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2.

Queremos minimizar d(p, f) para p ∈ H. A solução é tomar p = PHf , que minimiza
a distância pois é a projeção ortogonal de f no espaço H. Pelo Lema 5.16 da p.142,
p − f ∈ H⊥ (ortogonal a H). Assim devemos ter 〈p− f, pi〉 = 0 para i = 1, 2, 3 pois
{p1, p2, p3} é base de H (similar ao Lema 5.13 da p.141). Como temos três variáveis
a, b, c ∈ R e 3 equações, podemos determinar seus valores. Veja os exemplos e releia. . .

152 CAPÍTULO 5. PRODUTO INTERNO

Exemplo 5.21 Considere o produto interno do Exemplo 5.18 da página 151 e as funções

f1(t) = 1, f2(t) = t, f3(t) = 3t
2 − 1. Verifique que {f1, f2, f3} é ortogonal. Considere

H2 o espaço gerado por {f1, f2} e H3 o espaço gerado por {f1, f2, f3}. Se φ(t) = exp(t),
determine PH2φ e PH3φ.
Solução: Deixamos para o leitor verificar os produtos internos: 〈f1, φ〉 = e1−e−1, 〈f1, f1〉 =
2, 〈f1, f2〉 = 0, 〈f2, f3〉 = 0, 〈f1, f3〉 = 0, 〈f2, φ〉 = 2e−1, 〈f2, f2〉 = 2/3,
〈f3, φ〉 = 2e1 − 14e−1, 〈f3, f3〉 = 8/5.
Agora vamos determinar PH2φ = af1 + bf2 = p. Precisamos que 〈p− φ, fi〉 = 0 para

i = 1, 2. Ou seja, { 〈p, f1〉 = 〈φ, f1〉 ,
〈p, f2〉 = 〈φ, f2〉 .
Assim, { 〈af1 + bf2, f1〉 = 〈φ, f1〉 ,

〈af1 + bf2, f2〉 = 〈φ, f2〉 .
Ou seja, {

a 〈f1, f1〉+ b 〈f2, f1〉 = 〈φ, f1〉 ,
a 〈f1, f2〉+ b 〈f2, f2〉 = 〈φ, f2〉 .
Como já calculamos os produtos internos obtemos o sistema{

2a+ 0b = e1 − e−1
0a+ 2/3b = 2e−1

.

Resolvendo obtemos a = (e1 − e−1)/2 e b = 3e1. Assim PH2φ(t) = af1 + bf2 = (e1 −
e−1)/2 + 3e1t.
Agora vamos calcular PH3φ = af1 + bf2 + cf3 = p. De forma análoga precisamos
determinar a, b, c ∈ R tais que:

a 〈f1, f1〉+ b 〈f2, f1〉+ c 〈f3, f1〉 = 〈φ, f1〉 ,
a 〈f1, f2〉+ b 〈f2, f2〉+ c 〈f3, f2〉 = 〈φ, f2〉 ,
a 〈f1, f3〉+ b 〈f2, f3〉+ c 〈f3, f3〉 = 〈φ, f3〉 .

Como já calculamos os produtos internos obtemos o sistema (a ortogonalidade da base facilita

muito!) 
2a+ 0b+ 0c = e1 − e−1,
0a+ 2/3b+ 0c = 2e−1,
0a+ 0b+ 8/5c = 2e1 − 14e−1.

.

Resolvendo obtemos a = (e1 − e−1)/2, b = 3e1 e c = 5/4(e1 − 7e−1). Assim PH3φ(t) =
af1 + bf2 + cf3 = (e

1− e−1)/2 + 3e1t+ 5/4(e1− 7e−1)(3t2− 1). Observe na Figura 5.6 que
PH2 é razoável e que PH3φ é praticamente idêntica à função φ. Para perceber a melhora no
erro utilizando PH3 , compare os erros e2 e e3 mostrados na figura.

Exemplo 5.22 (série de Fourier) Vamos aproximar a função f(x) = e−x, no intervalo
[0, 1], por uma função da forma a1 sin(pix)+a2 sin(2pix)+ · · ·+an sin(npix). Para isto consi-
deramos, no espaço vetorial das funções contínuas, o produto interno 〈g, h〉 =

∫ 1
0

g(t)h(t)dt.

O que estamos procurando é a projeção ortogonal de f sobre Hn, o espaço gerado por
{s1, s2, . . . , sn}, onde sn(x) = sin(npix).

5.6. ?APLICAÇÃO: APROXIMANDO FUNÇÕES POR POLINÔMIOS 153

t

PH3φ(t)

PH2φ(t)

φ(t) = exp(t)

t
e3(t) = PH3φ(t)− φ(t)

e2(t) = PH2φ(t)− φ(t)

Figura 5.6: Aproximação de φ por PH2φ e PH3φ e erros

Solução: Pode-se verificar as seguintes fórmulas:∫ 1
0

sin(k1pit) sin(k2pit)dt = 0 ∀ k1 6= k2,∫ 1
0

e−t sin(kpit)dt =
kpi(e− (−1)k)
e(1 + k2pi2)
e∫ 1

0

sin2(kpit)dt =
1

2
.

Fazendo as contas (com auxílio de softwares de cálculo) podemos calcular PH4f(t) e PH10f(t).
Veja na Figura 5.7 o gráfico de f e as projeções ortogonais em H4 e H10 com os respectivos
erros.

Caso queira estudar mais a este respeito, procure um texto sobre Séries de Fourier.

t
PH4f(t) e PH10f(t)

f(t) = exp(−t)

t

e4(t) e e10(t)

Figura 5.7: Aproximação de f (pontilhado) por PH4f (tracejado) e PH10f (contínuo) e erros
e4 = PH4f − f (tracejado) e e10 = PH10f − f
(contínuo)

154 CAPÍTULO 5. PRODUTO INTERNO

5.7 ?Cauchy-Schwarz e Ângulo1

A Lei dos Cossenos, aplicada ao triângulo cujos lados são u,v e u − v, onde θ é o ângulo
formado por u e v (que pode ser pensado igualmente em R2 ou R3), diz que ‖u − v‖2 =
‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ. Como ‖u− v‖2 = 〈u− v,u− v〉 = ‖u‖2 − 2 〈u,v〉+ ‖v‖2,
igualando os dois lados e cortando os termos ‖u‖2 e ‖v‖2 obtemos para u e v não-nulos que

cos θ =
〈u,v〉
‖u‖‖v‖ .

Estas idéias podem ser generalizadas através de um importante resultado envolvendo o

produto interno e a sua norma associada, a desigualdade de Cauchy-Schwarz.

Teorema 5.22 (de Cauchy-Schwarz) Seja V espaço vetorial, 〈·, ·〉 produto interno e ‖ · ‖
a norma associada. Para todo u,v ∈ V :

| 〈u,v〉 | ≤ ‖u‖‖v‖.
Prova: Para todo x ∈ R,

0 ≤ ‖u + xv‖2 = 〈u + xv,u + xv〉
= 〈u,u〉+ 2x 〈u,v〉+ x2 〈v,v〉
= ‖u‖2 + 2x 〈u,v〉+ x2‖v‖2 ∀x ∈ R.
Como o lado direito é uma equação do segundo grau p(x) com p(x) ≥ 0 para todo x, p(x) = 0
deve ter no máximo 1 raiz e portanto∆ ≤ 0 (porque?). Logo∆ = 4((〈u,v〉)2−(‖u‖‖v‖)2) ≤
0 e portanto (〈u,v〉)2 ≤ (‖u‖‖v‖)2. Tomando √ dos dois lados, e como √k2 = |k|,
chegamos ao resultado.

Corolário 5.23 (desigualdade triangular) Para todo u,v ∈ V (ver Figura 5.8):

‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖.

u + v

u

v

Figura 5.8: Desigualdade Triangular

Prova: De fato,

‖u + v‖2 = 〈u + v,u + v〉 = 〈u,u〉+ 2 〈u,v〉+ 〈v,v〉 = ‖u‖2 + 2 〈u,v〉+ ‖v‖2.
Usando Cauchy-Schwarz,

‖u + v‖2 ≤ ‖u‖2 + 2‖u‖‖v‖+ ‖v‖2 = (‖u‖+ ‖v‖)2.

A Desigualdade de Cauchy-Schwarz nos garante que, num espaço com produto interno,

se u e v são vetores não nulos, então
| 〈u,v〉 |
‖u‖‖v‖ ≤ 1 e portanto −1 ≤

〈u,v〉
‖u‖‖v‖ ≤ 1. Isto nos
permite definir o ângulo entre dois vetores (mais exatamente, o cosseno deste ângulo).

1

A leitura desta seção é opcional.

5.8. ?PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHMIDT 155

Definição 5.24 (ângulo entre vetores) Dados u,v ∈ V , definimos o ângulo θ ∈ [0, 180◦]
entre eles como a solução de

cos θ =
〈u,v〉
‖u‖‖v‖ .

Em particular se 〈u,v〉 = 0, então θ = 90◦ (são ortogonais).

5.8 ?Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt1

Partindo-se de uma base qualquer, como construir uma base ortogonal?

A resposta é dada pelo Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt, que fornece

um procedimento para, dada uma base {v1,v2, . . . ,vp} determinar uma base ortogonal
{u1,u2, . . . ,up}.
Vamos ilustrar o caso geral ortogonalizando {v1,v2,v3}. De fato, vamos ver como de-
terminar constantes α˜, β˜ e γ˜ tais que os vetores

u1 = v1,

u2 = v2 + α˜u1,

u3 = v3 + β˜u1 + γ˜u2,

sejam ortogonais entre si. Note que como os u's são combinação linear dos v's,
span {u1,u2,u3} = span {v1,v2,v3}. A exigência de que {u1,u2,u3} seja ortogonal nos
permite determinar os coeficientes α˜, β˜ e γ˜. De fato,

u2 = v2 + α˜u1
〈u2,u1〉 = 0

}
⇒ 〈v2,u1〉+ α˜ 〈u1,u1〉 = 0 ⇒ α˜ = −〈v2,u1〉〈u1,u1〉 ,

u3 = v3 + β˜u1 + γ˜u2
〈u3,u1〉 = 0
〈u2,u1〉 = 0

 ⇒ 〈v3,u1〉+ β˜ 〈u1,u1〉 = 0 ⇒ β˜ = −〈v3,u1〉〈u1,u1〉 ,
u3 = v3 + β˜u1 + γ˜u2
〈u3,u2〉 = 0
〈u1,u2〉 = 0

 ⇒ 〈v3,u2〉+ γ˜ 〈u2,u2〉 = 0 ⇒ γ˜ = −〈v3,u2〉〈u2,u2〉 .
Assim devemos definir:

u1 = v1,

u2 = v2 − 〈v2,u1〉〈u1,u1〉u1,

u3 = v3 − 〈v3,u1〉〈u1,u1〉u1 −
〈v3,u2〉
〈u2,u2〉u2.

Este procedimento pode ser generalizado (veja Teorema 5.27 da p.160) da seguinte forma:

1

A leitura desta seção é opcional.

156 CAPÍTULO 5. PRODUTO INTERNO

Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

Dada uma base {v1,v2, . . . ,vp} obtemos outra, ortogonal, {u1,u2, . . . ,up}, por

u1 = v1

u2 = v2 − 〈v2,u1〉〈u1,u1〉u1;

u3 = v3 − 〈v3,u1〉〈u1,u1〉u1 −
〈v3,u2〉
〈u2,u2〉u2;
.

.

. =
.

.

.

up = vp − 〈vp,u1〉〈u1,u1〉u1 −
〈vp,u2〉
〈u2,u2〉u2 − . . .−

〈vp,up−1〉
〈up−1,up−1〉up−1.

Vamos apresentar exemplos. Ao final desta Seção vamos relacionar este processo com

projeção ortogonal e provar que o método funciona.

Exemplo 5.23 Determine uma base ortogonal para H = span


 12

3

 ,
 23

4

.
Solução: Por Gram-Schmidt,

u1 =

 12
3


e

u2 =

 23
4

−
〈 23

4

,
 12

3

〉
〈 12

3

,
 12

3

〉
 12

3

 =
 23

4

− 20
14

 12
3

 =
 4/71/7
−2/7

 .

Assim,


 12

3

 ,
 41
−2

 é base ortogonal de H.

Exemplo 5.24 Seja H = span




1
2
3
0

 ,


2
3
4
0