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\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb ,
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
3
4
5
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb ,
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
0
3
4
5
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\uf8fc\uf8f4\uf8f4\uf8fd\uf8f4\uf8f4\uf8fe. Encontre uma base or-
tonormal para H.
Solução: Por Gram-Schmidt,
u1 =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
2
3
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb ,
5.8. ?PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHMIDT 157
u2 =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2
3
4
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb\u2212
\u2329\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2
3
4
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb,
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
2
3
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\u232a
\u2329\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
2
3
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb,
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
2
3
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\u232a
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
2
3
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2
3
4
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb\u2212 2014
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
2
3
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
4/7
1/7
\u22122/7
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
Poderíamos usar u2 exatamente como calculado acima. Mas podemos, por conveniência,
eliminar as frações e usar
u2 =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
4
1
\u22122
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
Temos agora
u3 =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
3
4
5
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb\u2212
\u2329\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
3
4
5
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb,
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
2
3
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\u232a
\u2329\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
2
3
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb,
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
2
3
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\u232a
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
2
3
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb\u2212
\u2329\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
3
4
5
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb,
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
4
1
\u22122
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\u232a
\u2329\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
4
1
\u22122
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb,
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
4
1
\u22122
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\u232a
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
4
1
\u22122
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
=
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
3
4
5
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb\u2212 2614
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
2
3
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb\u2212 621
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
4
1
\u22122
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
0
0
0
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
Este resultado, u3 = 0, revela que v3 é combinação linear dos vetores anteriores. Assim,
H = span {v1,v2,v4}. Basta ortogonalizar este conjunto, reduzido em relação ao original.
u1 e u2 já foram calculados. Agora,
u4 =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
0
3
4
5
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb\u2212
\u2329\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
0
3
4
5
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb,
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
2
3
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\u232a
\u2329\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
2
3
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb,
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
2
3
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\u232a
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
2
3
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb\u2212
\u2329\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
0
3
4
5
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb,
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
4
1
\u22122
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\u232a
\u2329\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
4
1
\u22122
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb,
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
4
1
\u22122
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\u232a
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
4
1
\u22122
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
=
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
0
3
4
5
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb\u2212 1814
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
2
3
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb+ 521
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
4
1
\u22122
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb = 13
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\u22121
2
\u22121
15
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
Como anteriormente, faremos u4 =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\u22121
2
\u22121
15
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb.
158 CAPÍTULO 5. PRODUTO INTERNO
Desta forma, temos que \uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
2
3
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb ,
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
4
1
\u22122
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb ,
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\u22121
2
\u22121
15
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\uf8fc\uf8f4\uf8f4\uf8fd\uf8f4\uf8f4\uf8fe
é base (pelo Lema 5.10 da p.140) ortogonal deH. Para uma base ortonormal, basta normalizar
estes vetores.
\u2016u1\u2016 =
\u221a
12 + 22 + 32 + 02 =
\u221a
14
\u2016u2\u2016 =
\u221a
42 + 12 + 22 + 02 =
\u221a
21
\u2016u4\u2016 =
\u221a
12 + 22 + 12 + 152 =
\u221a
231\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f3
1\u221a
14
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
2
3
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb , 1\u221a21
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
4
1
\u22122
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb , 1\u221a231
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\u22121
2
\u22121
15
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\uf8fc\uf8f4\uf8f4\uf8fd\uf8f4\uf8f4\uf8fe
é base ortonormal de H.
Vamos relacionar a Projeção Ortogonal e o Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt.
Primeiro vamos provar uma fórmula explícita para projeção ortogonal quando a base é orto-
gonal. Releia a Seção 5.4 da p.148 para recordar como calculamos a projeção ortogonal.
Teorema 5.25 (projeção em base ortogonal) Se \u3b3 = {u1,u2, . . . ,up} é base ortogo-
nal de H então
PHv =
p\u2211
i=1
\u3008v,ui\u3009
\u3008ui,ui\u3009ui.
Em particular, se H é uma reta gerada por u,
PHv =
\u3008v,u\u3009
\u3008u,u\u3009u.
Prova: De\ufb01na A =
\uf8ee\uf8f0 \u2191u1
\u2193
\u2191
u2
\u2193
· · ·
\u2191
up
\u2193
\uf8f9\uf8fb
. Pela Seção 5.4 da p.148, PHv = Az, onde z
é solução do sistema ATAz = ATv. Como a base é ortogonal ATA é uma matriz diagonal.
Mais precisamente, ATA =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u3008u1,u1\u3009 . .
.
\u3008up,up\u3009
\uf8f9\uf8fa\uf8fb. Além disso ATv =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u3008v,u1\u3009..
.
\u3008v,up\u3009
\uf8f9\uf8fa\uf8fb .
Assim se z = (z1, . . . , zp),
ATAz =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u3008u1,u1\u3009 . .
.
\u3008up,up\u3009
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 z1..
.
zp
\uf8f9\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 z1 \u3008u1,u1\u3009..
.
zp \u3008up,up\u3009
\uf8f9\uf8fa\uf8fb = ATv =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u3008v,u1\u3009..
.
\u3008v,up\u3009
\uf8f9\uf8fa\uf8fb .
Logo zi =
\u3008v,ui\u3009
\u3008ui,ui\u3009 e portanto PHv = Az =
p\u2211
i=1
ziui =
p\u2211
i=1
\u3008v,ui\u3009
\u3008ui,ui\u3009ui.
5.8. ?PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHMIDT 159
Exemplo 5.25 Considere H = span
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb ,
\uf8ee\uf8f0 41
\u22122
\uf8f9\uf8fb\uf8fc\uf8fd\uf8fe e v =
\uf8ee\uf8f0 20
0
\uf8f9\uf8fb
. Sabendo que a
base de H é ortogonal, determine PHv. (Calculamos esta mesma projeção resolvendo um
sistema linear no Exemplo 5.17 da p.149. Compare e veja que é a mesma conta com outra
notação.)
Solução: Aplicando o Teorema 5.25 da p.158:
PHv =
\u3008v,u1\u3009
\u3008u1,u1\u3009u1 +
\u3008v,u2\u3009
\u3008u2,u2\u3009u2
=
\u2329\uf8ee\uf8f0 20
0
\uf8f9\uf8fb,
\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb\u232a
\u2329\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb,
\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb\u232a
\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb+
\u2329\uf8ee\uf8f0 20
0
\uf8f9\uf8fb,
\uf8ee\uf8f0 41
\u22122
\uf8f9\uf8fb\u232a
\u2329\uf8ee\uf8f0 41
\u22122
\uf8f9\uf8fb,
\uf8ee\uf8f0 41
\u22122
\uf8f9\uf8fb\u232a
\uf8ee\uf8f0 41
\u22122
\uf8f9\uf8fb
=
2
14
\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb+ 8
21
\uf8ee\uf8f0 41
\u22122
\uf8f9\uf8fb =
\uf8ee\uf8f0 5/32/3
\u22121/3
\uf8f9\uf8fb .
Exemplo 5.26 Considere H a reta gerada pelo vetor
\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb
e v =
\uf8ee\uf8f0 20
0
\uf8f9\uf8fb
. Calcule PHv.
(Calculamos esta mesma projeção resolvendo um sistema linear no Exemplo 5.16 da p.149.
Compare e veja que é a mesma conta com outra notação.)
Solução:
PHv =
\u3008v,u1\u3009
\u3008u1,u1\u3009u1 =
\u2329\uf8ee\uf8f0 20
0
\uf8f9\uf8fb,
\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb\u232a
\u2329\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb,
\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb\u232a
\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb = 2
14
\uf8ee\uf8f0 12
3
\uf8f9\uf8fb =
\uf8ee\uf8f0 1/72/7
3/7
\uf8f9\uf8fb .
Bases ortogonais são convenientes porque é fácil se determinar as coordenadas nesta base
(veja De\ufb01nição 4.49 da p.119) de um vetor dado, sem a necessidade de se resolver um sistema
linear.
Corolário 5.26 (coe\ufb01cientes de Fourier) Seja \u3b2 = {v1,v2, . . . ,vn} base ortogonal de
V e seja u \u2208 V dado. De\ufb01nindo \u3b1i = \u3008u,vj\u3009\u3008vj,vj\u3009 obtemos que
n\u2211
i=1
\u3b1ivi = u. Desta forma,
[u]\u3b2 =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\u3b11
\u3b12
.
.
.
\u3b1n
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb. Chamamos os \u3b1j de coe\ufb01cientes de Fourier de u com relação à base
ortogonal \u3b2.
160 CAPÍTULO 5. PRODUTO INTERNO
Prova: Se u \u2208 V é claro que PV u = u. Do Teorema anterior, PV u =
n\u2211
i=1
\u3b1ivi com
\u3b1i =
\u3008u,vj\u3009
\u3008vj,vj\u3009 .
Teorema 5.27 (processo de ortogonalização de Gram-Schmidt) De\ufb01na de forma in-
dutiva u1 = v1 e, para k = 1, . . . , p\u2212 1:
Hk = span {u1, . . . ,uk} ; uk+1 = PH\u22a5k vk+1 = vk+1 \u2212 PHkvk+1.
Então {u1, . . . ,up} é ortogonal e span {u1, . . . ,up} = span {v1, . . . ,vp}.
Prova: Por construção o conjunto span {u1, . . . ,up} é ortogonal pois cada vetor acrescen-
tado pertence sempre ao complemento ortogonal do espaço gerado pelos vetores anteriores.
Vamos mostrar que Hp = span {v1, . . . ,vp} por indução. É claro que H1 = span {v1}
pois u1 = v1. Suponha, por hipótese de indução(HI), que Hk = span {v1, . . . ,vk}. Assim
uk+1 é igual à soma de vk+1 e um elemento de Hk (PHkvk+1), que é igual a span {v1, . . . ,vk}
por HI. Assim uk+1 \u2208 span {v1, . . . ,vk,vk+1}. De forma análoga concluímos que vk+1 \u2208
Hk+1. Portanto, Hk+1 = span {v1, . . . ,vk,vk+1}.
5.9 Exercícios de Produto Interno
5.9.1 Exercícios de Fixação
Fix 5.1:Considere u = (1, 1, 1, 1) e v = (\u22122, 2, \u22122, 3).
(a) \u2016u\u2016 = ; (b) \u3008u,v\u3009 = ; (c) d(u,v) = .
Fix 5.2:Determine se é Verdadeiro ou Falso:
(a) todo conjunto ortogonal é ortonormal ;
(b) todo vetor não-nulo pode ser normalizado ;
(c) um conjunto ortonormal de vetores é sempre LI ;
(d) \u3008v, \u3bbw\u3009 = \u3bb \u3008v,w\u3009 ;
(e)\u2016\u3bbv\u2016 = \u3bb\u2016v\u2016 .
Fix 5.3:Dado H subespaço vetorial:
(a) Nuc(PH) = ; (b) Im(PH) = ; (c) PH + PH\u22a5 = ;
Fix 5.4:Complete as lacunas com I,\u2212I ou 0. Considere T : R2 \u2192 R2. Se T é:
(a) projeção ortogonal no eixo x seguido de projeção ortogonal no eixo y, então T = ;
(b) re\ufb02exão no eixo x seguido de re\ufb02exão no eixo x, então T = ;
(c) re\ufb02exão no eixo x seguido de re\ufb02exão no eixo y, então T = .
Fix 5.5: Se T é:
(a) projeção ortogonal, T 2 = (I,\u2212I, 0.T,\u2212T ); (b) re\ufb02exão, T 2 = (I,\u2212I, 0, T,\u2212T ).
Fix 5.6: Se V \u2282 R12 e dim(V ) = 3, então dim(V \u22a5) = .
Fix 5.7: Se W é:
(a) o eixo y em R2, então W\u22a5 é a reta (y = x, y = 0, x = 0, y = \u2212x);
(b) a reta y = x em R2, então W\u22a5 é a reta (y = x, y = 0, x = 0, y = \u2212x);
(c) o eixo y em R3, então W\u22a5 é o (plano; eixo) (x, y, z, xy, yz, xz);
1
23.ago.2012 22h
5.9. EXERCÍCIOS DE PRODUTO INTERNO 161
(d) o plano yz em R3, então W\u22a5 é o (plano; eixo) (x, y, z, xy, yz, xz).
Fix 5.8: Se z é solução de mínimos quadrados de Ax = b então é sempre verdade que:
(A) Az = b; (B) \u2016z\u2212b\u2016 = 0; (C) \u2016z\u2212b\u2016 > 0; (D) P
Im(A)
z = b; (E) P
Im(A)
b = z;
Fix 5.9: Se z é solução de mínimos quadrados de Ax = b então d(Az,b) (\u2264,\u2265)
(d(Ax,b), d(x,b)) para todo x.
Fix 5.10: Sabendo que P é: