das matrizes e o das TLs formam um espaço vetorial.

Vamos começar definindo as operações de soma e produto por escalar de matrizes. Fa-

remos isto utilizando as definições correspondentes (ver Definição 1.2 da p.2 e Definição 1.4

da p.2) em Rn.

116 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ

Definição 4.39 (soma de matrizes e multiplicação por escalar) Sejam k um escalar
e matrizes A,B m× n cujas colunas são compostas por vetores a1, . . . , an e b1, . . . ,bn, isto
é,

A =

 ↑a1
↓
· · ·

↑
an
↓


e B =

 ↑b1
↓
· · ·

↑
bn
↓

 .
Define-se A+B =

