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DisciplinaÁlgebra Linear II915 materiais8.021 seguidores
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e o mesmo sentido de v. Dizemos
que v\u302 é a normalização de v.
Exemplo 5.2 Normalize o vetor v = (1, \u22122, 0, \u22122, 0) \u2208 R5.
Solução: Calculando \u2016v\u20162 = (1)2 + (\u22122)2 + (0)2 + (\u22122)2 + (0)2 = 1 + 4 + 1 = 9. Logo,
\u2016v\u2016 = 3. Assim v\u302 = v/3 = (1/3, \u22122/3, 0, \u22122/3, 0).
Lema 5.6 (ortogonalidade) Os vetores u,v \u2208 Rn são perpendiculares entre si se, e so-
mente se, \u3008u,v\u3009 = 0.
Utilizamos a notação u \u22a5 v para indicar que u e v são perpendiculares entre si.
Prova: Considere o paralelogramo P de lados u e v. Temos as seguintes equivalências:
\ufffd u e v são perpendiculares entre si;
\ufffd P é um retângulo;
\ufffd comprimento das diagonais de P (\u2016u+v\u2016 e \u2016u\u2212v\u2016) são iguais pois (geometria eucli-
diana) um paralelogramo é um retângulo se, e somente se, o comprimento de suas diagonais
é igual);
\ufffd \u2016u + v\u2016 = \u2016u\u2212 v\u2016;
\ufffd \u2016u + v\u20162 = \u2016u\u2212 v\u20162;
\ufffd \u3008u + v,u + v\u3009 = \u3008u\u2212 v,u\u2212 v\u3009;
\ufffd \u2016u\u20162 + 2 \u3008u,v\u3009+ \u2016v\u20162 = \u2016u\u20162 \u2212 2 \u3008u,v\u3009+ \u2016v\u20162 pelas propriedades do Lema 5.2 da
p.138;
\ufffd 2 \u3008u,v\u3009 = \u22122 \u3008u,v\u3009 simpli\ufb01cando os dois lados da expressão;
\ufffd 4 \u3008u,v\u3009 = 0;
\ufffd \u3008u,v\u3009 = 0;
De\ufb01nição 5.7 (vetores ortogonais) Dizemos que u e v são ortogonais se \u3008u,v\u3009 = 0.
Assim vetores perpendiculares do Rn são ortogonais entre si.
Observação 5.2 Note que o vetor nulo é ortogonal a qualquer outro vetor, isto é, 0 \u22a5 v
para todo v.
Teorema 5.8 (de Pitágoras generalizado) Os vetores u e v são ortogonais entre si se,
e somente se, \u2016u + v\u20162 = \u2016u\u20162 + \u2016v\u20162.
Prova: Pela de\ufb01nição de norma e as propriedades do Lema 5.2 da p.138, \u2016u + v\u20162 =
\u3008u + v,u + v\u3009 = \u2016u\u20162 + 2 \u3008u,v\u3009+ \u2016v\u20162. Assim \u2016u + v\u20162 = \u2016u\u20162 + \u2016v\u20162 se, e somente se,
2 \u3008u,v\u3009 = 0, ou seja, se, e somente se, \u3008u,v\u3009 = 0.
140 CAPÍTULO 5. PRODUTO INTERNO
De\ufb01nição 5.9 (conjunto ortogonal) Diz-se que o conjunto {v1,v2, . . . ,vp} é ortogonal
se os vetores são dois a dois ortogonais (\u3008vi,vj\u3009 = 0 \u2200i 6= j) ou se p = 1.
Lema 5.10 (conjunto ortogonal é LI) Um conjunto ortogonal de vetores não-nulos é li-
nearmente independente.
Prova: Seja {v1,v2, . . . ,vp} ortogonal. Então
p\u2211
i=1
\u3b1ivi = 0 \u21d2
\u2329
vj,
p\u2211
i=1
\u3b1ivi
\u232a
= \u3008vj,0\u3009 = 0
\u21d2
p\u2211
i=1
\u3b1i \u3008vj,vi\u3009 = \u3b1j\u2016vj\u20162 = 0 \u2200j
\u21d2 \u3b1j = 0 \u2200j (já que vj 6= 0.)
De\ufb01nição 5.11 (conjunto ortonormal) Diz-se que o conjunto {v1,v2, . . . ,vp} é ortonor-
mal se, além de ser ortogonal, todos os seus vetores são unitários, isto é, se
\u3008vi,vj\u3009 = \u3b4ij, onde \u3b4ij =
{
0 se i 6= j
1 se i = j
.
Exemplo 5.3 Veri\ufb01que que {(1, 0, 1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1, 0, 1), (\u22121, 0, 1, 2, 0,\u22122)} é ortogo-
nal em R6. Determine um conjunto ortonormal que gere o mesmo espaço.
Solução: De fato, \u3008(1, 0, 1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1, 0, 1)\u3009 = 1(0)+0(1)+1(0)+0(1)+1(0)+0(1) =
0,
\u3008(1, 0, 1, 0, 1, 0), (\u22121, 0, 1, 2, 0,\u22122)\u3009 = 1(\u22121)+0(0)+1(1)+0(2)+1(0)+0(\u22122) = \u22121+1 = 0,
\u3008(\u22121, 0, 1, 2, 0,\u22122), (0, 1, 0, 1, 0, 1)\u3009 = \u22121(0)+0(1)+1(0)+2(1)+0(0)+\u22122(1) = 2\u22122 = 0.
Para gerar um conjunto ortonormal, basta normalizar cada vetor. Como \u2016(1, 0, 1, 0, 1, 0)\u2016 =\u221a
3 = \u2016(0, 1, 0, 1, 0, 1)\u2016 e \u2016(\u22121, 0, 1, 2, 0,\u22122)\u2016 = \u221a10, um conjunto ortonormal é
{ 1\u221a
3
(1, 0, 1, 0, 1, 0), 1\u221a
3
(0, 1, 0, 1, 0, 1), 1\u221a
10
(\u22121, 0, 1, 2, 0,\u22122)}
5.2 Complemento Ortogonal
De\ufb01nição 5.12 (complemento ortogonal) Seja H um subespaço vetorial. O comple-
mento ortogonal de H \u2282 Rn é o conjunto dos vetores ortogonais a todos os vetores de H,
denotado por H\u22a5 (lê-se H perp), de\ufb01nido por
H\u22a5 = {v \u2208 Rn | \u3008v,u\u3009 = 0 para todo u \u2208 H} .
Exemplo 5.4 (exemplos no plano e espaço) Aplique a de\ufb01nição acima e veri\ufb01que a ta-
bela abaixo:
Em H H\u22a5
R2 eixo-x eixo-y
R2 eixo-y eixo-x
R2 a reta y = x a reta y = \u2212x
R2 0 R2
R3 eixo-x o plano yz (x = 0)
R3 o plano xy (z = 0) o eixo-z
R3 R3 0
5.2. COMPLEMENTO ORTOGONAL 141
Lema 5.13 (propriedades básicas do complemento ortogonal) Considere H \u2282 Rn
um subespaço vetorial gerado por {u1,u2, . . . ,up}. Então:
(a) H\u22a5 é subespaço vetorial;
(b) H\u22a5 = {v \u2208 Rn | \u3008v,ui\u3009 = 0, i = 1, 2, . . . , p} ;
Prova: (a) Como 0 é ortogonal a todo vetor, 0 \u2208 H\u22a5. Suponha que u,v \u2208 H\u22a5. Pela
bilinearidade do produto interno, \u3008\u3bbu + v,w\u3009 = \u3bb \u3008u,w\u3009 + \u3008v,w\u3009. Como u,v \u2208 H\u22a5,
\u3008u,w\u3009 = \u3008v,w\u3009 = 0 para todo w \u2208 H. Logo, \u3008\u3bbu + v,w\u3009 = 0 para todo w \u2208 H, ou seja,
\u3bbu + v \u2208 H\u22a5
(b) Seja W = {v \u2208 V | \u3008v,ui\u3009 = 0, i = 1, 2, . . . , p}. Como ui \u2208 H, é claro que H\u22a5 \u2282
W . Vamos mostrar a inclusão contrária, isto é, que W \u2282 H\u22a5. Seja w \u2208 W e v \u2208 H.
Como os u\u2032is geram H, v =
\u2211
i
aiui. Pela bilinearidade do produto interno, \u3008w,v\u3009 =\u2329
w,
\u2211
i
aiui
\u232a
=
\u2211
i
ai \u3008w,ui\u3009 = 0 pois w \u2208 W implica que \u3008w,ui\u3009 = 0.
A importância do item (b) do Lema anterior é que caracterizamos o complemento orto-
gonal fazendo o produto interno com um número \ufb01nito de vetores. Isto permite calcular o
complemento ortogonal resolvendo um sistema linear, como mostramos no próximo lema.
Lema 5.14 (calculando complemento ortogonal) Dado H \u2282 Rn subespaço gerado por
{u1, . . . ,up} obtemos uma base para H\u22a5 resolvendo o sistema homogêneo ATv = 0, onde
A =
\uf8ee\uf8f0 \u2191u1
\u2193
\u2191
u2
\u2193
· · ·
\u2191
up
\u2193
\uf8f9\uf8fb .
Desta forma, H = ImA e H\u22a5 = Nuc(AT ).
Prova: Segue pois são equivalentes:
\ufffd v \u2208 H\u22a5;
\ufffd \u3008v,ui\u3009 = 0, para i = 1, . . . ,m (pelo Lema 5.13 (b));
\ufffd
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 0..
.
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u3008u1,v\u3009..
.
\u3008up,v\u3009
\uf8f9\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u2190 u1 \u2192..
.
\u2190 up \u2192
\uf8f9\uf8fa\uf8fbv = ATv;
\ufffd v \u2208 Nuc(AT ).
Corolário 5.15 (relação entre Nuc, Im, transposta e complemento ortogonal)
Considere a matriz A. Então: Nuc(AT ) = (ImA)\u22a5 e Im(AT ) = (NucA)\u22a5.
Exemplo 5.5 Considere H = span
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb ,
\uf8ee\uf8f0 23
4
\uf8f9\uf8fb\uf8fc\uf8fd\uf8fe. Determine uma base para H\u22a5.
Solução: Seja A =
\uf8ee\uf8f0 1 22 3
3 4
\uf8f9\uf8fb
. Pelo Lema 5.14 (base do complemento ortogonal), resolvemos
ATv = 0: [
1 2 3 0
2 3 4 0
]
\u223c
[
1 0 \u22121 0
0 1 2 0
]
,
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x1 = 1 x3
x2 = \u22122 x3
x3 = 1 x3
.
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
\uf8ee\uf8f0 1\u22122
1
\uf8f9\uf8fb\uf8fc\uf8fd\uf8fe é base de H\u22a5.
142 CAPÍTULO 5. PRODUTO INTERNO
Exemplo 5.6 Considere H = span
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
2
3
4
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb ,
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2
3
4
5
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb ,
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
1
1
1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\uf8fc\uf8f4\uf8f4\uf8fd\uf8f4\uf8f4\uf8fe. Determine uma base para
H\u22a5.
Solução: Seja A =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 2 1
2 3 1
3 4 1
4 5 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb. Pelo Lema 5.14 (base do complemento ortogonal), resol-
vemos o sistema
ATv = 0 =
\uf8ee\uf8f0 1 2 3 42 3 4 5
1 1 1 1
\uf8f9\uf8fb
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
x
y
z
w
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee\uf8f0 00
0
\uf8f9\uf8fb .
Escalonando totalmente AT obtemos
[
1 0 \u22121 \u22122
0 1 2 3
]
(a última linha zera). Fazendo
z = s, w = t, x = s + 2t, y = \u22122s \u2212 3t. Logo, (x, y, z, w) = s(1,\u22122, 1, 0) + t(2,\u22123, 0, 1),
ou seja uma base é {(1,\u22122, 1, 0), (2,\u22123, 0, 1)}.
Lema 5.16 (menor distância e ortogonalidade) Considere H um subespaço vetorial.
Suponha que exista y \u2208 H tal que b \u2212 y \u2208 H\u22a5. Então d(y,b) \u2264 d(h,b) para todo
h \u2208 H, ou seja, y é o elemento de H mais perto de b.
Prova: De\ufb01na u = b\u2212y e v = y\u2212h para um h \u2208 H qualquer. Como y\u2212h \u2208 H, u \u22a5 v por
hipótese. Pelo Teorema 5.8 da p.139 (Pitágoras), \u2016b\u2212h\u20162 = \u2016u + v\u20162 \u2265 \u2016u\u20162 = \u2016b\u2212y\u20162.
Assim d(y,b) \u2264 d(h,b) para todo h \u2208 H.
0
y
b
d(y,b)
H
Figura 5.2: Projeção Ortogonal
Pode-se provar que dado subespaço vetorial H \u2282 Rn existe um único y \u2208 H com
a propriedade acima, conforme ilustra a Figura 5.2. Isto motiva a de\ufb01nição de projeção
ortogonal. Veremos como calcular a projeção ortogonal na Seção 5.4 da p.148.
De\ufb01nição 5.17 (projeção ortogonal) Dado H \u2282 Rn um subespaço vetorial e b \u2208 Rn,
existe um único vetor y \u2208 H tal que d(y,b) é mínimo. Dizemos que y é a projeção
ortogonal de b sobre H e denotamos PHb = y.
5.3. APLICAÇÃO: SISTEMAS SEM SOLUÇÃO (MÍNIMOS QUADRADOS) 143
5.3 Aplicação: Sistemas Sem Solução (Mínimos Qua-
drados)
Já vimos que o sistema linear Az = b tem solução(ões) se, e somente se, b \u2208 Im(A).
O que fazer quando b /\u2208 Im(A)? A resposta \ufffdo problema não tem solução\ufffd é usualmente
insatisfatória em diversas aplicações, como ilustra o exemplo a seguir.
Algumas aplicações são a aproximação de dados por polinômios, extrapolação e suavização
de dados. Veja em en.wikipedia.org/wiki/Linear_least_squares_(mathematics).
Exemplo 5.7 Imagine, de forma super-simpli\ufb01cada,