livro-ALGLIN
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Disciplina:Álgebra Linear II693 materiais7.563 seguidores
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A uma rotação de 90o em torno do eixo x e B uma rotação de
90o em torno do eixo y e C uma rotação de 90o em torno do eixo z. Mostre que:
(a) A4 = B4 = C4 = I; (b) AB 6= BA; (c) A2B2 = B2A2.
Ext 4.6: Seja T : R7 → R10 linear. O maior valor possível para:
(a) dim(Nuc(T )) é ; (b) dim(Im(T )) é .

Ext 4.7:Determine dim(Im(T )) sabendo que:
(a) T : R4 → R7 e que Tv = w possui solução única para um determinado w;
(b) T : R6 → R5 com T sobrejetiva.
Ext 4.8:Determine dim(Nuc(T )) sabendo que:
(a) T : R6 → R8 com dim(Im(T )) = 3; (b) T : V → W com T injetiva;
Ext 4.9:Para cada uma das matrizes abaixo, determine uma base e dimensão do núcleo e da

imagem.

(a)


1 1 0
−1 0 1

0 0 0
1 0 −1

; (b)

−1 1 0
−2 1 −1

2 0 2
1 1 2

; (c)


0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0

.
Ext 4.10:Considere T1, T2 : R3 → R2 definidas por T1(x, y, z) = (x − y + z, 2x − y) e
T2(x, y, z) = (3x− 2y + z, x− z). Determine uma base para Nuc(T1) ∩ Nuc(T2).
Ext 4.11:Considere A =

[
2 h 7
4 5 7

]
. Determine TODOS os valores de h ∈ R tais que o
posto de A: (a) seja 1; (b) seja 2.

Ext 4.12:Mostre que a composição de duas TLs injetivas é uma TL injetiva.

Ext 4.13: Seja T : V → W linear. Prove que:
(a) T (0) = 0; (b) Nuc(T ) é subespaço vetorial; (c) Im(T ) é subespaço vetorial.
(d) se T é injetiva, T leva conjunto LI em conjunto LI.
(e) se T possui inversa, T leva base em base.

Ext 4.14:Determine se são lineares as seguintes operações no espaço P de todos os polinô-
mios em x:
(a) multiplicação por x; (b) multiplicação por x2; (c) derivada em relação a x.

Ext 4.15:Determine se T : Pn → Pn+1, definida por T (p)(x) = xp(x) (multiplica o po-
linômio por x, aumentando seu grau) é linear e injetiva. Por exemplo se p(x) = x2 + 1,
T (p)(x) = x3 + x.

Ext 4.16: Seja Pn o espaço dos polinômios de grau ≤ n. Determine se é linear:
(a) L : P2 → R definida por L(p) = (p(0) + p(1))/2.
(b) L : P5 → P5 definida por (L(p))(x) = p(x) + 2;
Ext 4.17: Sejam T, S : F(R;R)→ F(R;R) definida por T (f)(x) = 1 + f(x) e S(f)(x) =
f(x+ 1)
(a) T e S são lineares?

132 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ

(b) Determine, para as que são lineares, o núcleo e a imagem.

Ext 4.18: Seja T (f)(x) = f(2x+ 2). Mostre que S(f)(x) = f(x/2− 1) é a TL inversa.
Ext 4.19: Sabemos que se a, b ∈ R então ab = 0 implica que a = 0 ou b = 0. Vamos ver
que para TLs isto não é verdade.

(a) Considere projeções (ortogonais) Px no eixo x e Py no eixo y em R2. Prove que
embora nenhuma delas seja nula, PxPy = PyPx = 0;
(b) Considere Dxx o operador segunda derivada e Dxxx o operador terceira derivada.
Prove que em P4 (polinômios de grau máximo igual a 4) DxxDxxx = 0 embora nem Dxx
nem Dxxx sejam nulos.
Obs: em álgebra quando acontece de ST = 0 com S e T não-nulos dizemos que existe
um divisor de 0.

Ext 4.20: Inverta as matrizes: (a)

[
1 1
−1 1

]
; (b)

 1 0 10 1 1
1 1 0


.

Ext 4.21:Encontre a representação matricial e inverta (se for possível): T (x, y, x) = (z, y+
z, x+ y + z).

Ext 4.22:Considere A =

[
1 1
0 1

]
. Calcule An para qualquer n ∈ N.

Ext 4.23:Encontre uma P (não precisa calcular P−1) tal que: P−1
[

1 2
3 2

]
P =

[
4 0
0 −1

]
Ext 4.24:Verifique se é subespaço vetorial o subconjunto das matrizes quadradas:

(a) triangulares superiores; (b) diagonais; (c) simétricas;

Determine bases para os os subconjuntos acima que sejam subespaços quando a matriz é

2× 2 e 3× 3.
Ext 4.25:

(a) Encontre uma base deM2×3. Qual a dimensão deste espaço?
(b) De forma geral, determine base e dimensão deMm×n.
Ext 4.26:Considere T :Mm×n →Mn×m definida por T (A) = AT . Determine:
(a) Nuc(T ) e Im(T ). (b) se T é injetiva e se T é sobrejetiva.

Ext 4.27:Considere as matrizes A =

[
5 3
3 2

]
e B =

[
6 2
2 4

]
. Resolva a equação matricial

(i.e. determine a matriz X) AX + 2I = B.

Ext 4.28:

Definição 4.59 (matriz nilpotente) Dizemos que uma matriz quadrada N é nilpotente
de ordem k se existe k ∈ N tal que Nk = 0 e Nk−1 6= 0.

(a) Mostre que

[
0 1
0 0

]
é nilpotente;

(b) Mostre que

 0 1 00 0 1
0 0 0


é nilpotente. Qual valor de k?

(c) Seja D o operador de derivação em Pn (polinômios de grau menor ou igual n). Mostre
que D é nilpotente. Qual o valor de k?
(d) Mostre que se N é nilpotente de ordem k, então (I −N)−1 = I + N + N2 + N3 +

· · ·+Nk−1.

4.9. EXERCÍCIOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES 133

Ext 4.29: Suponha que A ∈Mn×n satisfaz Avi = λivi com vi ∈ Rn, λi ∈ R e i = 1, . . . , n.

Defina P =

 ↑v1
↓

↑
· · ·
↓

↑
vn
↓


e Σ uma matriz diagonal onde os elementos da diagonal são

λ1, . . . , λn. Mostre que AP = PΣ.

Coordenadas

Ext 4.30:Considere v = (4,−1,−1) e β = {(1,−1, 0), (0, 1,−1), (0, 0, 1)};
(a) escreva v como combinação linear dos vetores de β;
(b) determine [v]ε (base canônica);
(c) determine [v]β;

(d) sabendo que [w]β =

 2−3
2


; determine [w]ε.

Ext 4.31:Considere as bases do R2: β1 = {(−1, 1), (1, 1)} e β2 = {(0, 2), (1, 0)}. Se
[v]β1 = (2, 3) determine [v]β2 .

Ext 4.32: Se β = {w1,w2,w3,w4} é base do R4 e u = w4 + 2w3 + 3w2 + 4w1,

[u]β =


.
Ext 4.33:Determine se é verdadeiro ou falso: As coordenadas de um vetor são sempre as

mesmas, independente de base.

Ext 4.34:Considere v = (0, 5, 1). Determine [v]β (coordenadas de v com relação à base β),
onde β = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0,−1)}.
Ext 4.35:Considere a base β = {1 + x, 1− x, x2 + 1} de P2. Seja p(x) = 4 + x− x2.
(a) Determine [p]β (coordenadas de p com relação à base β).
(b) Prove que β é base de P2, o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2.
Ext 4.36:Considere β = {1, 1− x, x2 − 1}. Determine:
(a) [q]β onde q(x) = x

2 − x; (b) [p]β onde p(x) = x2 + x+ 1.
Ext 4.37:Considere as funções φ0, . . . , φ3 mostradas na Figura 3.1 da p.79. Defina β =
{φ0, . . . , φ3} (é base). Seja f : [0, 3]→ R a função representada no gráfico abaixo. Determine
[f ]β.

x

y

0

4

1

3

2

5

3

2

Mudança de Base

Ext 4.38:Considere as bases de R3: α = {v1,v2,v3} e β = {w1,w2,w3} comw1 = v1+v3,
w2 = v1 + v2 + v3 e w3 = v1 − v3. Determine a matriz mudança de base [I]α←β.

134 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ

Ext 4.39:Considere as bases de R3: α = {(1, 0,−1), (1, 2, 3), (1, 1, 1)}, β = {(3, 2, 1),
(4, 5, 6), (7, 8, 9)} ε = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} (base canônica).
(a) determine as matrizes mudança de base A = [I]ε←α e B = [I]ε←β;
(b) escreva equações matriciais que determinem, como função de A,B,A−1, B−1 (não
calcule A−1, B−1) as matrizes mudança de base [I]α←ε, [I]β←ε, [I]α←β, [I]β←α.

Ext 4.40:Considere a base α = {(1, 1, 1), (−1, 1, 1), (0,−1, 1)} de R3. Determine uma base

β tal que [I]α←β =

 1 0 02 −1 1
0 0 1


.

Ext 4.41:Considere as bases de R2: α = {(1, 0), (0, 2)} e β = {(1, 1), (2, 1)}. Calcule a
matriz mudança de base [I]β←α.

Ext 4.42:Considere as bases do P2: α = {1, x, x2} e β = {1 + x, 1− x, x2 + 1}. Determine
[I]α←β.

Ext 4.43: Seja D o operador derivada, isto é, Df = f ′ definida em Wi = 〈βi〉. Determine a
matriz [D]βi que representa D : Wi → Wi na base βi:
(a) β1 = {cosx, senx}; (b) β2 = {ex, e2x}; (c) β3 = {1, x, ex, xex};
Ext 4.44: Seja D2 o operador derivada segunda, isto é, D2f = f ′′ definida em Wi = 〈βi〉.
Determine a matriz [D2]βi que representa D

2 : Wi → Wi na base βi:
(a) β1 = {1, x, x2}; (b) β2 = {sen(x), sen(2x), sen(3x)}.
Ext 4.45:Considere T : P2 → P2, definida por T (p)(x) = p(x + 1). Seja ε = {1, x, x2}.
Calcule [T ]ε.

Ext 4.46:Considere as bases de R2: α = {(6, 11), (2, 4)} ε = {(1, 0), (0, 1)}.
(a) Calcule a matriz mudança de base [I]ε←α.
(b) Explique como determinar [I]α←ε usando (a). (Não faça as contas.)

(c) Verifique que [I]α←ε =
[

2 −1
−11/2 3

]
Ext 4.47: Seja β = {(1, 0, 0), (0, 1,−1), (1,−1, 0)}.
(a) Calcule [I]ε←β e [I]β←ε; (b) v = (0, 1, 0), calcule [v]β;

(c) [w]β =

