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DisciplinaÁlgebra Linear II915 materiais8.025 seguidores
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\uf8f9\uf8fb
determine [w]\u3b5; (d) T (x, y, z) = (x\u2212z,\u2212z, y+2z), determine [T ]\u3b2.
Dica: [T ]\u3b2 = [I]\u3b2\u2190\u3b5[T ]\u3b5[I]\u3b5\u2190\u3b2
Ext 4.48: Considere T : R2 \u2192 R2 dada na base canônica por
[
2 1
0 \u22121
]
.
(a) Ache u e v não-nulos tais que Tu = 2u e Tv = \u2212v;
(b) prove que \u3b2 = {u,v} é base de R2;
(c) determine [T ]\u3b2\u2190\u3b2. Note que nesta base a matriz que representa é mais simples
(diagonal).
Ext 4.49:Considere três bases distintas \u3b21, \u3b22, \u3b23 de um espaço vetorial de dimensão \ufb01nita.
(a) determine [I]\u3b21\u2190\u3b21 ;
(b) de\ufb01na A = [I]\u3b21\u2190\u3b22 , B = [I]\u3b22\u2190\u3b23 , C = [I]\u3b23\u2190\u3b21 . Determine ABC.
Ext 4.50:Considere V = P1, o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 1 e as bases
\u3b1 = {1\u2212 x, 2x} \u3b2 = {1 + x, x}. Determine [I]\u3b1\u2190\u3b2.
Ext 4.51:Considere W = \u3008ex, xex, x2ex\u3009. Determine a matriz que representa D : W \u2192 W
com Df = f \u2032 nesta base.
4.9. EXERCÍCIOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES 135
Ext 4.52:Considere a base \u3b21 = {1, x} de P1 e a base \u3b22 = {1, x, x2} de P2. Considere
S : P1 \u2192 P2, de\ufb01nida por S(p)(x) = xp(x). Assim, por exemplo se p(x) = x + 1,
S(p)(x) = x2 + x. Determine [S]\u3b22\u2190\u3b21 .
4.9.4 Desa\ufb01os
Des 4.1: Seja T : V \u2192 V uma TL. Mostre que:
(a) Nuc(T ) \u2283 Im(T ) se, e somente se, T 2 = 0;
(b) Nuc(T ) \u2282 Nuc(T 2) \u2282 Nuc(T 3) · · ·.
(c) Im(T ) \u2283 Im(T 2) \u2283 Im(T 3) · · ·.
Des 4.2: Seja T : V \u2192 V linear com V de dimensão \ufb01nita. Suponha que dim ImT =
dim Im(T 2). Prove que NucT \u2229 ImT = {0}.
Des 4.3:Considere T : V \u2192 W linear, X \u2282 V e U \u2282 W subespaços vetoriais.
(a) De\ufb01na T (X) = {T (v) \u2208 W | v \u2208 X} (imagem direta de X por T ). Mostre que T (X)
é um subespaço vetorial de W .
(b) De\ufb01na T\u22121(U) = {v \u2208 V | T (v) \u2208 U} (imagem inversa de U por T ). Mostre que
T\u22121(U) é um subespaço vetorial de V .
Des 4.4:No espaço de todos os polinômios em x (que é um espaço de dimensão in\ufb01nita)
considere D o operador derivação com relação a x e S o operador multiplicação por x.
(a) Mostre que DS \u2212 SD = I;
(b) Utilize propriedades do traço (soma dos elementos da diagonal de uma matriz qua-
drada) para mostrar que em dimensão \ufb01nita não existem transformações lineares A,B tais
que AB \u2212BA = I.
Des 4.5: (desigualdade de Sylvester) Sejam T, S : V \u2192 V com dim(V ) = n, rT =
dim Im(T ) , rS = dim Im(S), rST = dim Im(ST ). Prove que
rS + rT \u2212 n \u2264 rST \u2264 min(rS, rT ).
Des 4.6: Suponha que B é a inversa de A2. Mostre que A é invertível e determine A\u22121 em
termos de A e B.
Des 4.7:Considere T : V \u2192 V linear e A uma matriz quadrada \ufb01xa. Se [T ]\u3b2 = A para
qualquer base \u3b2 de V então T = \u3bbI para algum \u3bb \u2208 R (a transformação é um múltiplo da
identidade).
Des 4.8: Seja Jn uma matriz quadrada n×n em que todas as entradas são iguais a 1. Mostre
que (I \u2212 Jn)\u22121 = I \u2212 1n\u22121Jn.
Des 4.9:Prove que se A é invertível então A+B é invertível se, e somente se, I +BA\u22121 é
invertível.
Des 4.10:Fixe B \u2208 Mn×n e de\ufb01na T, S : Mn×n \u2192 Mn×n por T (A) = AB \u2212 BA e
S(A) = BA para todo A \u2208Mn×n. Mostre que:
(a) Nuc(T ) é não-trivial. Conclua que T não é invertível;
(b) Nuc(S) = {0} se, e somente se, B possui inversa.
Des 4.11:Determine uma base (e dimensão) de
(a) L(R2;R); (b) L(R2;R2).
Des 4.12: (a) Considere T : R2 \u2192 R2. Prove que existem a0, a1, a2, a3, a4 \u2208 R que não
sejam todos nulos tais que a0I + a1T + a2T
2 + a3T
3 + a4T
4 = 0.
Dica: dimL(R2;R2) = 4, o conjunto {I, T, T 2, T 3, T 4} é LI?.
136 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ
(b) Considere T : Rn \u2192 Rn. Prove que existe um polinômio p(x) não-degenerado de grau
n2 tal que p(T ) = 0.
Obs: De\ufb01nimos p(T ) da seguinte forma. Se p(x) = a0 +a1x+ · · ·+anxk, de\ufb01nimos p(T )
como a matriz a0I + aT + · · ·+ anT k.
Dica: Generalização de (a).
Des 4.13:Dado um espaço vetorial V , denotamos por V \u2217 o conjunto L(V ;R) das trans-
formações lineares de V em R. Chamamos os elementos de V \u2217 como formas lineares ou
funcionais lineares em V . Já sabemos que este é um espaço vetorial pois V e R são espaços
vetoriais. Suponha que v1,v2, . . . ,vn é base de V . Prove que:
(a) T1, . . . , Tn \u2208 L(V ;R) de\ufb01nida por Ti(vj) = \u3b4ij é base de V \u2217. O símbolo \u3b4ij é
conhecido como delta de Kronecker e vale 1 se i = j e 0 se i 6= j.
(b) dim(V ) = dim(V \u2217). Dica: Use (a).
Des 4.14: Considere U e V espaços de dimensão \ufb01nita. Determine base e dimensão de
L(U ;V ).
Cap\u131´tulo 5
Produto Interno
Começamos este capítulo de\ufb01nindo comprimento de vetores no R2 e R3, obtido pelo Teorema
de Pitágoras, e sua relação com o produto escalar (ou interno). Depois generalizamos para o
Rn de\ufb01nindo o produto interno, que permite de\ufb01nir comprimento, distância e ortogonalidade
(de forma mais geral ângulo) entre vetores.
Com o conceito de complemento ortogonal, de\ufb01nimos a projeção ortogonal em subespa-
ços vetoriais. Exploramos a relação entre vetor mais próximo de um subespaço vetorial e
ortogonalidade, ideia chave deste capítulo.
São aplicações importantes:
\u2022 resolver problema de mínimos quadrados, a \ufffdmelhor\ufffd solução aproximada de um sistema
linear sem solução;
\u2022 determinar projeções em retas, planos e, de forma mais geral, em subespaços vetoriais
de dimensão qualquer no Rn;
\u2022 aproximar funções por polinômios ou funções simples.
5.1 Produto Interno em Rn
Em R2, de\ufb01ne-se o comprimento (também chamado de norma) de um vetor v = (x, y) por
\u2016v\u2016 = \u221ax2 + y2 e, em R3, o de v = (x, y, z) por \u2016v\u2016 = \u221ax2 + y2 + z2. Conforme indicado
na Figura 5.1, o comprimento em R2 decorre de uma aplicação do Teorema de Pitágoras e
em R3 de duas aplicações pois
\u221a
(
\u221a
x2 + y2)2 + z2 =
\u221a
x2 + y2 + z2. Se w = (a, b), a
distância entre v e w é dada (basta aplicar Pitágoras) por d(v,w) =
\u221a
(x\u2212 a)2 + (y \u2212 b)2.
De\ufb01nindo-se o produto interno de R2 por \u3008v,w\u3009 = ax + by e em R3 por \u3008v,w\u3009 =
ax + by + cz, temos \u2016v\u2016 =
\u221a
\u3008v,v\u3009 e d(v,w) = \u2016v \u2212 w\u2016 (con\ufb01ra!). Comprimento
(norma), distância e produto interno são generalizados para o Rn nas de\ufb01nições abaixo.
De\ufb01nição 5.1 (produto interno no Rn) Dados v = (v1, . . . , vn),w = (w1, . . . , wn) \u2208
Rn, de\ufb01ne-se o produto interno2 de v e w por \u3008v,w\u3009 =
n\u2211
i=1
viwi. Outra notação utilizada
é u · v = \u3008v,w\u3009.
1
Versão 07.ago.2012 12h
137
138 CAPÍTULO 5. PRODUTO INTERNO
0
\u221a
x2 + y2
v = (x, y)
x
y
0
\u221a
(
\u221a
x2 + y2)2 + z2
v = (x, y, z)
0
\u221a
x2 + y2
x
y
z
Figura 5.1: Comprimento em R2ou 3
Lema 5.2 (propriedades do produto interno) Considere u,v,w \u2208 Rn. O produto in-
terno satisfaz as seguintes propriedades:
(a) simetria: \u3008u,v\u3009 = \u3008v,u\u3009 ;
(b) linearidade: \u3008\u3b1u + v,w\u3009 = \u3b1 \u3008u,w\u3009+ \u3008v,w\u3009 para todo \u3b1 \u2208 R;
(c) positividade: \u3008u,u\u3009 > 0 para todo u 6= 0.
Prova: Deixamos para o leitor.
De\ufb01nição 5.3 (norma) De\ufb01nimos a norma (ou comprimento) de v por \u2016v\u2016 = \u221a\u3008v,v\u3009.
De\ufb01nição 5.4 (distância) De\ufb01nimos a distância entre dois vetores u e v por d(u,v) =
\u2016u\u2212 v\u2016.
Observação 5.1 São propriedades fáceis de serem veri\ufb01cadas (faça isso!) da norma e da
distância:
\u2022 \u20160\u2016 = 0 (vetor nulo tem norma zero),
\u2022 \u2016v\u2016 = 0 se, e somente se, v = 0 (o único vetor com norma zero é o vetor zero),
\u2022 \u2016\u3b1v\u2016 = |\u3b1|\u2016v\u2016 para todo \u3b1 \u2208 R (vetor multiplicado por escalar tem norma modi\ufb01-
cada por módulo do escalar),
\u2022 d(u,v) = 0 se, e somente se u = v,
\u2022 d(u,v) \u2265 0,
\u2022 d(v,0) = \u2016v\u2016.
2
Note que usamos o mesmo símbolo para espaço gerado e produto interno: \u3008v,w\u3009. Neste capítulo o
espaço gerado será representado por span {v,w} para evitar este con\ufb02ito de notação.
5.1. PRODUTO INTERNO EM RN 139
Exemplo 5.1 Considere v = (1, 2, 3, 4, 0),w = (\u22121, 2, \u22123, 4, \u22125). Calcule \u2016v\u2016, \u3008v,w\u3009
e d(v,w).
Solução: \u2016v\u20162 = 12 + 22 + 32 + 42 + 02 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30. Logo, \u2016v\u2016 = \u221a30.
\u3008v,w\u3009 = (1)(\u22121) + (2)(2) + (3)(\u22123) + (4)(4) + (0)(\u22125) = \u22121 + 4\u2212 9 + 16 + 0 = 10.
d(v,w) =
\u221a
(1\u2212 (\u22121))2 + (2\u2212 2)2 + (3\u2212 (\u22123))2 + (4\u2212 4)2 + (0\u2212 (\u22125))2 = \u221a65.
De\ufb01nição 5.5 (vetor unitário e normalização) Diz-se que v\u302 é unitário se \u2016v\u302\u2016 = 1
(acento circun\ufb02exo é utilizado para indicar que um vetor é unitário). Dado v 6= 0, pode-
se veri\ufb01car que v\u302 = 1\u2016v\u2016v é unitário e tem a mesma direção