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 ,


3
4
5
0

 ,


0
3
4
5


. Encontre uma base or-
tonormal para H.

Solução: Por Gram-Schmidt,

u1 =


1
2
3
0

 ,

5.8. ?PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHMIDT 157

u2 =


2
3
4
0

−
〈

2
3
4
0

,


1
2
3
0


〉

〈
1
2
3
0

,


1
2
3
0


〉


1
2
3
0

 =


2
3
4
0

− 2014


1
2
3
0

 =


4/7
1/7
−2/7

0

 .

Poderíamos usar u2 exatamente como calculado acima. Mas podemos, por conveniência,
eliminar as frações e usar

u2 =


4
1
−2

0

 .
Temos agora

u3 =


3
4
5
0

−
〈

3
4
5
0

,


1
2
3
0


〉

〈
1
2
3
0

,


1
2
3
0


〉


1
2
3
0

−
〈

3
4
5
0

,


4
1
−2

0


〉

〈
4
1
−2

0

,


4
1
−2

0


〉


4
1
−2

0



=


3
4
5
0

− 2614


1
2
3
0

− 621


4
1
−2

0

 =


0
0
0
0

 .
Este resultado, u3 = 0, revela que v3 é combinação linear dos vetores anteriores. Assim,
H = span {v1,v2,v4}. Basta ortogonalizar este conjunto, reduzido em relação ao original.
u1 e u2 já foram calculados. Agora,

u4 =


0
3
4
5

−
〈

0
3
4
5

,


1
2
3
0


〉

〈
1
2
3
0

,


1
2
3
0


〉


1
2
3
0

−
〈

0
3
4
5

,


4
1
−2

0


〉

〈
4
1
−2

0

,


4
1
−2

0


〉


4
1
−2

0



=


0
3
4
5

− 1814


1
2
3
0

+ 521


4
1
−2

0

 = 13

−1

2
−1
15

 .

Como anteriormente, faremos u4 =


−1

2
−1
15

.

158 CAPÍTULO 5. PRODUTO INTERNO

Desta forma, temos que 


1
2
3
0

 ,


4
1
−2

0

 ,

−1

2
−1
15



é base (pelo Lema 5.10 da p.140) ortogonal deH. Para uma base ortonormal, basta normalizar
estes vetores.

‖u1‖ =
√

12 + 22 + 32 + 02 =
√

14

‖u2‖ =
√

42 + 12 + 22 + 02 =
√

21

‖u4‖ =
√

12 + 22 + 12 + 152 =
√

231
1√
14


1
2
3
0

 , 1√21


4
1
−2

0

 , 1√231

−1

2
−1
15



é base ortonormal de H.

Vamos relacionar a Projeção Ortogonal e o Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt.

Primeiro vamos provar uma fórmula explícita para projeção ortogonal quando a base é orto-

gonal. Releia a Seção 5.4 da p.148 para recordar como calculamos a projeção ortogonal.

Teorema 5.25 (projeção em base ortogonal) Se γ = {u1,u2, . . . ,up} é base ortogo-
nal de H então

PHv =

p∑
i=1

〈v,ui〉
〈ui,ui〉ui.

Em particular, se H é uma reta gerada por u,

PHv =
〈v,u〉
〈u,u〉u.

Prova: Defina A =

 ↑u1
↓

↑
u2
↓
· · ·

↑
up
↓


. Pela Seção 5.4 da p.148, PHv = Az, onde z

é solução do sistema ATAz = ATv. Como a base é ortogonal ATA é uma matriz diagonal.

Mais precisamente, ATA =

 〈u1,u1〉 . .
.

〈up,up〉

. Além disso ATv =
 〈v,u1〉..
.

〈v,up〉

 .
Assim se z = (z1, . . . , zp),

ATAz =

 〈u1,u1〉 . .
.

〈up,up〉


 z1..
.

zp

 =
 z1 〈u1,u1〉..
.

zp 〈up,up〉

 = ATv =
 〈v,u1〉..
.

〈v,up〉

 .
Logo zi =

〈v,ui〉
〈ui,ui〉 e portanto PHv = Az =

p∑
i=1

ziui =

p∑
i=1

〈v,ui〉
〈ui,ui〉ui.

5.8. ?PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHMIDT 159

Exemplo 5.25 Considere H = span


 12

3

 ,
 41
−2

 e v =
 20

0


. Sabendo que a

base de H é ortogonal, determine PHv. (Calculamos esta mesma projeção resolvendo um
sistema linear no Exemplo 5.17 da p.149. Compare e veja que é a mesma conta com outra

notação.)

Solução: Aplicando o Teorema 5.25 da p.158:

PHv =
〈v,u1〉
〈u1,u1〉u1 +

〈v,u2〉
〈u2,u2〉u2

=

〈 20
0

,
 12

3

〉
〈 12

3

,
 12

3

〉
 12

3

+
〈 20

0

,
 41
−2

〉
〈 41
−2

,
 41
−2

〉
 41
−2



=
2

14

 12
3

+ 8
21

 41
−2

 =
 5/32/3
−1/3

 .

Exemplo 5.26 Considere H a reta gerada pelo vetor

 12
3


e v =

 20
0


. Calcule PHv.

(Calculamos esta mesma projeção resolvendo um sistema linear no Exemplo 5.16 da p.149.

Compare e veja que é a mesma conta com outra notação.)

Solução:

PHv =
〈v,u1〉
〈u1,u1〉u1 =

〈 20
0

,
 12

3

〉
〈 12

3

,
 12

3

〉
 12

3

 = 2
14

 12
3

 =
 1/72/7

3/7

 .

Bases ortogonais são convenientes porque é fácil se determinar as coordenadas nesta base

(veja Definição 4.49 da p.119) de um vetor dado, sem a necessidade de se resolver um sistema

linear.

Corolário 5.26 (coeficientes de Fourier) Seja β = {v1,v2, . . . ,vn} base ortogonal de
V e seja u ∈ V dado. Definindo αi = 〈u,vj〉〈vj,vj〉 obtemos que

n∑
i=1

αivi = u. Desta forma,

[u]β =


α1
α2
.

.

.

αn

. Chamamos os αj de coeficientes de Fourier de u com relação à base
ortogonal β.

160 CAPÍTULO 5. PRODUTO INTERNO

Prova: Se u ∈ V é claro que PV u = u. Do Teorema anterior, PV u =
n∑
i=1

αivi com

αi =
〈u,vj〉
〈vj,vj〉 .

Teorema 5.27 (processo de ortogonalização de Gram-Schmidt) Defina de forma in-

dutiva u1 = v1 e, para k = 1, . . . , p− 1:

Hk = span {u1, . . . ,uk} ; uk+1 = PH⊥k vk+1 = vk+1 − PHkvk+1.

Então {u1, . . . ,up} é ortogonal e span {u1, . . . ,up} = span {v1, . . . ,vp}.

Prova: Por construção o conjunto span {u1, . . . ,up} é ortogonal pois cada vetor acrescen-
tado pertence sempre ao complemento ortogonal do espaço gerado pelos vetores anteriores.

Vamos mostrar que Hp = span {v1, . . . ,vp} por indução. É claro que H1 = span {v1}
pois u1 = v1. Suponha, por hipótese de indução(HI), que Hk = span {v1, . . . ,vk}. Assim
uk+1 é igual à soma de vk+1 e um elemento de Hk (PHkvk+1), que é igual a span {v1, . . . ,vk}
por HI. Assim uk+1 ∈ span {v1, . . . ,vk,vk+1}. De forma análoga concluímos que vk+1 ∈
Hk+1. Portanto, Hk+1 = span {v1, . . . ,vk,vk+1}.

5.9 Exercícios de Produto Interno

5.9.1 Exercícios de Fixação

Fix 5.1:Considere u = (1, 1, 1, 1) e v = (−2, 2, −2, 3).
(a) ‖u‖ = ; (b) 〈u,v〉 = ; (c) d(u,v) = .
Fix 5.2:Determine se é Verdadeiro ou Falso:

(a) todo conjunto ortogonal é ortonormal ;

(b) todo vetor não-nulo pode ser normalizado ;

(c) um conjunto ortonormal de vetores é sempre LI ;

(d) 〈v, λw〉 = λ 〈v,w〉 ;
(e)‖λv‖ = λ‖v‖ .
Fix 5.3:Dado H subespaço vetorial:
(a) Nuc(PH) = ; (b) Im(PH) = ; (c) PH + PH⊥ = ;

Fix 5.4:Complete as lacunas com I,−I ou 0. Considere T : R2 → R2. Se T é:
(a) projeção ortogonal no eixo x seguido de projeção ortogonal no eixo y, então T = ;
(b) reflexão no eixo x seguido de reflexão no eixo x, então T = ;
(c) reflexão no eixo x seguido de reflexão no eixo y, então T = .

Fix 5.5: Se T é:
(a) projeção ortogonal, T 2 = (I,−I, 0.T,−T ); (b) reflexão, T 2 = (I,−I, 0, T,−T ).
Fix 5.6: Se V ⊂ R12 e dim(V ) = 3, então dim(V ⊥) = .
Fix 5.7: Se W é:
(a) o eixo y em R2, então W⊥ é a reta (y = x, y = 0, x = 0, y = −x);
(b) a reta y = x em R2, então W⊥ é a reta (y = x, y = 0, x = 0, y = −x);
(c) o eixo y em R3, então W⊥ é o (plano; eixo) (x, y, z, xy, yz, xz);
1

23.ago.2012 22h

5.9. EXERCÍCIOS DE PRODUTO INTERNO 161

(d) o plano yz em R3, então W⊥ é o (plano; eixo) (x, y, z, xy, yz, xz).
Fix 5.8: Se z é solução de mínimos quadrados de Ax = b então é sempre verdade que:
(A) Az = b; (B) ‖z−b‖ = 0; (C) ‖z−b‖ > 0; (D) P
Im(A)

z = b; (E) P
Im(A)

b = z;

Fix 5.9: Se z é solução de mínimos quadrados de Ax = b então d(Az,b) (≤,≥)
(d(Ax,b), d(x,b)) para todo x.

Fix 5.10: Sabendo que P é: