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
determine [w]ε; (d) T (x, y, z) = (x−z,−z, y+2z), determine [T ]β.

Dica: [T ]β = [I]β←ε[T ]ε[I]ε←β

Ext 4.48: Considere T : R2 → R2 dada na base canônica por
[

2 1
0 −1

]
.

(a) Ache u e v não-nulos tais que Tu = 2u e Tv = −v;
(b) prove que β = {u,v} é base de R2;
(c) determine [T ]β←β. Note que nesta base a matriz que representa é mais simples
(diagonal).

Ext 4.49:Considere três bases distintas β1, β2, β3 de um espaço vetorial de dimensão finita.
(a) determine [I]β1←β1 ;
(b) defina A = [I]β1←β2 , B = [I]β2←β3 , C = [I]β3←β1 . Determine ABC.

Ext 4.50:Considere V = P1, o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 1 e as bases
α = {1− x, 2x} β = {1 + x, x}. Determine [I]α←β.
Ext 4.51:Considere W = 〈ex, xex, x2ex〉. Determine a matriz que representa D : W → W
com Df = f ′ nesta base.

4.9. EXERCÍCIOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES 135

Ext 4.52:Considere a base β1 = {1, x} de P1 e a base β2 = {1, x, x2} de P2. Considere
S : P1 → P2, definida por S(p)(x) = xp(x). Assim, por exemplo se p(x) = x + 1,
S(p)(x) = x2 + x. Determine [S]β2←β1 .

4.9.4 Desafios

Des 4.1: Seja T : V → V uma TL. Mostre que:
(a) Nuc(T ) ⊃ Im(T ) se, e somente se, T 2 = 0;
(b) Nuc(T ) ⊂ Nuc(T 2) ⊂ Nuc(T 3) · · ·.
(c) Im(T ) ⊃ Im(T 2) ⊃ Im(T 3) · · ·.
Des 4.2: Seja T : V → V linear com V de dimensão finita. Suponha que dim ImT =
dim Im(T 2). Prove que NucT ∩ ImT = {0}.
Des 4.3:Considere T : V → W linear, X ⊂ V e U ⊂ W subespaços vetoriais.
(a) Defina T (X) = {T (v) ∈ W | v ∈ X} (imagem direta de X por T ). Mostre que T (X)
é um subespaço vetorial de W .
(b) Defina T−1(U) = {v ∈ V | T (v) ∈ U} (imagem inversa de U por T ). Mostre que

T−1(U) é um subespaço vetorial de V .

Des 4.4:No espaço de todos os polinômios em x (que é um espaço de dimensão infinita)
considere D o operador derivação com relação a x e S o operador multiplicação por x.
(a) Mostre que DS − SD = I;
(b) Utilize propriedades do traço (soma dos elementos da diagonal de uma matriz qua-

drada) para mostrar que em dimensão finita não existem transformações lineares A,B tais
que AB −BA = I.
Des 4.5: (desigualdade de Sylvester) Sejam T, S : V → V com dim(V ) = n, rT =
dim Im(T ) , rS = dim Im(S), rST = dim Im(ST ). Prove que

rS + rT − n ≤ rST ≤ min(rS, rT ).

Des 4.6: Suponha que B é a inversa de A2. Mostre que A é invertível e determine A−1 em
termos de A e B.

Des 4.7:Considere T : V → V linear e A uma matriz quadrada fixa. Se [T ]β = A para
qualquer base β de V então T = λI para algum λ ∈ R (a transformação é um múltiplo da
identidade).

Des 4.8: Seja Jn uma matriz quadrada n×n em que todas as entradas são iguais a 1. Mostre
que (I − Jn)−1 = I − 1n−1Jn.
Des 4.9:Prove que se A é invertível então A+B é invertível se, e somente se, I +BA−1 é
invertível.

Des 4.10:Fixe B ∈ Mn×n e defina T, S : Mn×n → Mn×n por T (A) = AB − BA e
S(A) = BA para todo A ∈Mn×n. Mostre que:
(a) Nuc(T ) é não-trivial. Conclua que T não é invertível;
(b) Nuc(S) = {0} se, e somente se, B possui inversa.
Des 4.11:Determine uma base (e dimensão) de

(a) L(R2;R); (b) L(R2;R2).
Des 4.12: (a) Considere T : R2 → R2. Prove que existem a0, a1, a2, a3, a4 ∈ R que não
sejam todos nulos tais que a0I + a1T + a2T

2 + a3T
3 + a4T

4 = 0.
Dica: dimL(R2;R2) = 4, o conjunto {I, T, T 2, T 3, T 4} é LI?.

136 CAPÍTULO 4. TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ

(b) Considere T : Rn → Rn. Prove que existe um polinômio p(x) não-degenerado de grau
n2 tal que p(T ) = 0.
Obs: Definimos p(T ) da seguinte forma. Se p(x) = a0 +a1x+ · · ·+anxk, definimos p(T )
como a matriz a0I + aT + · · ·+ anT k.
Dica: Generalização de (a).

Des 4.13:Dado um espaço vetorial V , denotamos por V ∗ o conjunto L(V ;R) das trans-
formações lineares de V em R. Chamamos os elementos de V ∗ como formas lineares ou
funcionais lineares em V . Já sabemos que este é um espaço vetorial pois V e R são espaços
vetoriais. Suponha que v1,v2, . . . ,vn é base de V . Prove que:
(a) T1, . . . , Tn ∈ L(V ;R) definida por Ti(vj) = δij é base de V ∗. O símbolo δij é
conhecido como delta de Kronecker e vale 1 se i = j e 0 se i 6= j.
(b) dim(V ) = dim(V ∗). Dica: Use (a).

Des 4.14: Considere U e V espaços de dimensão finita. Determine base e dimensão de
L(U ;V ).

Capı´tulo 5
Produto Interno
Começamos este capítulo definindo comprimento de vetores no R2 e R3, obtido pelo Teorema
de Pitágoras, e sua relação com o produto escalar (ou interno). Depois generalizamos para o

Rn definindo o produto interno, que permite definir comprimento, distância e ortogonalidade
(de forma mais geral ângulo) entre vetores.

Com o conceito de complemento ortogonal, definimos a projeção ortogonal em subespa-

ços vetoriais. Exploramos a relação entre vetor mais próximo de um subespaço vetorial e

ortogonalidade, ideia chave deste capítulo.

São aplicações importantes:

• resolver problema de mínimos quadrados, a �melhor� solução aproximada de um sistema
linear sem solução;

• determinar projeções em retas, planos e, de forma mais geral, em subespaços vetoriais
de dimensão qualquer no Rn;

• aproximar funções por polinômios ou funções simples.

5.1 Produto Interno em Rn

Em R2, define-se o comprimento (também chamado de norma) de um vetor v = (x, y) por
‖v‖ = √x2 + y2 e, em R3, o de v = (x, y, z) por ‖v‖ = √x2 + y2 + z2. Conforme indicado
na Figura 5.1, o comprimento em R2 decorre de uma aplicação do Teorema de Pitágoras e
em R3 de duas aplicações pois

√
(
√
x2 + y2)2 + z2 =

√
x2 + y2 + z2. Se w = (a, b), a

distância entre v e w é dada (basta aplicar Pitágoras) por d(v,w) =
√

(x− a)2 + (y − b)2.

Definindo-se o produto interno de R2 por 〈v,w〉 = ax + by e em R3 por 〈v,w〉 =
ax + by + cz, temos ‖v‖ =

√
〈v,v〉 e d(v,w) = ‖v − w‖ (confira!). Comprimento
(norma), distância e produto interno são generalizados para o Rn nas definições abaixo.

Definição 5.1 (produto interno no Rn) Dados v = (v1, . . . , vn),w = (w1, . . . , wn) ∈
Rn, define-se o produto interno2 de v e w por 〈v,w〉 =

n∑
i=1

viwi. Outra notação utilizada

é u · v = 〈v,w〉.
1

Versão 07.ago.2012 12h

137

138 CAPÍTULO 5. PRODUTO INTERNO

0

√
x2 + y2

v = (x, y)

x

y

0

√
(
√
x2 + y2)2 + z2

v = (x, y, z)

0

√
x2 + y2

x

y

z

Figura 5.1: Comprimento em R2ou 3

Lema 5.2 (propriedades do produto interno) Considere u,v,w ∈ Rn. O produto in-
terno satisfaz as seguintes propriedades:

(a) simetria: 〈u,v〉 = 〈v,u〉 ;
(b) linearidade: 〈αu + v,w〉 = α 〈u,w〉+ 〈v,w〉 para todo α ∈ R;
(c) positividade: 〈u,u〉 > 0 para todo u 6= 0.

Prova: Deixamos para o leitor.

Definição 5.3 (norma) Definimos a norma (ou comprimento) de v por ‖v‖ = √〈v,v〉.
Definição 5.4 (distância) Definimos a distância entre dois vetores u e v por d(u,v) =
‖u− v‖.

Observação 5.1 São propriedades fáceis de serem verificadas (faça isso!) da norma e da

distância:

• ‖0‖ = 0 (vetor nulo tem norma zero),
• ‖v‖ = 0 se, e somente se, v = 0 (o único vetor com norma zero é o vetor zero),
• ‖αv‖ = |α|‖v‖ para todo α ∈ R (vetor multiplicado por escalar tem norma modifi-
cada por módulo do escalar),

• d(u,v) = 0 se, e somente se u = v,
• d(u,v) ≥ 0,
• d(v,0) = ‖v‖.

2

Note que usamos o mesmo símbolo para espaço gerado e produto interno: 〈v,w〉. Neste capítulo o
espaço gerado será representado por span {v,w} para evitar este conflito de notação.

5.1. PRODUTO INTERNO EM RN 139

Exemplo 5.1 Considere v = (1, 2, 3, 4, 0),w = (−1, 2, −3, 4, −5). Calcule ‖v‖, 〈v,w〉
e d(v,w).
Solução: ‖v‖2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 02 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30. Logo, ‖v‖ = √30.
〈v,w〉 = (1)(−1) + (2)(2) + (3)(−3) + (4)(4) + (0)(−5) = −1 + 4− 9 + 16 + 0 = 10.
d(v,w) =

√
(1− (−1))2 + (2− 2)2 + (3− (−3))2 + (4− 4)2 + (0− (−5))2 = √65.

Definição 5.5 (vetor unitário e normalização) Diz-se que v̂ é unitário se ‖v̂‖ = 1
(acento circunflexo é utilizado para indicar que um vetor é unitário). Dado v 6= 0, pode-
se verificar que v̂ = 1‖v‖v é unitário e tem a mesma direção