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); (B) dim(Nuc(T )) = dim(V ); (C) dim(Nuc(T )) = 0;
(D) dim(Im(T )) = dim(W ); (E) dim(Im(T )) = 0.
(iv) T é injetiva se, e somente se:
(A) dim(V ) = dim(W ); (B) dim(Nuc(T )) = dim(V ); (C) dim(Nuc(T )) = 0;
(D) dim(Im(T )) = dim(W ); (E) dim(Im(T )) = 0.
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23.ago.2012 13h
128 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ
Fix 4.9:Determine (geometricamente, não faça contas) o núcleo e a imagem de cada uma
das TLs abaixo de R3 em R3:
(a) projeção ortogonal na reta gerada pelo vetor (2, 1, 1);
(b) rotação de 11 graus em torno do eixo (\u22122, 1, 2);
(c) re\ufb02exão em torno do plano x = 0;
(d) projeção ortogonal no plano x = 0.
Fix 4.10:Este exercício é para ser feito com argumentos geométricos. Todas as trans-
formações estão de\ufb01nidas de R2 em R2. Seja P uma projeção ortogonal na reta r e R uma
re\ufb02exão em torno da mesma reta r. Determine:
(a) Im(P ) = (0, r,R2); (b) Nuc(R) = (0, r,R2); (c) PP = (P,R, I, 0);
(d) RR = (P,R, I, 0); (e) RP = (P,R, I, 0); (f) PR = (P,R, I, 0);
(g) de forma geral P n e Rn com 1 \u2264 n \u2208 N.
Fix 4.11: Seja T : R7 \u2192 R10 linear.
(a) se dim(Nuc(T )) = 0, então dim(Im(T )) = ;
(b) se dim(Nuc(T )) = 3, então dim(Im(T )) = ;
(c) se dim(Nuc(T )) = 5, então dim(Im(T )) = ;
Fix 4.12:Determine dim(Im(T )) sabendo que:
(a) T : R5 \u2192 R4 com dim(Nuc(T )) = 3; (b) T : R5 \u2192 R7 com T injetiva.
Fix 4.13:Determine dim(Nuc(T )) sabendo que:
(a) T : V \u2192 W com T sobrejetiva, dim(V ) = 5, dim(W ) = 3;
(b) T : R4 \u2192 R4 sabendo que existe a inversa de T .
Fix 4.14:Determine se é verdadeiro ou falso cada um das seguintes a\ufb01rmativas sobre TLs:
(a) T : R5 \u2192 R4 pode ser injetiva;
(b) T : R3 \u2192 R5 com dim(Im(T )) = 3 é injetiva.
(c) Se T : Rn \u2192 Rm satisfaz T (0) = 0 então T é linear.
(d) Se T é injetiva então não existe w 6= 0 tal que T (w) = 0.
(e) se T : V \u2192 V possui inversa então dim(Nuc(T )) = dim(V ).
Fix 4.15:Considere D2 : P3 \u2192 P3 de\ufb01nida por D2(f) = f \u2032\u2032 (duas derivadas). Determine se
fazem parte do Nuc(D2): 3x3 + x2? 3x\u2212 4? x2? 5?
Fix 4.16:Considere uma matriz A com m linhas e n colunas. Determine se é verdadeiro ou
falso:
(a) se m > n então as colunas são LIs;
(b) se m < n então o núcleo de A contém uma reta;
Fix 4.17:Qual(is) das seguintes propriedades do produto de matrizes são válidas:
(a) associatividade? (b) comutatividade? (c) distributividade?
Fix 4.18: Se A,B \u2208Mn×n então (A+B)(A+B) = (A2+2AB+B2, A2+AB+BA+B2)
Fix 4.19: Sejam A e B matrizes (de dimensões apropriadas para que esteja de\ufb01nido AB).
Então:
(a) colunas de AB são combinações lineares das (linhas, colunas) da matriz
(A, B).
(b) linhas de AB são combinações lineares (linhas, colunas) da matriz (A, B).
(c) entradas deAB são produto escalar de (linhas, colunas) deA por
(linhas, colunas) B.
Fix 4.20: Se A \u2208Mn×n é invertível então
(a) dim(Nuc(A)) = ; (b) dim(Im(A)) = ;
4.9. EXERCÍCIOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES 129
Fix 4.21:Considere S um conjunto ordenado de vetores. Determine se é verdadeiro ou falso:
(a) se todo vetor de um espaço pode ser escrito como combinação linear de elementos de
S então S é base;
(b) se S é base então S é um conjunto linearmente dependente de vetores;
4.9.2 Problemas
Prob 4.1:Determine a TL que representa uma:
(a) re\ufb02exão em R2 em relação a reta x+ y = 0.
(b) projeção ortogonal em R3 sobre o plano y = z;
(c) rotação em R3 de 450 em torno do eixo z.
Prob 4.2:Este exercício é para ser feito com argumentos geométricos. Todas as trans-
formações estão de\ufb01nidas de R2 em R2. Sejam:
\ufffd R uma re\ufb02exão em torno da reta r,
\ufffd P uma projeção ortogonal na mesma reta r, e
\ufffd Q uma projeção ortogonal na reta s perpendicular a reta r.
Determine:
(a) PQ = (±P,±Q,±R,±I, 0); (b) QP = (±P,±Q,±R,±I, 0);
(c) QR = (±P,±Q,±R,±I, 0); (d) RQ = (±P,±Q,±R,±I, 0).
Prob 4.3:Considere T : R3 \u2192 R2 dada por T (x, y, z) = (4x \u2212 y + 2z, \u22122x + y/2 \u2212 z).
Determine se:
(a) (1, 2) \u2208 Im(T ); (b) (1, 4, 0) \u2208 Nuc(T ); (c) (0, 2, 2) \u2208 Nuc(T ).
Prob 4.4:Determine o núcleo, a imagem e suas respectivas dimensões de:
(a) T : R3 \u2192 R4, T (x, y, z) = (x\u2212 y, \u2212y \u2212 z , y \u2212 x, y + z);
(b) T : R3 \u2192 R3, T (x, y, z) = (x\u2212 y, z + 2x, 2y + z);
(c) L : R5 \u2192 R3, L(a, b, c, d, e) = (a+ 3c\u2212 e, c\u2212 d+ e, a+ 4c\u2212 d).
Prob 4.5:Determine uma base e dimensão do núcleo e da imagem para cada matriz:
(a)
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 0
2 0
0 1
\u22121 \u22122
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb (b)
\uf8ee\uf8f0 1 2 0 01 3 1 0
0 1 1 0
\uf8f9\uf8fb
(c)
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
0 1 1
2 2 0
\u22121 0 1
1 1 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb (d)
\uf8ee\uf8f0 1 0 \u22121 0\u22121 \u22121 1 1
0 \u22121 0 1
\uf8f9\uf8fb
Prob 4.6:Calcule a imagem e o núcleo de cada uma das TLs abaixo:
(a) T : P3 \u2192 P3, de\ufb01nida por T (p) = p\u2032\u2032 (segunda derivada).
(b) T : P2 \u2192 R de\ufb01nida por T (p) = p(3).
(c) T : P2 \u2192 P3 de\ufb01nida por (T (p))(x) = xp(x) \u2200x \u2208 R.
(d) T : C1(R;R)\u2192 C(R;R) de\ufb01nida por T (f) = f \u2032.
Prob 4.7:Explique em cada caso abaixo porque não existe uma TL:
(a) T : R4 \u2192 R2 cujo núcleo seja a origem;
(b) T : R4 \u2192 R2 que seja injetiva;
(c) T : R7 \u2192 R6 com dimNuc(T ) = dim Im(T );
(d) T : R4 \u2192 R3 com Nuc(T ) = \u3008(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)\u3009 e Im(T ) = \u3008(1, 1, 2), (2, 2, 4)\u3009.
Prob 4.8:Em cada item dê um exemplo de TL satisfazendo as condições dadas.
(a) T : R2 \u2192 R2 que leva (\u22121, 2) em (1, 0) e (1,\u22121) em (\u22121,\u22121);
(b) T : R4 \u2192 R3 tal que o núcleo é plano
{
x+ y + z = 0
z \u2212 w = 0 e a imagem \u3008(1,\u22121, 1), (1, 2, 3)\u3009;
130 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ
(c) T : R3 \u2192 R4 cujo núcleo seja dado pelas equações paramétricas
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x = s
y = t
z = t+ s
e a
imagem seja solução do sistema
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x = 0
y = 0
z \u2212 w = 0
.
Prob 4.9: Seja Pn o espaço dos polinômios de grau \u2264 n. Determine se é linear:
(a) L : P4 \u2192 P4 de\ufb01nida por (L(p))(x) = p(x+ 1);
(b) L : P2 \u2192 P2 de\ufb01nida por (L(p))(x) = p\u2032(x) + 1;
(c) L : P2 \u2192 P2 de\ufb01nida por (L(p))(x) = cx2 + ax+ b se p(x) = ax2 + bx+ c.
Prob 4.10: Seja W = {p \u2208 P3| p(0) = 0} e D : W \u2192 P3 de\ufb01nida por Dp = p\u2032. Mostre que
D é injetiva.
Prob 4.11: Seja D2 : C2(R;R) \u2192 C2(R;R) de\ufb01nida por D2f = f \u2032\u2032 (derivada segunda).
Calcule uma base para o núcleo de D2.
Prob 4.12:Resolva o sistemas
{
6x+ 3y = 9
4x+ 3y = 5
e
{
6x+ 3y = \u22123
4x+ 3y = 1
simultaneamente
colocando em forma totalmente escalonada a matriz
[
6 3 9 \u22123
4 3 5 1
]
.
Prob 4.13: Inverta as matrizes:
(a)
[
2 1
\u22121 0
]
; (b)
\uf8ee\uf8f0 1 \u22121 11 1 1
0 0 1
\uf8f9\uf8fb
.
Prob 4.14:Encontre a representação matricial e inverta (se for possível) a TL: T (x, y, z) =
(x+ z, x\u2212 z, y);
Prob 4.15:Considere a matriz A =
\uf8ee\uf8f0 1 0 01 3 0
1 3 5
\uf8f9\uf8fb
(a) Calcule A\u22121. (inversa)
(b) Determine u, v e w tais que: Au = e1, Av = e2, Aw = e3.
Prob 4.16:Determine a matriz inversa das matrizes formada por: blocos de zeros, matriz
identidade e A (que não precisa ser invertível).
(a)
[
0 I
I 0
]
; (b)
[
I A
0 I
]
;
Prob 4.17: Seja S =
[
0 I
B 0
]
uma matriz de blocos. Calcule S2.
Prob 4.18:Para números reais vale a chamada lei do corte: se ab = ac e a 6= 0 então b = c.
Para matrizes isto não é válido.
(a) tome A =
[
2 2
2 2
]
e determine B,C \u2208M2×2 tal que AB = AC e B 6= C;
(b) supondo que A é invertível, mostre que AB = AC implica B = C.
4.9.3 Extras
Ext 4.1:Dê exemplos de matrizes emM2×2 tais que:
(a) A2 = \u2212I; (b) B2 = 0, B 6= 0; (c) C2 = C, C 6= I; (d) C2 = I, C 6= I;
Ext 4.2:ConsidereW1,W2 subespaços das matrizes quadradas 4×4. SejaW1 o subespaço das
matrizes triangulares superiores e W2 as matrizes triangulares inferiores. Prove que W1 \u2229W2
é o subespaço das matrizes diagonais.
4.9. EXERCÍCIOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES 131
Ext 4.3:Considere V o espaço das matrizes diagonais 2× 2 e as bases
\u3b1 =
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
, \u3b2 =
{[
1 0
0 1
]
,
[
0 0
0 1
]}
. Determine [I]\u3b1\u2190\u3b2.
Ext 4.4: Seja R\u3b8 : R2 \u2192 R2 uma rotação em torno da origem com ângulo \u3b8 satisfazendo
0 \u2264 \u3b8 < 2pi.
(a) se \u3b8 6= 0 existe v \u2208 R2,v 6= 0 tal que R\u3b8v = v?
(b) se v \u2208 R2,v 6= 0, determine condições em \u3b8 para que v e R\u3b8v sejam linearmente
independentes.
Ext 4.5:Em R3 considere