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2.
Queremos minimizar d(p, f) para p \u2208 H. A solução é tomar p = PHf , que minimiza
a distância pois é a projeção ortogonal de f no espaço H. Pelo Lema 5.16 da p.142,
p \u2212 f \u2208 H\u22a5 (ortogonal a H). Assim devemos ter \u3008p\u2212 f, pi\u3009 = 0 para i = 1, 2, 3 pois
{p1, p2, p3} é base de H (similar ao Lema 5.13 da p.141). Como temos três variáveis
a, b, c \u2208 R e 3 equações, podemos determinar seus valores. Veja os exemplos e releia. . .
152 CAPÍTULO 5. PRODUTO INTERNO
Exemplo 5.21 Considere o produto interno do Exemplo 5.18 da página 151 e as funções
f1(t) = 1, f2(t) = t, f3(t) = 3t
2 \u2212 1. Veri\ufb01que que {f1, f2, f3} é ortogonal. Considere
H2 o espaço gerado por {f1, f2} e H3 o espaço gerado por {f1, f2, f3}. Se \u3c6(t) = exp(t),
determine PH2\u3c6 e PH3\u3c6.
Solução: Deixamos para o leitor veri\ufb01car os produtos internos: \u3008f1, \u3c6\u3009 = e1\u2212e\u22121, \u3008f1, f1\u3009 =
2, \u3008f1, f2\u3009 = 0, \u3008f2, f3\u3009 = 0, \u3008f1, f3\u3009 = 0, \u3008f2, \u3c6\u3009 = 2e\u22121, \u3008f2, f2\u3009 = 2/3,
\u3008f3, \u3c6\u3009 = 2e1 \u2212 14e\u22121, \u3008f3, f3\u3009 = 8/5.
Agora vamos determinar PH2\u3c6 = af1 + bf2 = p. Precisamos que \u3008p\u2212 \u3c6, fi\u3009 = 0 para
i = 1, 2. Ou seja, { \u3008p, f1\u3009 = \u3008\u3c6, f1\u3009 ,
\u3008p, f2\u3009 = \u3008\u3c6, f2\u3009 .
Assim, { \u3008af1 + bf2, f1\u3009 = \u3008\u3c6, f1\u3009 ,
\u3008af1 + bf2, f2\u3009 = \u3008\u3c6, f2\u3009 .
Ou seja, {
a \u3008f1, f1\u3009+ b \u3008f2, f1\u3009 = \u3008\u3c6, f1\u3009 ,
a \u3008f1, f2\u3009+ b \u3008f2, f2\u3009 = \u3008\u3c6, f2\u3009 .
Como já calculamos os produtos internos obtemos o sistema{
2a+ 0b = e1 \u2212 e\u22121
0a+ 2/3b = 2e\u22121
.
Resolvendo obtemos a = (e1 \u2212 e\u22121)/2 e b = 3e1. Assim PH2\u3c6(t) = af1 + bf2 = (e1 \u2212
e\u22121)/2 + 3e1t.
Agora vamos calcular PH3\u3c6 = af1 + bf2 + cf3 = p. De forma análoga precisamos
determinar a, b, c \u2208 R tais que:\uf8f1\uf8f2\uf8f3
a \u3008f1, f1\u3009+ b \u3008f2, f1\u3009+ c \u3008f3, f1\u3009 = \u3008\u3c6, f1\u3009 ,
a \u3008f1, f2\u3009+ b \u3008f2, f2\u3009+ c \u3008f3, f2\u3009 = \u3008\u3c6, f2\u3009 ,
a \u3008f1, f3\u3009+ b \u3008f2, f3\u3009+ c \u3008f3, f3\u3009 = \u3008\u3c6, f3\u3009 .
Como já calculamos os produtos internos obtemos o sistema (a ortogonalidade da base facilita
muito!) \uf8f1\uf8f2\uf8f3
2a+ 0b+ 0c = e1 \u2212 e\u22121,
0a+ 2/3b+ 0c = 2e\u22121,
0a+ 0b+ 8/5c = 2e1 \u2212 14e\u22121.
.
Resolvendo obtemos a = (e1 \u2212 e\u22121)/2, b = 3e1 e c = 5/4(e1 \u2212 7e\u22121). Assim PH3\u3c6(t) =
af1 + bf2 + cf3 = (e
1\u2212 e\u22121)/2 + 3e1t+ 5/4(e1\u2212 7e\u22121)(3t2\u2212 1). Observe na Figura 5.6 que
PH2 é razoável e que PH3\u3c6 é praticamente idêntica à função \u3c6. Para perceber a melhora no
erro utilizando PH3 , compare os erros e2 e e3 mostrados na \ufb01gura.
Exemplo 5.22 (série de Fourier) Vamos aproximar a função f(x) = e\u2212x, no intervalo
[0, 1], por uma função da forma a1 sin(pix)+a2 sin(2pix)+ · · ·+an sin(npix). Para isto consi-
deramos, no espaço vetorial das funções contínuas, o produto interno \u3008g, h\u3009 =
\u222b 1
0
g(t)h(t)dt.
O que estamos procurando é a projeção ortogonal de f sobre Hn, o espaço gerado por
{s1, s2, . . . , sn}, onde sn(x) = sin(npix).
5.6. ?APLICAÇÃO: APROXIMANDO FUNÇÕES POR POLINÔMIOS 153
t
PH3\u3c6(t)
PH2\u3c6(t)
\u3c6(t) = exp(t)
t
e3(t) = PH3\u3c6(t)\u2212 \u3c6(t)
e2(t) = PH2\u3c6(t)\u2212 \u3c6(t)
Figura 5.6: Aproximação de \u3c6 por PH2\u3c6 e PH3\u3c6 e erros
Solução: Pode-se veri\ufb01car as seguintes fórmulas:\u222b 1
0
sin(k1pit) sin(k2pit)dt = 0 \u2200 k1 6= k2,\u222b 1
0
e\u2212t sin(kpit)dt =
kpi(e\u2212 (\u22121)k)
e(1 + k2pi2)
e\u222b 1
0
sin2(kpit)dt =
1
2
.
Fazendo as contas (com auxílio de softwares de cálculo) podemos calcular PH4f(t) e PH10f(t).
Veja na Figura 5.7 o grá\ufb01co de f e as projeções ortogonais em H4 e H10 com os respectivos
erros.
Caso queira estudar mais a este respeito, procure um texto sobre Séries de Fourier.
t
PH4f(t) e PH10f(t)
f(t) = exp(\u2212t)
t
e4(t) e e10(t)
Figura 5.7: Aproximação de f (pontilhado) por PH4f (tracejado) e PH10f (contínuo) e erros
e4 = PH4f \u2212 f (tracejado) e e10 = PH10f \u2212 f
(contínuo)
154 CAPÍTULO 5. PRODUTO INTERNO
5.7 ?Cauchy-Schwarz e Ângulo1
A Lei dos Cossenos, aplicada ao triângulo cujos lados são u,v e u \u2212 v, onde \u3b8 é o ângulo
formado por u e v (que pode ser pensado igualmente em R2 ou R3), diz que \u2016u \u2212 v\u20162 =
\u2016u\u20162 + \u2016v\u20162 \u2212 2\u2016u\u2016\u2016v\u2016 cos \u3b8. Como \u2016u\u2212 v\u20162 = \u3008u\u2212 v,u\u2212 v\u3009 = \u2016u\u20162 \u2212 2 \u3008u,v\u3009+ \u2016v\u20162,
igualando os dois lados e cortando os termos \u2016u\u20162 e \u2016v\u20162 obtemos para u e v não-nulos que
cos \u3b8 =
\u3008u,v\u3009
\u2016u\u2016\u2016v\u2016 .
Estas idéias podem ser generalizadas através de um importante resultado envolvendo o
produto interno e a sua norma associada, a desigualdade de Cauchy-Schwarz.
Teorema 5.22 (de Cauchy-Schwarz) Seja V espaço vetorial, \u3008·, ·\u3009 produto interno e \u2016 · \u2016
a norma associada. Para todo u,v \u2208 V :
| \u3008u,v\u3009 | \u2264 \u2016u\u2016\u2016v\u2016.
Prova: Para todo x \u2208 R,
0 \u2264 \u2016u + xv\u20162 = \u3008u + xv,u + xv\u3009
= \u3008u,u\u3009+ 2x \u3008u,v\u3009+ x2 \u3008v,v\u3009
= \u2016u\u20162 + 2x \u3008u,v\u3009+ x2\u2016v\u20162 \u2200x \u2208 R.
Como o lado direito é uma equação do segundo grau p(x) com p(x) \u2265 0 para todo x, p(x) = 0
deve ter no máximo 1 raiz e portanto\u2206 \u2264 0 (porque?). Logo\u2206 = 4((\u3008u,v\u3009)2\u2212(\u2016u\u2016\u2016v\u2016)2) \u2264
0 e portanto (\u3008u,v\u3009)2 \u2264 (\u2016u\u2016\u2016v\u2016)2. Tomando \u221a dos dois lados, e como \u221ak2 = |k|,
chegamos ao resultado.
Corolário 5.23 (desigualdade triangular) Para todo u,v \u2208 V (ver Figura 5.8):
\u2016u + v\u2016 \u2264 \u2016u\u2016+ \u2016v\u2016.
u + v
u
v
Figura 5.8: Desigualdade Triangular
Prova: De fato,
\u2016u + v\u20162 = \u3008u + v,u + v\u3009 = \u3008u,u\u3009+ 2 \u3008u,v\u3009+ \u3008v,v\u3009 = \u2016u\u20162 + 2 \u3008u,v\u3009+ \u2016v\u20162.
Usando Cauchy-Schwarz,
\u2016u + v\u20162 \u2264 \u2016u\u20162 + 2\u2016u\u2016\u2016v\u2016+ \u2016v\u20162 = (\u2016u\u2016+ \u2016v\u2016)2.
A Desigualdade de Cauchy-Schwarz nos garante que, num espaço com produto interno,
se u e v são vetores não nulos, então
| \u3008u,v\u3009 |
\u2016u\u2016\u2016v\u2016 \u2264 1 e portanto \u22121 \u2264
\u3008u,v\u3009
\u2016u\u2016\u2016v\u2016 \u2264 1. Isto nos
permite de\ufb01nir o ângulo entre dois vetores (mais exatamente, o cosseno deste ângulo).
1
A leitura desta seção é opcional.
5.8. ?PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHMIDT 155
De\ufb01nição 5.24 (ângulo entre vetores) Dados u,v \u2208 V , de\ufb01nimos o ângulo \u3b8 \u2208 [0, 180\u25e6]
entre eles como a solução de
cos \u3b8 =
\u3008u,v\u3009
\u2016u\u2016\u2016v\u2016 .
Em particular se \u3008u,v\u3009 = 0, então \u3b8 = 90\u25e6 (são ortogonais).
5.8 ?Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt1
Partindo-se de uma base qualquer, como construir uma base ortogonal?
A resposta é dada pelo Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt, que fornece
um procedimento para, dada uma base {v1,v2, . . . ,vp} determinar uma base ortogonal
{u1,u2, . . . ,up}.
Vamos ilustrar o caso geral ortogonalizando {v1,v2,v3}. De fato, vamos ver como de-
terminar constantes \u3b1\u2dc, \u3b2\u2dc e \u3b3\u2dc tais que os vetores
u1 = v1,
u2 = v2 + \u3b1\u2dcu1,
u3 = v3 + \u3b2\u2dcu1 + \u3b3\u2dcu2,
sejam ortogonais entre si. Note que como os u's são combinação linear dos v's,
span {u1,u2,u3} = span {v1,v2,v3}. A exigência de que {u1,u2,u3} seja ortogonal nos
permite determinar os coe\ufb01cientes \u3b1\u2dc, \u3b2\u2dc e \u3b3\u2dc. De fato,
u2 = v2 + \u3b1\u2dcu1
\u3008u2,u1\u3009 = 0
}
\u21d2 \u3008v2,u1\u3009+ \u3b1\u2dc \u3008u1,u1\u3009 = 0 \u21d2 \u3b1\u2dc = \u2212\u3008v2,u1\u3009\u3008u1,u1\u3009 ,
u3 = v3 + \u3b2\u2dcu1 + \u3b3\u2dcu2
\u3008u3,u1\u3009 = 0
\u3008u2,u1\u3009 = 0
\uf8fc\uf8fd\uf8fe \u21d2 \u3008v3,u1\u3009+ \u3b2\u2dc \u3008u1,u1\u3009 = 0 \u21d2 \u3b2\u2dc = \u2212\u3008v3,u1\u3009\u3008u1,u1\u3009 ,
u3 = v3 + \u3b2\u2dcu1 + \u3b3\u2dcu2
\u3008u3,u2\u3009 = 0
\u3008u1,u2\u3009 = 0
\uf8fc\uf8fd\uf8fe \u21d2 \u3008v3,u2\u3009+ \u3b3\u2dc \u3008u2,u2\u3009 = 0 \u21d2 \u3b3\u2dc = \u2212\u3008v3,u2\u3009\u3008u2,u2\u3009 .
Assim devemos de\ufb01nir:
u1 = v1,
u2 = v2 \u2212 \u3008v2,u1\u3009\u3008u1,u1\u3009u1,
u3 = v3 \u2212 \u3008v3,u1\u3009\u3008u1,u1\u3009u1 \u2212
\u3008v3,u2\u3009
\u3008u2,u2\u3009u2.
Este procedimento pode ser generalizado (veja Teorema 5.27 da p.160) da seguinte forma:
1
A leitura desta seção é opcional.
156 CAPÍTULO 5. PRODUTO INTERNO
Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt
Dada uma base {v1,v2, . . . ,vp} obtemos outra, ortogonal, {u1,u2, . . . ,up}, por
u1 = v1
u2 = v2 \u2212 \u3008v2,u1\u3009\u3008u1,u1\u3009u1;
u3 = v3 \u2212 \u3008v3,u1\u3009\u3008u1,u1\u3009u1 \u2212
\u3008v3,u2\u3009
\u3008u2,u2\u3009u2;
.
.
. =
.
.
.
up = vp \u2212 \u3008vp,u1\u3009\u3008u1,u1\u3009u1 \u2212
\u3008vp,u2\u3009
\u3008u2,u2\u3009u2 \u2212 . . .\u2212
\u3008vp,up\u22121\u3009
\u3008up\u22121,up\u22121\u3009up\u22121.
Vamos apresentar exemplos. Ao \ufb01nal desta Seção vamos relacionar este processo com
projeção ortogonal e provar que o método funciona.
Exemplo 5.23 Determine uma base ortogonal para H = span
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb ,
\uf8ee\uf8f0 23
4
\uf8f9\uf8fb\uf8fc\uf8fd\uf8fe.
Solução: Por Gram-Schmidt,
u1 =
\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb
e
u2 =
\uf8ee\uf8f0 23
4
\uf8f9\uf8fb\u2212
\u2329\uf8ee\uf8f0 23
4
\uf8f9\uf8fb,
\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb\u232a
\u2329\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb,
\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb\u232a
\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb =
\uf8ee\uf8f0 23
4
\uf8f9\uf8fb\u2212 20
14
\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb =
\uf8ee\uf8f0 4/71/7
\u22122/7
\uf8f9\uf8fb .
Assim,
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb ,
\uf8ee\uf8f0 41
\u22122
\uf8f9\uf8fb\uf8fc\uf8fd\uf8fe é base ortogonal de H.
Exemplo 5.24 Seja H = span
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
2
3
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb ,
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2
3
4
0