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Disciplina:Álgebra Linear II705 materiais7.710 seguidores
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que um paciente deva fazer uma refeição

consistindo de arroz e carne, de forma a totalizar 150g de alimento com 450 Kcal e 25g de

gordura. Dado que 1g de arroz tem 2.5Kcal e 0.03g de gordura e que a mesma quantidade de

carne tem 3.1 Kcal e 0.21g de gordura, que quantidade de cada alimento deve ser ingerida?

Solução: Seja x a quantidade de arroz, em gramas, e y a quantidade de carne. Precisamos
de uma solução para o sistema linear

x + y = 150
2.50x + 3.10y = 450
0.03x + 0.21y = 25.
ou

 1 1 1502.50 3.10 450
0.03 0.21 25

 .
É fácil verificar, no entanto, que este é um sistema sem solução. Mas esta resposta não há

de ajudar muito o nosso paciente!

Note que  1 12.50 3.10
0.03 0.21

[ 38
113

]
=

 151445.3
24.87

 .
Isto significa que 38g de arroz e 113 de carne é uma �quase-solução�: 151g de alimento (ao

invés de 150g), 445.3Kcal (ao invés de 450Kcal) e 24.87g de gordura (ao invés de 25g). Para

fins de alimentação, estes erros são totalmente aceitáveis.

O que fazer quando b /∈ Im(A)?

Neste caso não existe z tal que Az = b. Assim d(Az,b) 6= 0 para todo z no domínio
de A. Observando a Figura 5.3, o melhor que podemos fazer é minimizar esta distância:
determinar z tal que a distância d(Az,b) assuma o menor valor possível.

Definição 5.18 (solução de mínimos quadrados) Uma �quase-solução� do sistema

Ax = b, chamada de solução de mínimos quadrados1, é um vetor z tal que d(Az,b) ≤
d(Ax,b) para todo x no domínio de A.

Teorema 5.19 (mínimos quadrados) Se z é uma solução2 de ATAz = ATb, então z é
uma solução de mínimos quadrados do sistema Ax = b.

1

O nome vem de minimizar a distância, que é medida tomando a soma dos quadrados das diferenças entre

as coordenadas.

2

Pode-se provar que o sistema ATAz = ATb sempre possui solução.

144 CAPÍTULO 5. PRODUTO INTERNO

0

Az

b

d(Az,b)

Im(A)

Figura 5.3: Mínimos Quadrados

Prova: Se ATAz = ATb, então AT (b − Az) = 0. Definindo H = ImA, pelo Lema 5.14
da p.141, H⊥ = Nuc(AT ) e portanto b− Az ∈ H⊥. Pelo Lema 5.16 da p.142, d(Az,b) ≤
d(h,b) para todo h ∈ H = ImA. Logo d(Az,b) ≤ d(Ax,b) para todo x no domínio de A.

Relação entre Projeção Ortogonal e Mínimos Quadrados

Observação 5.3 Na linguagem da Definição 5.17 da p.142 (projeção ortogonal) resolver

o sistema Az = b no sentido dos mínimos quadrados equivale a resolver o sistema Az =
P
Im(A)

b, que sempre tem solução pois é claro que P
Im(A)

b ∈ ImA.
Se um sistema linear tem solução no sentido clássico, então b ∈ Im(A) e portanto
P
Im(A)

b = b. O sistema Az = P
Im(A)

b é idêntico ao sistema original Az = b. As

soluções de mínimo quadrado coincidem, neste caso, com as soluções clássicas.

Exemplo 5.8 Resolva, no sentido dos mínimos quadrados,

 1 22 1
2 1

[ x
y

]
=

 33
5


.

Solução: ATAz = ATb :

[
1 2 2
2 1 1

] 1 22 1
2 1

[ x
y

]
=

[
1 2 2
2 1 1

] 33
5

 . Assim,[
9 6
6 6

] [
x
y

]
=

[
19
14

]
e portanto,

[
x
y

]
=

[
5/3
2/3

]
.

Observação 5.4 (Software Algébrico) Pode-se resolver com o Maxima. En-

tramos a matriz com M: matrix( [1,2], [2,1], [2,1]);, b: [3,3,5];,

Mt: \transpose(M);. Agora resolvemos o sistem com linsolve_by_lu(Mt.M,Mt.b);

Exemplo 5.9 Determine a equação da reta que melhor aproxima, no sentido dos mínimos

quadrados, os pontos (1, 6), (2, 5), (3, 7) e (4, 10).

Solução: Queremos determinar a, b,∈ R tais que a equação da reta y = ax + b é satisfeita

5.3. APLICAÇÃO: SISTEMAS SEM SOLUÇÃO (MÍNIMOS QUADRADOS) 145

pelos quatro pontos. Assim queremos resolver o sistema (porque?):
1 1
2 1
3 1
4 1

[ ab
]

=


6
5
7

10

 .
Este sistema não tem solução (verifique) e vamos resolvê-lo no sentido de mínimos quadrados.

Assim vamos resolver:

[
1 2 3 4
1 1 1 1

]
1 1
2 1
3 1
4 1

[ ab
]

=

[
1 2 3 4
1 1 1 1

]
6
5
7

10

 .
[

30 10
10 4

] [
a
b

]
=

[
77
28

]
.

Resolvendo obtemos a = 7/5 e b = 7/2. Assim a equação da reta y = (14x + 35)/10. Na
figura abaixo apresentamos os dados e esta reta (Fonte: Wikipedia, File:Linear least squares

example2.svg).

Exemplo 5.10

1

Jogamos uma moeda 90 vezes e contamos o número de vezes que apareceu

cara após 30, 60 e 90 jogadas. O resultado está na tabela abaixo.

jogadas 30 60 90

caras 16 34 51

A moeda tem uma certa proporção m de caras com relação ao total de jogadas.Determine m.
Solução: Precisamos resolver o sistema abaixo que não possui solução (exata).

30m = 16
60m = 34
90m = 51

Isto porque o vetor b = (16, 34, 51) 6∈ span {(30, 60, 90)} = ImA, onde A =
 3060

90


.

Precisamos resolver ATAm = ATb. Assim, (900 + 3600 + 8100)m = 7110 = 12600m.

146 CAPÍTULO 5. PRODUTO INTERNO

jogadas

caras

30 60 90

30

60

Figura 5.4: Jogando uma Moeda

Assim m = 7110
12600

≈ 0.564. A reta com coeficiente angular m ≈ 0.564, que melhor aproxima
os dados, é mostrada na figura abaixo:

Exemplo 5.11 A equação que modela um determinado fenômeno físico é dada por f(t) =
at2 + bt+ c (por exemplo, f pode ser a posição de um corpo uniformemente acelerado). Com
o objetivo de se determinar os parâmetros a, b e c, uma série de experimentos são realizados,
com os seguintes resultados:

As posições medidas foram:

t f(t)
1 6.5

2 11.2

3 17.7

4 27.1

5 39.0

.

Determine os parâmetros a, b e c que melhor ajustam os dados experimentais no sentido
dos mínimos quadrados.

Solução: Gostaríamos que, para determinada escolha de a, b e c, fossem satisfeitas simulta-
neamente as equações

a× 12 + b× 1 + c = 6.5
a× 22 + b× 2 + c = 11.2
a× 32 + b× 3 + c = 17.7
a× 42 + b× 4 + c = 27.1
a× 52 + b× 5 + c = 39.0

ou


1 1 1
4 2 1
9 3 1

16 4 1
25 5 1


 ab
c

 =


6.5
11.2
17.7
27.1
39.0

 .

A solução aproximada é obtida resolvendo-se

 1 4 9 16 251 2 3 4 5
1 1 1 1 1




1 1 1
4 2 1
9 3 1

16 4 1
25 5 1


 ab
c

 =
 1 4 9 16 251 2 3 4 5

1 1 1 1 1




6.5
11.2
17.7
27.1
39.0

 .
 979 225 55225 55 15

55 15 5

 ab
c

 =
 1619.2385.4

101.5

 ⇒
 ab
c

 ≈
 1.240.68

4.68

 .
1

Adaptado de [6].

5.3. APLICAÇÃO: SISTEMAS SEM SOLUÇÃO (MÍNIMOS QUADRADOS) 147

Para estes valores dos parâmetros, o modelo prevê a seguinte tabela

t f(t)
1 6.60

2 11.00

3 17.88

4 27.24

5 39.08

bastante próxima da real.

Exemplo 5.12

2

As cédulas de dinheiro de um certo país tem médias diferentes de tempo

de circulação de acordo com o valor dados pela tabela abaixo. Quanto tempo você espera

que uma nota de 25 dure?

valor da cédula 1 5 10 20 50 100

tempo médio (anos) 1.5 2 3 5 9 20

Solução: Supondo que exista uma relação linear entre o tempo médio y em função do valor
x da cédula, temos que determinar k e m de forma aproximada tal que y = k + mx. Assim

devemos resolver o sistema


k + 1m = 1.5
.

.

. =
.

.

.

k + 100m = 20

, que é impossível. Considere

A =


1 1
1 5
1 10
1 20
1 50
1 100

 b =


1.5
2
3
5
9
20

 z =
[
k
m

]

Para determinar os coeficientes k e m resolvemos ATAz = ATb com auxílio de software,
obtendo z = (1.05, 0.18). Portanto, k = 1.05 e m = 0.18. O gráfico abaixo mostra a
reta aproximada y = 0.18x + 1.05 e os dados. Colocando x = 25 na equação da reta,

cédula

tempo médio (anos)

10 30 50 70 90

5
10
15
20

Figura 5.5: Tempo médio de duração da cédula

determinamos que a cédula deve durar 5.55 anos, isto é entre 5 e 6 anos.

2

Adaptado de [6].

148 CAPÍTULO 5. PRODUTO INTERNO

Exemplo 5.13 Considere os pontos (1, 3), (3, 2) e (6, 1). Sabendo que devem satisfazer, de
forma aproximada ao modelo y = aex + b