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0) + 4(0, 1), então [v]ε =

[
2
4

]
. Queremos (2, 4) = a(1, 1) +

b(0, 1), ou seja, 2 = a, 4 = a + b. Logo b = 2 e (2, 4) = 2(1, 1) + 2(0, 1) e [v]β =

[
2
2

]
.

Mostramos na Figura 4.13 porque o mesmo vetor pode possuir coordenadas distintas em

bases distintas.

Exemplo 4.38 Considere a base β = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} e o vetores v = (1, 2, 2)
e w = (1, 1, 0). Determine [v]ε, [v]β, [w]ε e [w]β.

Solução: É claro que (reveja exemplos anteriores) [v]ε =

 12
2


e [w]ε =

 11
0


.

1

A leitura desta seção é opcional.

120 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ

Figura 4.13: Vetor v = (2, 4) em bases distintas

Queremos (1, 2, 2) = a(1, 1, 1)+b(0, 1, 1)+c(0, 0, 1). Logo 1 = a, 2 = a+b, 2 = a+b+c.

Logo b = 1 e c = 0. Logo (1, 2, 2) = 1(1, 1, 1) + 1(0, 1, 1) + 0(0, 0, 1) e [v]β =

 11
0


.

Queremos (1, 1, 0) = a(1, 1, 1) + b(0, 1, 1) + c(0, 0, 1). Logo 1 = a, 1 = a + b, 0 =
a + b + c. Logo b = 0 e c = −1. Como (1, 1, 0) = 1(1, 1, 1) + 0(0, 1, 1) − 1(0, 0, 1), então

[w]β =

 10
−1


. Como [w]ε = [v]β =

 11
0


, vetores distintos podem possuir as mesmas

coordenadas em bases distintas.

Exemplo 4.39 Considere a base β do Exemplo 3.21 da p.73 e v = (v1, v2, . . . , vn) ∈ Rn.
Determine [v]β.

Solução: Da solução do Exemplo 3.21 da p.73, v = v1b1+(v2−v1)b2+ · · ·+(vn−vn−1)bn.
Portanto:

[v]β =
[
(v1, v2, . . . , vn)

]
β

=


v1

v2 − v1
.

.

.

vn − vn−1

 .
Os dois exemplos a seguir mostram como determinar as coordenadas de um vetor numa

base qualquer dadas suas coordenadas na base canônica e vice-versa. Um caso é direto, o

outro envolve resolver um sistema linear. Juntando os dois exemplos podemos passar de

uma base α qualquer para outra β, bastando passar pela base ε.

Exemplo 4.40 Considere a base β = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (2, 0,−1)} de R3. Determine:

(a) v sabendo que [v]β =

 23
−1


; (b) [(4, 3, 7)]β.

Solução:

(a) Efetuando, v = 2(1, 1, 1) + 3(1, 0, 1)− (2, 0,−1) = (3, 2, 6)
(b) Precisamos determinar a1, a2, a3 ∈ R tais que a1(1, 1, 1) +a2(1, 0, 1) +a3(2, 0,−1) =

(4, 3, 7). Expandindo, obtemos o sistema linear:


1a1 + 1a2 + 2a3 = 4
1a1 + 0a2 + 0a3 = 3
1a1 + 1a2 + (−1)a3 = 7
.

4.7. ?MATRIZ REPRESENTANDO VETOR: COORDENADAS 121

Escalonando

 1 1 2 41 0 0 3
1 1 −1 7

 ∼
 1 0 0 30 1 0 3

0 0 1 −1


. Portanto a solução é única com

(a1, a2, a3) = (3, 3,−1). Portanto, [(4, 3, 7)]β =
 33
−1


.

Exemplo 4.41 Considere V = P2 (polinômios de grau até 2), a base ε = {1, x, x2}, a
base β = {1 + x, 1 − x, x2}, e os vetores (polinômios que são elementos de P2) u = 8,
v = 6 + 5x2 e w = 8x− 2. Determine:
(a) [u]ε, (b) [v]ε, (c) [w]ε, (d) [u]β, (e) [v]β, (f) [w]β.

Solução: (a) Como u = 8 + 0x + 0x2, [u]ε =

 80
0


. (b) Como v = 6 + 0x + 5x2,

[v]ε =

 60
5


, (c) Como w = −2 + 8x+ 0x2, [w]ε =

 −28
0


.

(d) Queremos 8 = a(1+x)+b(1−x)+cx2. Expandindo 8 = a+b+(a−b)x+cx2. Logo

a+ b = 8, a− b = 0, c = 0. Logo a = b = 4. Como 8 = 4(1 + x) + 4(1− x), [u]β =
 44

0


.

(e) Queremos 6+5x2 = a(1+x)+b(1−x)+cx2. Expandindo 6+5x2 = a+b+(a−b)x+cx2.
Logo a+b = 6, a−b = 0, c = 5. Logo a = b = 3. Como 6+5x2 = 3(1+x)+3(1−x)+5x2,

[v]β =

 33
5


.

(f) Queremos 8x− 2 = a(1 +x) + b(1−x) + cx2 = a+ b+ (a− b)x+ cx2. Logo c = 0 e
temos que resolver o sistema

{
a+ b = −2
a− b = 8 . Resolvendo obtemos a = 3, b = −5. Logo

[w]β =

 3−5
0


.

Exemplo 4.42 Considere F(R;R) (funções reais), β = {sen2(x), cos2(x)} e γ = {1, sen2(x)}.
Considere os vetores (funções que são elementos de F(R;R)) u = cos2(x), v = cos(2x) e
w = 1. Seja W = 〈β〉 ⊂ F(R;R) o subespaço gerado por β. Prove que:
(a) W = 〈γ〉 (espaço gerado por γ); (b) β e γ são LIs; (c) u,v ∈ 〈γ〉.
Determine:

(d) [u]β, [v]β, [w]β; (e) [u]γ, [v]γ, [w]γ.

Solução: (a) Seja G = 〈γ〉. Se z ∈ W então z = a sen2 x + b cos2 x. Logo z = a sen2 x +
b(1 − sen2 x) = b1 + (a − b) sen2 x ∈ G. Agora se k ∈ G então k = a1 + b sen2 x =
a(sen2 x+ cos2 x) + b sen2 x = (a+ b) sen2 x+ a cos2 x ∈ W . Logo G = W .
(b) Vamos provar que β é LI. Suponha que a sen2 x+ b cos2 x = 0. Queremos provar que

a = b = 0. Como a identidade é para todo x ∈ R, tomando x = 0 concluímos que a0+b1 = 0,
ou seja, b = 0. Tomando x = pi/2, a1 + b0 = 0, logo a = 0. Convidamos o leitor a provar
que γ é LI. Uma técnica mais geral é oWronskiano apresentada no Desafio 6.9.4 da p.193.
(c) u = cos2 x = 1−sen2 x ∈ W , v = cos(2x) = cos2(x)−sen2(x) = 1−2 sen2(x) ∈ W ,

122 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ

(d) Pelo item anterior e identidades trigonométricas (verifique!) [u]β =

[
0
1

]
, [v]β =[ −1

1

]
, [w]β =

[
1
1

]
, [u]γ =

[
1
−1

]
, [v]γ =

[
1
−2

]
, [w]γ =

[
1
0

]
.

O próximo lema garante que todo espaço vetorial de dimensão finita n é essencialmente
igual ao Rn (em linguagem matemática, dizemos isomorfo pois existe bijeção linear).

Lema 4.50 (mapeamento vetor → coordenadas é bijeção linear) Considere V es-
paço vetorial de dimensão finita n com base β. O mapeamento [ · ]β : V → Mn×1

v 7→ [v]β
é:

(a) linear, isto é, preserva combinações lineares,

[αu + γv]β = α[u]β + γ[v]β ∀α, γ ∈ R, ∀u,v ∈ V ;

(b) injetivo, isto é, se [v]β = [w]β então v = w.
(c) sobrejetivo, isto é, dada matriz coluna A ∈Mn×1, existe v ∈ V tal que [v]β = A.
Além disso existe uma bijeção linear L : V → Rn.

Prova: (a) Escrevemos β = {v1,v2, . . . ,vn}. Dados u,v ∈ V , u =
n∑
i=1

αivi e w =

n∑
i=1

γivi. Assum u + w =
n∑
i=1

(αi + γi)vi. É imediato que [u]β =

 α1..
.

αn

 , [w]β = γ1..
.

γn

 , [u + w]β =
 α1 + γ1..
.

αn + γn

 =
 α1..
.

αn

 +
 γ1..
.

γn

 = [u]β + [w]β. Analogamente,
[ξu]β =

 ξα1..
.

ξαn

 = ξ[u]β.
(b) Segue da unicidade da representação de um vetor como CL de vetores de uma base.

(c) Dado A =

 α1..
.

αn

 defina v = n∑
i=1

αivi.

Seja ε a base canônica do Rn e [ · ]−1ε : Mn×1 → Rn o mapeamento inverso. Defina
L = [[ · ]β]−1ε : V → Rn, a composição de [ · ]−1ε com [ · ]β.
Embora coordenadas sem indicação da base não determinem um vetor, existe uma con-

venção (dizemos que é um abuso de notação, isto é, um uso da notação diferente do conven-

cionado) que é assumir que a base é canônica. Temos três formas equivalentes de determinar

o mesmo vetor v ∈ Rn (veja p.31):
• considere o vetor v = (α1, . . . , αn) (uso correto);

• considere o vetor [v]ε =

 α1..
.

αn

 (uso correto);

4.8. ?MATRIZ REPRESENTANDO TL: MUDANÇA DE BASE 123

• considere o vetor v =

 α1..
.

αn

 (abuso de notação).
O último uso é tão comum que muitos livros usam como definição de vetor do Rn: um
vetor é uma matriz com uma coluna e n linhas. Um vetor poderia ser uma matriz linha, mas
a convenção utilizada em todos os livros é como uma matriz coluna.

4.8 ?Matriz Representando TL: Mudança de Base1

Antes de estudar esta seção estude a definição de coordenadas de um vetor numa base

(Definição 4.49 da p.119).

O Lema 4.5 da p.94 mostra que existe uma bijeção entre matrizes (Mm×n) e L(Rn;Rm)
(TLs do Rn em Rm). Vamos associar matrizes a TLs entre dois espaços vetoriais quaisquer
de dimensão finita.

Definição 4.51 (matriz associada à TL) Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão
finita com dim(U) = n e dim(V ) = m e bases β = {u1, . . . ,un} de U e γ de V . Dada
T ∈ L(U ;V ), denotamos por [T ]γ←β ∈Mm×n a matriz de que representa T . Ela é definida
por

[T ]γ←β =

 ↑[T (u1)]γ
↓

· · ·
↑

[T (un)]γ
↓

 ∈Mm×n.
Desta forma, cada coluna da matriz [T ]γ←β é formada pelas coordenadas do vetor T (ui) na
base γ.

Em que sentido a matriz [T ]γ←β representa T?

A resposta está no próximo teorema, cujo resultado apresentamos no diagrama abaixo.