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Disciplina:Álgebra Linear II693 materiais7.563 seguidores
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↑(a1 + b1)
↓

· · ·
↑

(an + bn)
↓


e kA =

 ↑(ka1)
↓

· · ·
↑

(kan)
↓

 .
Observação 4.15 O sinal �+� (mais) dentro da matriz e entre as matrizes tem significado
distinto: trata-se de soma de vetores, num caso, e de soma de matrizes, no outro. A mesma

observação vale para o produto kA.
A definição usual destas operações é, componente a componente, (A + B)ij = aij +
bij e (kA)ij = kaij. mas nossa apresentação é mais elegante.

Lema 4.40 (espaço vetorial das matrizes) O conjunto das matrizes Mm×n (Defini-
ção 2.2 da p.30) munido com as operações da Definição 4.39 é um espaço vetorial.

Prova: Uma matriz A ∈ Mm×n pode ser vista como um vetor em Rmn com entradas
(aij). Vista deste modo, com operações definidas componente a componente,Mm×n é igual
a Rmn. Como já sabemos que Rmn é um espaço vetorial,Mm×n é um espaço vetorial.
Lema 4.41 (propriedades das operações com matrizes) Dadas matrizes A,B,C e es-
calar k, sempre que o produto faça sentido, valerão as seguintes propriedades:
(a) (kA)B = A(kB) = k(AB) (associativa),
(b) A(B + C) = AB + AC (distributiva),
(c) (A+B)C = AC +BC (distributiva),
(d) (AB)T = BTAT ,
(e) Se A é matriz quadrada e I matriz identidade de mesmo tamanho, AI = IA = A.
Dizemos que a matriz identidade é o elemento neutro para o produto de matrizes.

Prova: Por ser enfadonha será omitida. Pode ser feito por aplicações apropriadas do

Lema 2.20 da p.54 e Lema 4.24 da p.110 ou calculando todas entradas das matrizes.

Finalizamos esta Seção com definições úteis para a Seção Autovalores e Autovetores

(matriz simétrica) e para Seção Produto Interno (matriz ortogonal).

Definição 4.42 (matriz simétrica) Dizemos que A é simétrica se A = AT .

A matriz tem que ser, necessariamente, quadrada para ser simétrica.

Exemplo 4.31 São simétricas:

 k1 a ba k2 c
b c k3


,


1 2 3 4
2 5 6 7
3 6 8 9
4 7 9 10

.
Definição 4.43 (matriz ortogonal) Dizemos que Q é ortogonal se QTQ = I (identi-
dade).

Exemplo 4.32 São ortogonais:

 1/√2 00 1
1/
√

2 0


,

 √3/2 0 1/20 1 0
−1/2 0 √3/2


,

[
sen θ cos θ
− cos θ sen θ

]
.

4.5. ÁLGEBRA DAS MATRIZES E TLS 117

4.5.2 ?Álgebra das TLs1

Definição 4.44 (conjunto das TLs) Dados U e V espaços vetoriais denotamos por
L(U ;V ) o conjunto das transformações lineares T : U → V .

Definição 4.45 (operações entre TLs) Dados T, S ∈ L(U ;V ) e k escalar, definimos a
soma de TLs e a sua multiplicação por escalar por:

T + S : U → V
u 7→ T (u) + S(u) e

kT : U → V
u 7→ kT (u) .

Observação 4.16 O sinal �+� (mais) em �T + S� e �T (u) + S(u)� (bem como do
produto) possui significado distinto em cada expressão: soma de TLs, num caso, e soma

de vetores no outro. Compare estas definições com as da Definição 3.18 da p.76 e veja

que são iguais.

Lema 4.46 (espaço vetorial das TLs) O conjunto L(U ;V ) munido com às operações da
Definição 4.45 é um espaço vetorial.

Prova: É claro que L(U ;V ) ⊂ F(U ;V ) (toda transformação linear é uma função). É um
exercício fácil mostrar que F(U ;V ) é um espaço vetorial (dica: elemento neutro da soma é
E : U → V definida por E(x) ≡ 0). Portanto, pelo Lema 3.6 da p.67, basta verificar que
L(U ;V ) é fechado com relação às operações de soma e produto por escalar.
De fato, sejam T, S ∈ L(U ;V ). Então (T + S)(u + λv) = T (u + λv) + S(u + λv) =
(linearidade de T e S) T (u) + λT (v) + S(u) + λS(v) = T (u) + S(u) + λ(T (v) + S(v))
= (T + S)(u) + λ(T + S)(v). Logo T + S é uma TL, isto é, T + S ∈ L(U ;V ) (fechado
pela soma).

De forma análoga, (kT )(u+λv) = kT (u+λv) = (linearidade de T )= kT (u)+kλT (v) =
(kT )(u) + λ(kT )(v). Logo kT é uma TL, isto é, kT ∈ L(U ;V ) (fechado pelo produto).
Como L(U ;V ) é fechado com relação às operações de soma e produto por escalar é um
espaço vetorial.

Observação 4.17 No Desafio 4.9.4 da p.136 pede-se para determinar uma base para

L(U ;V ) e uma prova que dim(L(U ;V )) = dim(U) dim(V ) caso U, V sejam espaços
vetoriais de dimensão finita.

Lema 4.47 (propriedades da composição de TLs) Dadas TLs S, T, U e escalar k, sem-
pre que a composição faça sentido, valerão as seguintes propriedades:

(a) (kS) ◦ T = S ◦ (kT ) = k(S ◦ T ) (associativa)
(b) S ◦ (T + U) = S ◦ T + S ◦ U (distributiva);
(c) (S + T ) ◦ U = S ◦ U + T ◦ U (distributiva);

Prova: Deixamos para o leitor.

1

A leitura desta subseção é opcional.

118 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ

4.6 Matriz em Blocos

Já vimos como operar uma matriz por colunas ou linhas. Podemos generalizar para blocos

de tamanho qualquer. É muito importante em linguagens de programação moderna (Fortran

2000 e Python por exemplo) e em programas de computação científica (Scilab e Matlab por

exemplo) interpretar o produto e soma de matrizes por blocos.

Exemplo 4.33 (matriz em blocos) Considere a matriz A =


2 2 2 2 2
1 2 3 4 5
2 2 2 2 2
1 2 3 4 5
2 2 2 2 2

 e defina
por Aij cada um destes blocos: A =

[
A11 A12
A21 A22

]
. Mostre que:

A2 = AA =

[
A11A11 + A12A21 A11A12 + A12A22
A21A11 + A22A21 A21A12 + A22A22

]
.

Solução: Verifique que as dimensões permitem calcular todas as operações. Depois faça a

conta. Deixamos detalhes para o leitor.

O próximo lema mostra que operamos com os blocos como se fossem números, com o

único cuidado de manter a ordem nos produtos pois o produto de matrizes não é comutativo.

Apresentamos a divisão em 4 blocos mas podemos dividir num número arbitrário de blocos.

Lema 4.48 (soma e produto de matrizes por blocos) Sejam A e B matrizes divididas

em blocos com A =

[
A11 A12
A21 A22

]
e B =

[
B11 B12
B21 B22

]
.

Seja k ∈ R, kA =
[
kA11 kA12
kA21 kA22

]
.

Caso o tamanho dos blocos sejam compatíveis para que as somas que aparecem na fórmula

sejam possíveis, A+B =

[
A11 +B11 A12 +B12
A21 +B21 A22 +B22

]
.

Caso o tamanho dos blocos sejam compatíveis para que os produtos que aparecem na

fórmula sejam possíveis, AB =

[
A11B11 + A12B21 A11B12 + A12B22
A21B11 + A22B21 A21B12 + A22B22

]
.

Prova: Consulte a literatura.

Exemplo 4.34 Suponha A ∈ M4×4 tal que A =
[
B 0
0 C

]
com B,C ∈ M2×2 invertíveis.
O 0 significa uma matriz com todas as entradas nulas de tamanho apropriado. Determine:
(a) A2; (b) A−1.

Solução: (a) A2 = AA =

[
B2 0
0 C2

]
. (b) A−1 =

[
B−1 0

0 C−1

]
pois AA−1 =[

BB−1 0
0 CC−1

]
=

[
I 0
0 I

]
= I.

Exemplo 4.35 Suponha A,B,C quadradas, I matriz identidade com a dimensão correta

em cada caso. Defina J =

[
A B
0 C

]
, K =

[
A 0
0 I

]
, L =

[
I 0
0 B

]
. Determine:

(a) J2; (b) 2J ; (c) K + L; (d) KL; (e) LK.

4.7. ?MATRIZ REPRESENTANDO VETOR: COORDENADAS 119

Solução: (a) J2 =

[
A2 AB +BD
0 C2

]
. (b) 2J =

[
2A 2B
0 2C

]
.

(c) K + L =

[
A+ I 0

0 B + I

]
. (d) e (e) KL =

[
A 0
0 B

]
= LK.

Veja como inverter uma matriz de bloco qualquer na Wikipedia: Matriz inversa.

4.7 ?Matriz Representando Vetor: Coordenadas1

Definição 4.49 (coordenadas) Seja V um espaço vetorial (de dimensão finita) com base
β = {b1,b2, . . . ,bn}. As coordenadas do vetor v ∈ V na base β (conjunto ordenado) são
os coeficientes αi's (únicos pela Definição 3.11 da p.72) usados para combinar linearmente os

vetores bi's de forma a gerar v, isto é, v =
n∑
i=1

αibi. Denotamos pela matriz de uma coluna:

[v]β =


α1
α2
.

.

.

αn

 ∈Mn×1.
A função [ · ]β : V → Mn×1

v 7→ [v]β
associa a cada vetor suas coordenadas na base β.

Exemplo 4.36 Dados a base canônica ε = {e1, e2, . . . , en} do Rn e v = (1, 2, 3, . . . , n)
determine [v]ε.

Solução: Como v = 1e1 + 2e2 + · · ·+ nen concluímos que [v]ε =


1
2
.

.

.

n

.
Exemplo 4.37 Considere o vetor v = (2, 4) ∈ R2 e as bases ε = {(1, 0), (0, 1)} e β =
{(1, 1), (0, 1)}. Determine [v]ε e [v]β.

Solução: Como (2, 4) = 2(1,