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B.7.4 Desa\ufb01os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Referências Bibliográ\ufb01cas 239
Índice Remissivo 240
Cap\u131´tulo 1
Introduc¸a\u2dco a` A´lgebra Linear
Este capítulo apresenta conceitos da Álgebra Linear que surgem da geometria analítica no
plano e espaço e da busca de solução de sistemas lineares:
(a) vetores e operações no Rn: soma e multiplicação por escalar (produto escalar-vetor);
(b) equação cartesiana e paramétrica da reta e do plano e suas generalizações;
(c) combinação linear, espaço gerado, independência linear, dimensão do espaço gerado;
(d) espaço gerado por 1, 2, 3 ou mais vetores, associando-os com pontos, retas, planos e
generalizações;
Estes conceitos serão reaplicados (no Capítulo 3 Espaço Vetorial) em contextos onde os
vetores poderão ser polinômios, funções, matrizes, ou elementos abstratos.
Embora sistemas lineares apareçam quando aplicamos estes conceitos, o curso de Álgebra
Linear é muito mais do que somente um curso de como resolver sistemas lineares. Caso
começássemos com a resolução de sistemas lineares \ufffd assunto que o aluno, com frequência,
pensa que domina \ufffd o aluno teria a sensação de que Álgebra Linear é um curso fácil, de
revisão e aprofundamento de técnicas para resolução de sistemas lineares.
1.1 Vetores do Rn e Operações
1.1.1 Vetores do Rn
De\ufb01nição 1.1 (vetor, entradas e o Rn) Um vetor do Rn é um uma lista ordenada de n
números reais. Dizemos que é uma n-upla de números reais.
A notação utilizada para representar um vetor é u = (a1, a2, . . . , an\u22121, an) com ai \u2208 R.
Os número ai's são chamados de entradas do vetor u.
O Rn é o conjunto de n-uplas de números reais.
Exemplo 1.1 São vetores de R2: (\u22126,\u22128), (1, 2).
São vetores de R4: (1, 2, 3, 4), (\u22122, 7/4,\u22121, 2/3).
São vetores de R5: (\u22121, 2, 4, 6, 8), (1, 2, 7/4,\u22121/3, 3).
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Versão 04.ago.2012 13h
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2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR
Observação 1.1 Como um vetor é uma lista ordenada de números, são distintos entre
si os vetores (\u22121, 2) e (\u22122, 1) e também (1, 2, 3), (2, 3, 1) e (3, 1, 2).
Observação 1.2 Porque Rn com n > 3?
Embora nossa (humana) percepção esteja restrita a três dimensões, em simulações compu-
tacionais de diversos modelos, por exemplo para estudar as forças atuantes na estrutura de
um prédio, dividimos o mesmo em \ufffdbloquinhos\ufffd no computador e associamos a cada blo-
quinho uma variável. Quanto maior o número de bloquinhos mais precisa será a simulação:
n pode ser tão grande quanto se queira. Leia também Observação 2.1 da p.28.
1.1.2 Operações com Vetores em Rn
De\ufb01nição 1.2 (Soma de vetores) Dados vetores u = (u1, u2, . . . , un) e v =
(v1, v2, . . . , vn), de\ufb01nimos o vetor soma de u e v, denotado por u + v, por
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn).
Exemplo 1.2 A soma dos vetores do R4 (1,\u22121, 1/4,\u22122/3) + (\u22122, 2, 3/4, 5/3) = (1 \u2212
2,\u22121 + 2, 1/4 + 3/4,\u22122/3 + 5/3) = (\u22121, 1, 1, 1).
Observação 1.3 Note que o sinal \ufffd+\ufffd (mais) em \ufffdu + v\ufffd e \ufffd(u1 + v1, . . . , un + vn)\ufffd
possui signi\ufb01cado distinto em cada expressão: soma de vetores, num caso, e de soma de
números reais (escalares) no outro.
De\ufb01nição 1.3 (origem ou vetor nulo) De\ufb01nimos como origem ou vetor nulo, denotado
por 0 o vetor 0 = (0, . . . , 0)(todas as entradas são nulas). Note que este vetor é o elemento
neutro da soma de vetores pois v + 0 = 0 + v = v para todo v.
De\ufb01nição 1.4 (multiplicação por escalar ou produto escalar-vetor) Dados o vetor
u = (u1, u2, . . . , un) e o escalar t \u2208 R, de\ufb01nimos o vetor multiplicação de t por u, denotado
por tu, por
tu = (tu1, tu2, . . . , tun).
Por contraste com vetores, um número real é chamado de escalar. Esta linguagem vem da
Física, que distingue grandezas vetoriais (forças por exemplo) de grandezas escalares (massa
e temperatura por exemplo).
Exemplo 1.3 Se u = (\u22121, 3, 1,\u22122, 3/2), então 2u = 2(\u22121, 3, 1,\u22122, 3/2)= (\u22122, 6, 2,\u22124, 3).
Considere w = (\u22124, 6, 1,\u22123). Então \u22121/2w = \u22121/2(\u22124, 6, 1,\u22123) = (2,\u22123,\u22121/2, 3/2).
Observação 1.4 Dizemos que o Rn munido das operações de soma de vetores (Def. 1.2)
e produto por um escalar (Def. 1.4) é um espaço vetorial sobre R.
De forma análoga de\ufb01nimos o espaço vetorial Cn.
1.1. VETORES DO RN E OPERAÇÕES 3
De\ufb01nição 1.5 (múltiplo ou paralelo) Dizemos que v é múltiplo de (ou paralelo a) w
se existe um escalar t tal que v = tw.
Exemplo 1.4 São paralelos entre si: (\u22122, 4,\u22126, 1) e (1,\u22122, 3,\u22121/2) pois (\u22122, 4,\u22126, 1) =
\u22122(1,\u22122, 3,\u22121/2) e (1,\u22122, 3,\u22121/2) = \u22121/2(\u22122, 4,\u22126, 1).
Exemplo 1.5 O vetor 0 é múltiplo de qualquer outro pois 0 = 0w para qualquer w.
1.1.3 Representação Geométrica de Vetores e Operações
Começamos identi\ufb01cando, da maneira usual, um plano com R2 e o espaço com R3 utilizando
o sistema de coordenadas cartesiana, com eixos ortogonais entre si.
Um vetor (a, b) \u2208 R2 pode ser representado geometricamente por um segmento de reta
orientado que une (0, 0) com (a, b). Para indicar a orientação do segmento utilizamos uma
\ufffdsetinha\ufffd (daqui por diante sem aspas e utilizado como sinônimo de segmento orientado).
Podemos fazer o mesmo com vetores em R3. Mostramos na Figura 1.1 os vetores (3, 2) \u2208 R2
e (1, 3, 2) \u2208 R3.
(3, 2)
3
2
3
2 (1, 3, 2)
1
Figura 1.1: Vetores no Plano e no Espaço
Além de representar o vetor como uma setinha partindo da origem (0, 0), pode-se representá-
lo transladando a setinha e partindo de um ponto qualquer (c, d) \u2208 R2.
De\ufb01nição 1.6 (setinha e vetor) A setinha que começa em (c, d) e termina em (c+a, d+
b) representa o mesmo vetor (a, b) \u2208 R2 para quaisquer c, d \u2208 R. A setinha que começa em
(d, e, f) e termina em (d + a, e + b, f + c) representa o mesmo vetor (a, b, c) \u2208 R3 para
quaisquer d, e, f \u2208 R.
Por esta de\ufb01nição o mesmo vetor possui uma in\ufb01nidade de representações. Duas setinhas
representam o mesmo vetor se quando deslocarmos paralelamente uma delas para que seus
pontos iniciais coincidam, o ponto \ufb01nal delas também coincide. Por exemplo, todas as setinhas
representadas na Figura 1.2 representam o mesmo vetor (3, 2) \u2208 R2.
3
2
(3, 2)
Figura 1.2: Representações do vetor v = (3, 2)
4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR
A representação geométrica
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é importante em aplicações (Física por exemplo) e para
desenvolver a intuição para espaços de dimensões maiores.
Podemos interpretar geometricamente, utilizando esta representação por setinhas, a soma
de dois vetores no plano e no espaço. Considere a Figura 1.3, no lado esquerdo, onde dois
vetores são representados com suas componentes no eixo-x e y. Pela regra do triângulo
Figura 1.3: Regra do Triângulo e do Paralelogramo
representamos o primeiro vetor com ponto inicial na origem e o segundo com ponto inicial
na ponta da seta do primeiro. O vetor resultante unindo a origem até a ponta da seta do
segundo é o vetor soma. Pela regra do paralelogramo, aplicamos a regra do triângulo aos
dois vetores, conforme apresentado nesta mesma \ufb01gura.
Observação 1.5 Podemos, numa abordagem geométrica, de\ufb01nir a soma de vetores pela
regra do paralelogramo ou triângulo. Fazer isto em dimensão maior que três não é
intuitivo. Em contraste, a De\ufb01nição 1.2 da p.2, feita de forma algébrica, não depende
de visualização geométrica e é muito simples. Convidamos o leitor a veri\ufb01car que estas
de\ufb01nições são equivalentes.
Exemplo 1.6 Podemos aplicar a regra do triângulo em sequência para obter a soma de mais
de dois vetores. Por exemplo considere os quatro vetores representados no lado esquerdo da
Figura 1.4. Concatenando de forma sucessiva os vetores obtemos sua soma conforme indicado
na mesma \ufb01gura no lado direito.
u
vw
z
u
v
w
z
u + v + w + z
Figura 1.4: Soma de 4 vetores
A interpretação geométrica do produto escalar-vetor depende do módulo e do sinal do
escalar. Começando por valores positivos inteiros, observe que multiplicando