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O signi\ufb01cado do diagrama (e do teorema) é que ele comuta: tanto faz, partindo de u \u2208 U ,
aplicar diretamente T e calcular suas coordenadas na base \u3b3, ou calcular suas coordenadas
na base \u3b2 e aplicar a matriz [T ]\u3b3\u2190\u3b2.
U
T\u2212\u2192 V
[ · ]\u3b2 \u2193 \u2193 [ · ]\u3b3
Mn×1 \u2212\u2192
[T ]\u3b3\u2190\u3b2
Mm×1
Teorema 4.52 (relação entre matriz e TL) Seja T \u2208 L(U ;V ) e bases \u3b2 de U e \u3b3 de
V . Então, para todo u \u2208 U ,
[T (u)]\u3b3 = [T ]\u3b3\u2190\u3b2[u]\u3b2.
1
A leitura desta seção é opcional.
124 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ
Prova: Seja \u3b2 = {u1, . . . ,un}. Então, pela linearidade do produto matriz-vetor (Lema 2.20
da p.54), [T (u)]\u3b3 = [T ]\u3b3\u2190\u3b2[u]\u3b2 para todo u \u2208 U se, e somente se, [T (uj)]\u3b3 = [T ]\u3b3\u2190\u3b2[uj]\u3b2
para j = 1, . . . , n.
Como [uj]\u3b2 = ej, [T ]\u3b3\u2190\u3b2[uj]\u3b2 = [T ]\u3b3\u2190\u3b2ej, que é igual à j-ésima coluna de [T ]\u3b3\u2190\u3b2, que
por de\ufb01nição é [T (uj)]\u3b3. Portanto, [T ]\u3b3\u2190\u3b2[uj]\u3b2 = [T (uj)]\u3b3.
Exemplo 4.43 Considere T : R2 \u2192 R3 linear tal que T (1, 0) = (1, 2, 3) e T (2, 1) =
(0, 0, 2). Considere as bases \u3b2 = {(1, 0), (2, 1)}, \u3b3 = {(1, 2, 3), (0, 0, 2), (0, 1, 0)}, \u3b52 =
{(1, 0), (0, 1)} e \u3b53 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Determine:
(a) [T ]\u3b3\u2190\u3b2; [T ]\u3b53\u2190\u3b52 .
Solução: Como \u3b2 = {(1, 0), (2, 1)}, precisamos calcular [T (1, 0)]\u3b3 = [(1, 2, 3)]\u3b3 =
\uf8ee\uf8f0 10
0
\uf8f9\uf8fb
e
[T (2, 1)]\u3b3 = [(0, 0, 2)]\u3b3 =
\uf8ee\uf8f0 01
0
\uf8f9\uf8fb
. Logo, [T ]\u3b3\u2190\u3b2 =
\uf8ee\uf8f0 \u2191[T (1, 0)]\u3b3
\u2193
\u2191
[T (2, 1)]\u3b3
\u2193
\uf8f9\uf8fb =
\uf8ee\uf8f0 1 00 1
0 0
\uf8f9\uf8fb
.
Como \u3b52 = {(1, 0), (0, 1)}, precisamos calcular [T (1, 0)]\u3b53 e [T (0, 1)]\u3b53 . Embora não
tenha sido fornecido T (0, 1) diretamente, (0, 1) = (2, 1)\u2212 2(1, 0). logo, T (0, 1) = T (2, 1)\u2212
2T (1, 0) = (0, 0, 2)\u22122(1, 2, 3) = (\u22122,\u22124,\u22124). Portanto, [T (1, 0)]\u3b53 = [(1, 2, 3)]\u3b53 =
\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb
e [T (0, 1)]\u3b53 = [(\u22122,\u22124,\u22124)]\u3b53 =
\uf8ee\uf8f0 \u22122\u22124
\u22124
\uf8f9\uf8fb
. Logo, [T ]\u3b53\u2190\u3b52 =
\uf8ee\uf8f0 \u2191[T (1, 0)]\u3b53
\u2193
\u2191
[T (0, 1)]\u3b53
\u2193
\uf8f9\uf8fb =\uf8ee\uf8f0 1 \u221222 \u22124
3 \u22124
\uf8f9\uf8fb
.
Exemplo 4.44 Considere T : R2 \u2192 R2 com Te1 = e1 + e2, Te2 = 2e1 + 2e2, \u3b5 base
canônica de R2 e \u3b2 = {v1,v2} com v1 = e1 + e2, v2 = e2 \u2212 2e1. Determine:
(a) [T ]\u3b5\u2190\u3b5; (b) [T ]\u3b2\u2190\u3b2.
Solução: (a) Como [Te1]\u3b5 = [e1 + e2]\u3b5 =
[
1
1
]
e [Te2]\u3b5 = [2e1 + 2e2]\u3b5 =
[
2
2
]
, [T ]\u3b5\u2190\u3b5 =[
1 2
1 2
]
.
(b) Precisamos calcular [T (v1)]\u3b2 e [T (v2)]\u3b2.
Vemos que [T (v1)]\u3b2 = [T (e1 + e2)]\u3b2 = [T (e1) + T (e2)]\u3b2 = [(e1 + e2) + (2e1 + 2e2)]\u3b2 =
[3(e1 + e2)]\u3b2 = [3v1]\u3b2 =
[
3
0
]
.
Por outro lado, [T (v2)]\u3b2 = [T (e2 \u2212 2e1)]\u3b2 = [T (e2)\u2212 2T (e1)]\u3b2 =
[(2e1 + 2e2)\u2212 2(e1 + e2)]\u3b2 = [0]\u3b2 = [0v1 + 0v2]\u3b2 =
[
0
0
]
.
Logo, [T ]\u3b2\u2190\u3b2 =
[
3 0
0 0
]
.
Notação 4.53 Quando uma TL vai de um EV nele mesmo, T : U \u2192 U , podemos escolher
a mesma base \u3b2 para o domínio e o contra-domínio. Denotamos [T ]\u3b2\u2190\u3b2 por [T ]\u3b2.
4.8. ?MATRIZ REPRESENTANDO TL: MUDANÇA DE BASE 125
Exemplo 4.45 Seja \u3b3 = {1, x, x2}, e D : P2 \u2192 P2 de\ufb01nido por D(f) = f \u2032 (derivada).
Determine [D]\u3b3.
Solução: D(1) = 0 e [0]\u3b3 =
\uf8ee\uf8f0 00
0
\uf8f9\uf8fb
, D(x) = 1 e [1]\u3b3 =
\uf8ee\uf8f0 10
0
\uf8f9\uf8fb
, D(x2) = 2x e [2x]\u3b3 =\uf8ee\uf8f0 02
0
\uf8f9\uf8fb
. Logo [D]\u3b3 =
\uf8ee\uf8f0 0 1 00 0 2
0 0 0
\uf8f9\uf8fb
.
Exemplo 4.46 Seja \u3b2 = {senx, e2x, cosx}, V = \u3008\u3b2\u3009 \u2282 C(R;R) e D : V \u2192 V de\ufb01nido por
D(f) = f \u2032 (derivada). Determine [D]\u3b2.
Solução: D(senx) = cos x e [cosx]\u3b2 =
\uf8ee\uf8f0 00
1
\uf8f9\uf8fb
, D(cosx) = \u2212 senx e [\u2212 senx]\u3b2 =
\uf8ee\uf8f0 \u221210
0
\uf8f9\uf8fb
,
D(e2x) = 2e2x e [2e2x]\u3b2 =
\uf8ee\uf8f0 02
0
\uf8f9\uf8fb
. Logo [D]\u3b2 =
\uf8ee\uf8f0 0 \u22121 00 0 2
1 0 0
\uf8f9\uf8fb
.
De\ufb01nição 4.54 (matriz de mudança de base) Considere bases \u3b2 e \u3b3 do espaço de di-
mensão \ufb01nita U e a TL identidade I em U . Como
[I]\u3b3\u2190\u3b2[u]\u3b2 = [I(u)]\u3b3 = [u]\u3b3,
a matriz [I]\u3b3\u2190\u3b2 transforma as coordenadas de u na base \u3b2 em coordenadas de u na base \u3b3.
Pela de\ufb01nição, se \u3b2 = {u1, . . . ,un},
[I]\u3b3\u2190\u3b2 =
\uf8ee\uf8f0 \u2191[I(u1)]\u3b3
\u2193
· · ·
\u2191
[I(un)]\u3b3
\u2193
\uf8f9\uf8fb =
\uf8ee\uf8f0 \u2191[u1]\u3b3
\u2193
· · ·
\u2191
[un]\u3b3
\u2193
\uf8f9\uf8fb .
Exemplo 4.47 Considere as bases de R2: canônica \u3b5 e \u3b2 = {(1, 2), (3, 4)}. Determine
[I]\u3b5\u2190\u3b2.
Solução: É imediato que [I]\u3b5\u2190\u3b2 =
\uf8ee\uf8f0 \u2191[(1, 2)]\u3b5
\u2193
\u2191
[(3, 4)]\u3b5
\u2193
\uf8f9\uf8fb = [ 1 3
2 4
]
. Se quisermos [I]\u3b2\u2190\u3b5,
pelo Corolário 4.56 mais adiante, basta inverter a matriz acima.
Observação 4.18 Do exemplo anterior observamos que cálculo da matriz mudança de
base de uma base \u3b2 qualquer para canônica \u3b5 é fácil. A matriz de mudança inversa pode
ser obtida invertendo esta matriz. Esta é uma importante consequência do próximo lema.
126 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ
Lema 4.55 (relaçao entre produto de matrizes e composição de TLs) Dados T \u2208
L(U ;V ) e S \u2208 L(V ;W ), e bases \u3b2, \u3b3, \u3b4 dos espaços vetoriais de dimensão \ufb01nita U, V,W ,
conforme indicado no diagrama abaixo, [S]\u3b4\u2190\u3b3[T ]\u3b3\u2190\u3b2 = [S \u25e6 T ]\u3b4\u2190\u3b2.
U VT
Mn×1 Mm×1[T ]\u3b3\u2190\u3b2
[ · ]\u3b2 [ · ]\u3b3
WS
Mp×1
[S]\u3b4\u2190\u3b3
[ · ]\u3b4
S \u25e6 T
[S \u25e6 T ]\u3b4\u2190\u3b2
Prova: Omitimos pois consumiria espaço embora seja simples.
Corolário 4.56 (inversa da mudança de base) Considere bases \u3b2 e \u3b3 de U e a TL iden-
tidade I em U . Então a matriz mudança de base [I]\u3b3\u2190\u3b2 é igual a [I]
\u22121
\u3b2\u2190\u3b3 (inversa).
Qual a relação entre matrizes que representam a mesma TL? Vamos simpli\ufb01car e considerar
o caso em que T \u2208 L(U ;U) (mesmo espaço). Considere bases \u3b2 e \u3b3 de U . Qual a relação
entre as matrizes [T ]\u3b3\u2190\u3b3 e [T ]\u3b2\u2190\u3b2?
De\ufb01nição 4.57 (matrizes semelhantes) Dizemos que duas matrizes A e B são seme-
lhantes quando existe uma matriz invertível (quadrada) P tal que PAP\u22121 = B.
Lema 4.58 (matrizes da mesma TL) Considere T \u2208 L(U ;U) e bases \u3b2 e \u3b3 de U . Então
[T ]\u3b3\u2190\u3b3 e [T ]\u3b2\u2190\u3b2 são semelhantes com P = [I]\u3b2\u2190\u3b3 (matriz de mudança de base).
Prova: Como ITI = T , aplicando o Lema 4.55 duas vezes, [I]\u3b2\u2190\u3b3[T ]\u3b3\u2190\u3b3[I]\u3b3\u2190\u3b2 = [T ]\u3b2\u2190\u3b2.
Tomando P = [I]\u3b2\u2190\u3b3 e aplicando o Corolário 4.56, P
\u22121 = [I]\u3b3\u2190\u3b2.
Fazendo uma escolha adequada da base, a matriz que representa a TL pode ser muito
mais simples, como por exemplo diagonal. Como descobrir qual base fará isso? Este é o
assunto do Capítulo Autovalores e Autovetores.
Para resumir: as coordenadas de um vetor v estão para v assim como a matriz que
representa uma transformação linear T está para T :
coordenadas de v
v
assim como
matriz que representa T
T
.
4.9. EXERCÍCIOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES 127
4.9 Exercícios de Transformações Lineares
4.9.1 Exercícios de Fixação
Fix 4.1:Determine se são lineares T : R2 \u2192 R2:
(a) T (x, y) = (x+ 2y, xy); (b) T (x, y) = (x+ 2y, 0); (c) T (x, y) = (x2 + 2y, y);
Fix 4.2:O produto matriz-vetor pode ser visto como:
(a) combinação linear das (linhas, colunas) da matriz;
(b) produtos escalares com as (linhas, colunas) da matriz.
Fix 4.3:Dada transformação linear T : Rn \u2192 Rm existe uma matriz A que a representa e
vice-versa.
(a) se T (x, y) = (3x+ 7y, 5x\u2212 4y), então A =
[ ]
;
(b) se T (x, y) = (y, \u2212x, 2x+ y), então A =
\uf8ee\uf8f0 \uf8f9\uf8fb
;
(c) se A =
[
1 0 \u22121
3 0 2
]
, então T (x, y) = ( , );
(d) se A =
[ \u22121 8 ], então T (x, y) = ( , ).
Fix 4.4:Determine T que projeta (ortogonalmente) vetores do:
(a) R2 no eixo y; (b) R3 no eixo y; (c) no plano x = 0.
Fix 4.5:Qual das alternativas apresenta a matriz que roda os vetores do R2 por um ângulo
\u3b8 (no sentido trigonométrico, isto é, anti-horário):
(A)
[
cos \u3b8 sen \u3b8
sen \u3b8 cos \u3b8
]
(B)
[
cos \u3b8 \u2212 sen \u3b8
sen \u3b8 cos \u3b8
]
(C)
[
sen \u3b8 \u2212 cos \u3b8
cos \u3b8 sen \u3b8
]
(D)
[
sen \u3b8 cos \u3b8
cos \u3b8 sen \u3b8
]
Fix 4.6: SejaA uma matriz. O posto deA é igual a: (NucA, ImA,dimNucA,dim ImA).
Fix 4.7:Considere I : V \u2192 V e T : V \u2192 W de\ufb01nidas por I(v) = v e T (v) = 0 para todo
v \u2208 V .
(a) Nuc(I) = (V,W,0); (b) Im(I) = (V,W,0);
(c) Nuc(T ) = (V,W,0); (d) Im(T ) = (V,W,0);
Fix 4.8: Seja T : V \u2192 W uma TL. Para cada pergunta, escolha uma das opções.
(i) a de\ufb01nição de Nuc(T ) é:
(A) {w \u2208 W | T (0) = w}; (B) {w \u2208 W | T (w) = 0};
(C) {v \u2208 V | T (v) = 0}; (D) {v \u2208 V | T (0) = v}.
(ii) a de\ufb01nição de Im(T ) é:
(A) {w \u2208 W | w = T (v) para algum v \u2208 V };
(B) {w \u2208 W | v = T (w) para algum w \u2208 W};
(C) {v \u2208 V | w = T (v) para algum v \u2208 V };
(D) {v \u2208 V | v = T (w) para algum w \u2208 W};
(iii) T é sobrejetiva se, e somente se:
(A) dim(V ) = dim(W