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O significado do diagrama (e do teorema) é que ele comuta: tanto faz, partindo de u ∈ U ,
aplicar diretamente T e calcular suas coordenadas na base γ, ou calcular suas coordenadas
na base β e aplicar a matriz [T ]γ←β.

U
T−→ V

[ · ]β ↓ ↓ [ · ]γ
Mn×1 −→

[T ]γ←β
Mm×1

Teorema 4.52 (relação entre matriz e TL) Seja T ∈ L(U ;V ) e bases β de U e γ de
V . Então, para todo u ∈ U ,

[T (u)]γ = [T ]γ←β[u]β.

1

A leitura desta seção é opcional.

124 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ

Prova: Seja β = {u1, . . . ,un}. Então, pela linearidade do produto matriz-vetor (Lema 2.20
da p.54), [T (u)]γ = [T ]γ←β[u]β para todo u ∈ U se, e somente se, [T (uj)]γ = [T ]γ←β[uj]β
para j = 1, . . . , n.
Como [uj]β = ej, [T ]γ←β[uj]β = [T ]γ←βej, que é igual à j-ésima coluna de [T ]γ←β, que
por definição é [T (uj)]γ. Portanto, [T ]γ←β[uj]β = [T (uj)]γ.

Exemplo 4.43 Considere T : R2 → R3 linear tal que T (1, 0) = (1, 2, 3) e T (2, 1) =
(0, 0, 2). Considere as bases β = {(1, 0), (2, 1)}, γ = {(1, 2, 3), (0, 0, 2), (0, 1, 0)}, ε2 =
{(1, 0), (0, 1)} e ε3 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Determine:
(a) [T ]γ←β; [T ]ε3←ε2 .

Solução: Como β = {(1, 0), (2, 1)}, precisamos calcular [T (1, 0)]γ = [(1, 2, 3)]γ =
 10

0


e

[T (2, 1)]γ = [(0, 0, 2)]γ =

 01
0


. Logo, [T ]γ←β =

 ↑[T (1, 0)]γ
↓

↑
[T (2, 1)]γ
↓

 =
 1 00 1

0 0


.

Como ε2 = {(1, 0), (0, 1)}, precisamos calcular [T (1, 0)]ε3 e [T (0, 1)]ε3 . Embora não
tenha sido fornecido T (0, 1) diretamente, (0, 1) = (2, 1)− 2(1, 0). logo, T (0, 1) = T (2, 1)−

2T (1, 0) = (0, 0, 2)−2(1, 2, 3) = (−2,−4,−4). Portanto, [T (1, 0)]ε3 = [(1, 2, 3)]ε3 =
 12

3


e [T (0, 1)]ε3 = [(−2,−4,−4)]ε3 =

 −2−4
−4


. Logo, [T ]ε3←ε2 =

 ↑[T (1, 0)]ε3
↓

↑
[T (0, 1)]ε3
↓

 = 1 −22 −4
3 −4


.

Exemplo 4.44 Considere T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, Te2 = 2e1 + 2e2, ε base
canônica de R2 e β = {v1,v2} com v1 = e1 + e2, v2 = e2 − 2e1. Determine:
(a) [T ]ε←ε; (b) [T ]β←β.

Solução: (a) Como [Te1]ε = [e1 + e2]ε =

[
1
1

]
e [Te2]ε = [2e1 + 2e2]ε =

[
2
2

]
, [T ]ε←ε =[

1 2
1 2

]
.

(b) Precisamos calcular [T (v1)]β e [T (v2)]β.
Vemos que [T (v1)]β = [T (e1 + e2)]β = [T (e1) + T (e2)]β = [(e1 + e2) + (2e1 + 2e2)]β =

[3(e1 + e2)]β = [3v1]β =

[
3
0

]
.

Por outro lado, [T (v2)]β = [T (e2 − 2e1)]β = [T (e2)− 2T (e1)]β =
[(2e1 + 2e2)− 2(e1 + e2)]β = [0]β = [0v1 + 0v2]β =

[
0
0

]
.

Logo, [T ]β←β =
[

3 0
0 0

]
.

Notação 4.53 Quando uma TL vai de um EV nele mesmo, T : U → U , podemos escolher
a mesma base β para o domínio e o contra-domínio. Denotamos [T ]β←β por [T ]β.

4.8. ?MATRIZ REPRESENTANDO TL: MUDANÇA DE BASE 125

Exemplo 4.45 Seja γ = {1, x, x2}, e D : P2 → P2 definido por D(f) = f ′ (derivada).
Determine [D]γ.

Solução: D(1) = 0 e [0]γ =

 00
0


, D(x) = 1 e [1]γ =

 10
0


, D(x2) = 2x e [2x]γ = 02

0


. Logo [D]γ =

 0 1 00 0 2
0 0 0


.

Exemplo 4.46 Seja β = {senx, e2x, cosx}, V = 〈β〉 ⊂ C(R;R) e D : V → V definido por
D(f) = f ′ (derivada). Determine [D]β.

Solução: D(senx) = cos x e [cosx]β =

 00
1


, D(cosx) = − senx e [− senx]β =

 −10
0


,

D(e2x) = 2e2x e [2e2x]β =

 02
0


. Logo [D]β =

 0 −1 00 0 2
1 0 0


.

Definição 4.54 (matriz de mudança de base) Considere bases β e γ do espaço de di-
mensão finita U e a TL identidade I em U . Como

[I]γ←β[u]β = [I(u)]γ = [u]γ,

a matriz [I]γ←β transforma as coordenadas de u na base β em coordenadas de u na base γ.
Pela definição, se β = {u1, . . . ,un},

[I]γ←β =

 ↑[I(u1)]γ
↓

· · ·
↑

[I(un)]γ
↓

 =
 ↑[u1]γ
↓
· · ·

↑
[un]γ
↓

 .

Exemplo 4.47 Considere as bases de R2: canônica ε e β = {(1, 2), (3, 4)}. Determine
[I]ε←β.

Solução: É imediato que [I]ε←β =

 ↑[(1, 2)]ε
↓

↑
[(3, 4)]ε
↓

 = [ 1 3
2 4

]
. Se quisermos [I]β←ε,

pelo Corolário 4.56 mais adiante, basta inverter a matriz acima.

Observação 4.18 Do exemplo anterior observamos que cálculo da matriz mudança de

base de uma base β qualquer para canônica ε é fácil. A matriz de mudança inversa pode
ser obtida invertendo esta matriz. Esta é uma importante consequência do próximo lema.

126 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ

Lema 4.55 (relaçao entre produto de matrizes e composição de TLs) Dados T ∈
L(U ;V ) e S ∈ L(V ;W ), e bases β, γ, δ dos espaços vetoriais de dimensão finita U, V,W ,
conforme indicado no diagrama abaixo, [S]δ←γ[T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β.

U VT

Mn×1 Mm×1[T ]γ←β

[ · ]β [ · ]γ
WS

Mp×1
[S]δ←γ

[ · ]δ

S ◦ T

[S ◦ T ]δ←β

Prova: Omitimos pois consumiria espaço embora seja simples.

Corolário 4.56 (inversa da mudança de base) Considere bases β e γ de U e a TL iden-
tidade I em U . Então a matriz mudança de base [I]γ←β é igual a [I]

−1
β←γ (inversa).

Qual a relação entre matrizes que representam a mesma TL? Vamos simplificar e considerar

o caso em que T ∈ L(U ;U) (mesmo espaço). Considere bases β e γ de U . Qual a relação
entre as matrizes [T ]γ←γ e [T ]β←β?

Definição 4.57 (matrizes semelhantes) Dizemos que duas matrizes A e B são seme-
lhantes quando existe uma matriz invertível (quadrada) P tal que PAP−1 = B.

Lema 4.58 (matrizes da mesma TL) Considere T ∈ L(U ;U) e bases β e γ de U . Então
[T ]γ←γ e [T ]β←β são semelhantes com P = [I]β←γ (matriz de mudança de base).

Prova: Como ITI = T , aplicando o Lema 4.55 duas vezes, [I]β←γ[T ]γ←γ[I]γ←β = [T ]β←β.
Tomando P = [I]β←γ e aplicando o Corolário 4.56, P

−1 = [I]γ←β.

Fazendo uma escolha adequada da base, a matriz que representa a TL pode ser muito

mais simples, como por exemplo diagonal. Como descobrir qual base fará isso? Este é o

assunto do Capítulo Autovalores e Autovetores.

Para resumir: as coordenadas de um vetor v estão para v assim como a matriz que
representa uma transformação linear T está para T :

coordenadas de v

v
assim como

matriz que representa T

T
.

4.9. EXERCÍCIOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES 127

4.9 Exercícios de Transformações Lineares

4.9.1 Exercícios de Fixação

Fix 4.1:Determine se são lineares T : R2 → R2:
(a) T (x, y) = (x+ 2y, xy); (b) T (x, y) = (x+ 2y, 0); (c) T (x, y) = (x2 + 2y, y);

Fix 4.2:O produto matriz-vetor pode ser visto como:

(a) combinação linear das (linhas, colunas) da matriz;

(b) produtos escalares com as (linhas, colunas) da matriz.

Fix 4.3:Dada transformação linear T : Rn → Rm existe uma matriz A que a representa e
vice-versa.

(a) se T (x, y) = (3x+ 7y, 5x− 4y), então A =
[ ]
;

(b) se T (x, y) = (y, −x, 2x+ y), então A =
 
;

(c) se A =

[
1 0 −1
3 0 2

]
, então T (x, y) = ( , );

(d) se A =
[ −1 8 ], então T (x, y) = ( , ).
Fix 4.4:Determine T que projeta (ortogonalmente) vetores do:
(a) R2 no eixo y; (b) R3 no eixo y; (c) no plano x = 0.
Fix 4.5:Qual das alternativas apresenta a matriz que roda os vetores do R2 por um ângulo
θ (no sentido trigonométrico, isto é, anti-horário):

(A)

[
cos θ sen θ
sen θ cos θ

]
(B)

[
cos θ − sen θ
sen θ cos θ

]
(C)

[
sen θ − cos θ
cos θ sen θ

]
(D)

[
sen θ cos θ
cos θ sen θ

]
Fix 4.6: SejaA uma matriz. O posto deA é igual a: (NucA, ImA,dimNucA,dim ImA).

Fix 4.7:Considere I : V → V e T : V → W definidas por I(v) = v e T (v) = 0 para todo
v ∈ V .
(a) Nuc(I) = (V,W,0); (b) Im(I) = (V,W,0);
(c) Nuc(T ) = (V,W,0); (d) Im(T ) = (V,W,0);

Fix 4.8: Seja T : V → W uma TL. Para cada pergunta, escolha uma das opções.
(i) a definição de Nuc(T ) é:
(A) {w ∈ W | T (0) = w}; (B) {w ∈ W | T (w) = 0};
(C) {v ∈ V | T (v) = 0}; (D) {v ∈ V | T (0) = v}.
(ii) a definição de Im(T ) é:
(A) {w ∈ W | w = T (v) para algum v ∈ V };
(B) {w ∈ W | v = T (w) para algum w ∈ W};
(C) {v ∈ V | w = T (v) para algum v ∈ V };
(D) {v ∈ V | v = T (w) para algum w ∈ W};
(iii) T é sobrejetiva se, e somente se:
(A) dim(V ) = dim(W