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Disciplina:Álgebra Linear II693 materiais7.563 seguidores
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B.7.4 Desafios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Referências Bibliográficas 239

Índice Remissivo 240

Capı´tulo 1

Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear

Este capítulo apresenta conceitos da Álgebra Linear que surgem da geometria analítica no

plano e espaço e da busca de solução de sistemas lineares:

(a) vetores e operações no Rn: soma e multiplicação por escalar (produto escalar-vetor);

(b) equação cartesiana e paramétrica da reta e do plano e suas generalizações;

(c) combinação linear, espaço gerado, independência linear, dimensão do espaço gerado;

(d) espaço gerado por 1, 2, 3 ou mais vetores, associando-os com pontos, retas, planos e

generalizações;

Estes conceitos serão reaplicados (no Capítulo 3 Espaço Vetorial) em contextos onde os

vetores poderão ser polinômios, funções, matrizes, ou elementos abstratos.

Embora sistemas lineares apareçam quando aplicamos estes conceitos, o curso de Álgebra

Linear é muito mais do que somente um curso de como resolver sistemas lineares. Caso

começássemos com a resolução de sistemas lineares � assunto que o aluno, com frequência,

pensa que domina � o aluno teria a sensação de que Álgebra Linear é um curso fácil, de

revisão e aprofundamento de técnicas para resolução de sistemas lineares.

1.1 Vetores do Rn e Operações

1.1.1 Vetores do Rn

Definição 1.1 (vetor, entradas e o Rn) Um vetor do Rn é um uma lista ordenada de n
números reais. Dizemos que é uma n-upla de números reais.
A notação utilizada para representar um vetor é u = (a1, a2, . . . , an−1, an) com ai ∈ R.
Os número ai's são chamados de entradas do vetor u.
O Rn é o conjunto de n-uplas de números reais.

Exemplo 1.1 São vetores de R2: (−6,−8), (1, 2).
São vetores de R4: (1, 2, 3, 4), (−2, 7/4,−1, 2/3).
São vetores de R5: (−1, 2, 4, 6, 8), (1, 2, 7/4,−1/3, 3).
1

Versão 04.ago.2012 13h

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2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR

Observação 1.1 Como um vetor é uma lista ordenada de números, são distintos entre

si os vetores (−1, 2) e (−2, 1) e também (1, 2, 3), (2, 3, 1) e (3, 1, 2).

Observação 1.2 Porque Rn com n > 3?
Embora nossa (humana) percepção esteja restrita a três dimensões, em simulações compu-

tacionais de diversos modelos, por exemplo para estudar as forças atuantes na estrutura de

um prédio, dividimos o mesmo em �bloquinhos� no computador e associamos a cada blo-

quinho uma variável. Quanto maior o número de bloquinhos mais precisa será a simulação:

n pode ser tão grande quanto se queira. Leia também Observação 2.1 da p.28.

1.1.2 Operações com Vetores em Rn

Definição 1.2 (Soma de vetores) Dados vetores u = (u1, u2, . . . , un) e v =
(v1, v2, . . . , vn), definimos o vetor soma de u e v, denotado por u + v, por

u + v = (u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn).

Exemplo 1.2 A soma dos vetores do R4 (1,−1, 1/4,−2/3) + (−2, 2, 3/4, 5/3) = (1 −
2,−1 + 2, 1/4 + 3/4,−2/3 + 5/3) = (−1, 1, 1, 1).

Observação 1.3 Note que o sinal �+� (mais) em �u + v� e �(u1 + v1, . . . , un + vn)�
possui significado distinto em cada expressão: soma de vetores, num caso, e de soma de

números reais (escalares) no outro.

Definição 1.3 (origem ou vetor nulo) Definimos como origem ou vetor nulo, denotado

por 0 o vetor 0 = (0, . . . , 0)(todas as entradas são nulas). Note que este vetor é o elemento
neutro da soma de vetores pois v + 0 = 0 + v = v para todo v.

Definição 1.4 (multiplicação por escalar ou produto escalar-vetor) Dados o vetor

u = (u1, u2, . . . , un) e o escalar t ∈ R, definimos o vetor multiplicação de t por u, denotado
por tu, por

tu = (tu1, tu2, . . . , tun).

Por contraste com vetores, um número real é chamado de escalar. Esta linguagem vem da

Física, que distingue grandezas vetoriais (forças por exemplo) de grandezas escalares (massa

e temperatura por exemplo).

Exemplo 1.3 Se u = (−1, 3, 1,−2, 3/2), então 2u = 2(−1, 3, 1,−2, 3/2)= (−2, 6, 2,−4, 3).
Considere w = (−4, 6, 1,−3). Então −1/2w = −1/2(−4, 6, 1,−3) = (2,−3,−1/2, 3/2).

Observação 1.4 Dizemos que o Rn munido das operações de soma de vetores (Def. 1.2)
e produto por um escalar (Def. 1.4) é um espaço vetorial sobre R.
De forma análoga definimos o espaço vetorial Cn.

1.1. VETORES DO RN E OPERAÇÕES 3

Definição 1.5 (múltiplo ou paralelo) Dizemos que v é múltiplo de (ou paralelo a) w
se existe um escalar t tal que v = tw.

Exemplo 1.4 São paralelos entre si: (−2, 4,−6, 1) e (1,−2, 3,−1/2) pois (−2, 4,−6, 1) =
−2(1,−2, 3,−1/2) e (1,−2, 3,−1/2) = −1/2(−2, 4,−6, 1).

Exemplo 1.5 O vetor 0 é múltiplo de qualquer outro pois 0 = 0w para qualquer w.

1.1.3 Representação Geométrica de Vetores e Operações

Começamos identificando, da maneira usual, um plano com R2 e o espaço com R3 utilizando
o sistema de coordenadas cartesiana, com eixos ortogonais entre si.

Um vetor (a, b) ∈ R2 pode ser representado geometricamente por um segmento de reta
orientado que une (0, 0) com (a, b). Para indicar a orientação do segmento utilizamos uma
�setinha� (daqui por diante sem aspas e utilizado como sinônimo de segmento orientado).

Podemos fazer o mesmo com vetores em R3. Mostramos na Figura 1.1 os vetores (3, 2) ∈ R2
e (1, 3, 2) ∈ R3.

(3, 2)

3

2

3

2 (1, 3, 2)

1

Figura 1.1: Vetores no Plano e no Espaço

Além de representar o vetor como uma setinha partindo da origem (0, 0), pode-se representá-
lo transladando a setinha e partindo de um ponto qualquer (c, d) ∈ R2.

Definição 1.6 (setinha e vetor) A setinha que começa em (c, d) e termina em (c+a, d+
b) representa o mesmo vetor (a, b) ∈ R2 para quaisquer c, d ∈ R. A setinha que começa em
(d, e, f) e termina em (d + a, e + b, f + c) representa o mesmo vetor (a, b, c) ∈ R3 para
quaisquer d, e, f ∈ R.

Por esta definição o mesmo vetor possui uma infinidade de representações. Duas setinhas

representam o mesmo vetor se quando deslocarmos paralelamente uma delas para que seus

pontos iniciais coincidam, o ponto final delas também coincide. Por exemplo, todas as setinhas

representadas na Figura 1.2 representam o mesmo vetor (3, 2) ∈ R2.

3

2
(3, 2)

Figura 1.2: Representações do vetor v = (3, 2)

4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR

A representação geométrica

1

é importante em aplicações (Física por exemplo) e para

desenvolver a intuição para espaços de dimensões maiores.

Podemos interpretar geometricamente, utilizando esta representação por setinhas, a soma

de dois vetores no plano e no espaço. Considere a Figura 1.3, no lado esquerdo, onde dois

vetores são representados com suas componentes no eixo-x e y. Pela regra do triângulo

Figura 1.3: Regra do Triângulo e do Paralelogramo

representamos o primeiro vetor com ponto inicial na origem e o segundo com ponto inicial

na ponta da seta do primeiro. O vetor resultante unindo a origem até a ponta da seta do

segundo é o vetor soma. Pela regra do paralelogramo, aplicamos a regra do triângulo aos

dois vetores, conforme apresentado nesta mesma figura.

Observação 1.5 Podemos, numa abordagem geométrica, definir a soma de vetores pela

regra do paralelogramo ou triângulo. Fazer isto em dimensão maior que três não é

intuitivo. Em contraste, a Definição 1.2 da p.2, feita de forma algébrica, não depende

de visualização geométrica e é muito simples. Convidamos o leitor a verificar que estas

definições são equivalentes.

Exemplo 1.6 Podemos aplicar a regra do triângulo em sequência para obter a soma de mais

de dois vetores. Por exemplo considere os quatro vetores representados no lado esquerdo da

Figura 1.4. Concatenando de forma sucessiva os vetores obtemos sua soma conforme indicado

na mesma figura no lado direito.

u

vw

z

u
v

w

z

u + v + w + z

Figura 1.4: Soma de 4 vetores

A interpretação geométrica do produto escalar-vetor depende do módulo e do sinal do

escalar. Começando por valores positivos inteiros, observe que multiplicando