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log x, determine o sistema cuja solução aproxima
os coe\ufb01cientes a, b \u2208 R.
Solução: Devemos ter: 3 = ae1 + b log 1 = ae, 2 = a3 + b log 3, 1 = ae6 + b log 6. Assim
queremos resolver o sistema (sobredeterminado):\uf8ee\uf8f0 e1 0e3 log 3
e6 log 6
\uf8f9\uf8fb[ a
b
]
=
\uf8ee\uf8f0 32
1
\uf8f9\uf8fb .
Agora basta aplicar o método dos mínimos quadrados a este sistema.
Exemplo 5.14 (aproximando uma função por um polinômio) Aproxime a função y =
f(x) = ex no intervalo [1, 10] por um polinômio de grau 2 e por um polinômio de grau 3.
Solução: Considere o polinômio de grau 2 p(x) = ax2 + bx + c. Queremos determinar
a, b, c \u2208 R tais que p(x) = f(x) para x \u2208 [1, 4]. Nestes termos o problema não é possível,
mas podemos escolher alguns pontos no intervalo. Como são três variáveis (a, b, c) devemos
escolher no mínimo 3, mas podemos escolher mais e resolver por mínimos quadrados. Se
escolhermos 10 pontos 1, 2, . . . , 10 obtemos o sistema com 10 equações e 3 variáveis\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
a+ b+ c = e1,
4a+ 2b+ c = e2,
9a+ 3b+ c = e3,
16a+ 4b+ c = e4,
.
.
.
.
.
.
100a+ 10b+ c = e10,
que pode ser resolvido (no computador) com o método dos mínimos quadrados.
Podemos fazer algo semelhante com polinômio de grau 3 (ou qualquer grau: faça isso)
p(x) = ax3 + bx2 + cx+ d e obter um sistema com 10 equações e 4 variáveis:\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
a+ b+ c+ d = e1,
8a+ 4b+ 2c+ d = e2,
.
.
.
.
.
.
1000a+ 100b+ 10c+ d = e10,
que pode ser resolvido (no computador). A matriz obtida é chamada de matriz de Vander-
monde (ver internet).
5.4 Aplicação: Projeção Ortogonal
Como Projetar o vetor b em H = span {v1,v2, . . . ,vk}?
Projetar signi\ufb01ca obter coe\ufb01cientes zi \u2208 R tais que o vetor
\u2211
zivi \u2208 H esteja o mais perto
possível de b. Assim queremos determinar zi \u2208 R tais que d(
\u2211
zivi,b) seja mínimo.
De\ufb01nindo A =
\uf8ee\uf8f0 \u2191v1
\u2193
\u2191
v2
\u2193
· · ·
\u2191
vk
\u2193
\uf8f9\uf8fb
e z = (z1, . . . , zk), temos Az =
\u2211
zivi. Pelo
Lema 5.16 da p.142, pode-se minimizar d(Az, b) tomando z tal que Az \u2212 b \u2208 H\u22a5.
Pelo Lema 5.14 da p.141 basta que Az\u2212 b \u2208 Nuc(AT ), ou seja, que ATAz = ATb (um
problema de mínimos quadrados!) e PHb = Az.
5.4. APLICAÇÃO: PROJEÇÃO ORTOGONAL 149
Exemplo 5.15 Calcule PHb, onde H = span
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb ,
\uf8ee\uf8f0 23
4
\uf8f9\uf8fb\uf8fc\uf8fd\uf8fe e b =
\uf8ee\uf8f0 20
0
\uf8f9\uf8fb
.
Solução: De\ufb01nindo A =
\uf8ee\uf8f0 1 22 3
3 4
\uf8f9\uf8fb , devemos resolver:
ATAz =
[
1 2 3
2 3 4
]\uf8ee\uf8f0 1 22 3
3 4
\uf8f9\uf8fb z = ATb = [ 1 2 3
2 3 4
]\uf8ee\uf8f0 20
0
\uf8f9\uf8fb .
[
14 20
20 29
]
z =
[
2
4
]
\u21d2 z =
[ \u221211/3
8/3
]
.
Portanto, PHb = Az =
\uf8ee\uf8f0 1 22 3
3 4
\uf8f9\uf8fb[ \u221211/3
8/3
]
=
\uf8ee\uf8f0 5/32/3
\u22121/3
\uf8f9\uf8fb .
Exemplo 5.16 Considere H a reta gerada pelo vetor
\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb
e b =
\uf8ee\uf8f0 20
0
\uf8f9\uf8fb
. Calcule PHb.
Solução: De\ufb01nindo A =
\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb , devemos resolver: ATAz = ATb. Como ATA = 14,
ATb = 2, z = 1/7. Portanto, PHb = Az =
\uf8ee\uf8f0 1/72/7
3/7
\uf8f9\uf8fb .
Exemplo 5.17 Considere H = span
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb ,
\uf8ee\uf8f0 41
\u22122
\uf8f9\uf8fb\uf8fc\uf8fd\uf8fe e b =
\uf8ee\uf8f0 20
0
\uf8f9\uf8fb
. Calcule PHb.
Solução: De\ufb01nindo A =
\uf8ee\uf8f0 1 42 1
3 \u22122
\uf8f9\uf8fb , devemos resolver:
ATAz =
[
1 2 3
4 1 \u22122
]\uf8ee\uf8f0 1 42 1
3 \u22122
\uf8f9\uf8fb z = ATb = [ 1 2 3
4 1 \u22122
]\uf8ee\uf8f0 20
0
\uf8f9\uf8fb .
[
14 0
0 21
]
z =
[
2
8
]
\u21d2 z =
[
1/7
8/21
]
.
Portanto, PHb = Az =
\uf8ee\uf8f0 1 42 1
3 \u22122
\uf8f9\uf8fb[ 1/7
8/21
]
=
1
7
\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb+ 8
21
\uf8ee\uf8f0 41
\u22122
\uf8f9\uf8fb =
\uf8ee\uf8f0 5/32/3
\u22121/3
\uf8f9\uf8fb .
150 CAPÍTULO 5. PRODUTO INTERNO
Projeção em Bases Ortogonais
Observação 5.5 Se a base de H é ortogonal, o produto ATA será uma matriz diagonal
(porque?) e o sistema ATAz = ATb poderá ser resolvido facilmente. Isto ocorreu no
exemplo anterior.
Projeção em Bases Ortonormais
Neste caso ATA = I (identidade). Assim z = ATb e portanto PHb = Az = AA
Tb.
Concluímos que PH = AA
T
se a base de H é ortonormal.
5.5 ?Mínimos Quadrados e Projeção: Teoria1
[VOU RETRAR ESTA SEÇÃO!]
Lema 5.20 (propriedades do complemento ortogonal) Considere H \u2282 Rn um subes-
paço vetorial. Então: H \u2229H\u22a5 = {0};
Prova: Se v \u2208 H \u2229H\u22a5 então \u2016v\u20162 = \u3008v,v\u3009 = 0, o que implica que v = 0.
Lema 5.21 (existência de mínimos quadrados) Dada uma matriz A qualquer e b um
vetor qualquer (compatível com a dimensão de A de modo que o sistema faça sentido), o
sistema ATAx = ATb sempre possui uma solução x0. Mais ainda y0 = Ax0 é único (mesmo
que exista mais de um x0 solução).
Prova: De\ufb01na L : ImA \u2192 ImAT como a restrição de AT ao subespaço vetorial ImA.
Assim L = AT em ImA. Vamos provar que L é uma bijeção linear. Injetividade: Pelo
Lema 5.14 da p.141, Nuc(AT ) é o complemento ortogonal da ImA e pelo Lema 5.20 da
p.150, ImA \u2229 Nuc(AT ) = 0. Logo NucL = Nuc(AT ) \u2229 ImA = 0. Sobrejetividade: Pelo
Lema 4.15 da p.104, dim(ImA) = dim(ImAT ). Assim ImL \u2282 ImAT e, pelo teorema do
núcleo imagem, possuem mesma dimensão. Logo ImL = ImAT . Assim, para todo k =
ATb \u2208 ImAT , existe um único y0 \u2208 ImA tal que ATy0 = k \u2208 ImAT . Como y0 \u2208 ImA,
existe pelo menos um x0 tal que Ax0 = y0, e portanto A
TAx0 = A
Ty0 = k = A
Tb.
5.6 ?Aplicação: Aproximando Funções por Polinômios
(ou outras funções)
1
Para dizer que uma função está próxima de outra precisamos de\ufb01nir distância entre funções.
Uma forma de fazer isto é de\ufb01nir um produto interno no espaço vetorial das funções e, com
este produto interno, de\ufb01nir norma, distância e ortogonalidade entre funções, tal qual \ufb01zemos
na p.138.
A de\ufb01nição mais utilizada de norma e distância em espaços vetoriais de funções é feita
por uma integral. Nos concentramos em um intervalo [a, b] \u2282 R e de\ufb01nimos a norma de
uma função contínua f : [a, b] \u2192 R por \u2016f\u20162 =
\u222b b
a
(f(s))2 ds. Esta de\ufb01nição possuirá
todas as propriedades de norma que vimos na p.138, inclusive \u2016f\u2016 = 0 se, e somente se,
1
A leitura desta seção é opcional.
5.6. ?APLICAÇÃO: APROXIMANDO FUNÇÕES POR POLINÔMIOS 151
a função f(s) = 0 para todo s \u2208 [a, b]. Assim a distância entre as funções f e g será
d(f, g) =
\u221a(\u222b b
a
|f(s)\u2212 g(s)|2 ds
)
.
Esta norma e distância provém do produto interno \u3008f, g\u3009 =
\u222b b
a
f(s)g(s) ds pois \u2016f\u2016 =\u221a\u3008f, f\u3009 e d(f, g) = \u2016f \u2212 g\u2016.
Exemplo 5.18 Veri\ufb01que que \u3008f, g\u3009 =
\u222b 1
\u22121
f(s)g(s) ds satisfaz todas propriedades do pro-
duto interno do Lema 5.2 da p.138.
Solução: A simetria decorre de
\u222b 1
\u22121 f(s)g(s) ds =
\u222b 1
\u22121 g(s)f(s) ds. A bilinearidade decorre
da linearidade da integral:
\u222b 1
\u22121(\u3b1f(s) + g(s))h(s) ds = \u3b1
\u222b 1
\u22121 f(s)h(s) ds +
\u222b 1
\u22121 g(s)h(s) ds.
A positividade é mais delicada. Se f não é nula então, por continuidade, ela é não nula num
certo intervalo não-degenerado. Com isto,
\u222b 1
\u22121 f
2(s) ds > 0.
Exemplo 5.19 Considere o produto interno do Exemplo 5.18 da página 151 e as funções
f(t) = t2, g(t) = 1\u2212 t. Determine \u2016f\u2016, \u2016g\u2016 e \u3008f, g\u3009.
Solução: Como \u2016f\u20162 =
\u222b 1
\u22121
f 2(t) dt =
\u222b 1
\u22121
(t2)2 dt =
\u222b 1
\u22121
(t4) dt = t5/5|1\u22121 = 1/5 \u2212
(\u22121/5) = 2/5. Logo, \u2016f\u2016 = \u221a2/5.
Como \u2016g\u20162 =
\u222b 1
\u22121
g2(t) dt =
\u222b 1
\u22121
(1\u2212 t)2 dt =
\u222b 1
\u22121
(1\u22122t+ t2) dt = (t\u2212 t2+ t3/3)|1\u22121 = 2.
Logo, \u2016g\u2016 = \u221a2.
Calculando \u3008f, g\u3009 =
\u222b 1
\u22121
t2(1\u2212 t) dt =
\u222b 1
\u22121
(t2 \u2212 t3) dt = (t3/3\u2212 t4/4)|1\u22121 = 2/3.
Exemplo 5.20 Considere o produto interno do Exemplo 5.18 da página 151 e as funções
f(t) = t2, g(t) = 3t. Mostre que f e g são ortogonais. Determine g\u302 um múltiplo de g tal
que \u2016g\u302\u2016 = 1.
Solução: Calculando, \u3008f, g\u3009 =
\u222b 1
\u22121
f(t)g(t) dt =
\u222b 1
\u22121
t23t dt =
\u222b 1
\u22121
3t3 dt = 3t4/4|1\u22121 =
3(1)4/4\u2212 3(\u22121)4/4 = 3\u2212 3 = 0.
Como, \u2016g\u20162 =
\u222b 1
\u22121
f 2(t) dt =
\u222b 1
\u22121
(3t)2 dt =
\u222b 1
\u22121
9t2 dt = 3t3|1\u22121 = 3(1)3 \u2212 3(\u22121)3 =
3 + 3 = 6. Portanto, \u2016g\u2016 = \u221a6. Logo tome g\u302 = g/\u221a6 = 3t/\u221a6.
Como determinar uma função próxima de outra?
Vamos explicar por um exemplo concreto: Como determinar o polinômio p(x) = ax2+bx+c
mais próximo de uma função f(x)?
Considere p1(x) = 1, p2(x) = x, p3(x) = x
2
, uma base para o subespaço vetorial H dos
polinômios de grau máximo